简谐运动·典型例题精析

简谐运动·典型例题精析

简谐运动·典型例题精析 ‎[例题1] 　一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是 ‎[　　　 ]‎ A．振子在M、N两点受回复力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 ‎[思路点拨]　 建立弹簧振子模型如图9－1所示．由题意知，振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同，那么，可以在振子运动路径上确定M、N两点，M、N两点应关于平衡位置O对称，且由M运动到N，振子是从左侧释放开始运动的(若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的)．建立起这样的物理模型，这时问题就明朗化了．‎ ‎[解题过程] 　因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A、B选项错误．振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．由以上分析可知，该题的正确答案为C．‎ ‎[小结] 　(1)认真审题，抓住关键词语．本题的关键是抓住“第一次先后经过M、N两点时速度v相同”．‎ ‎(2)要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况．‎ ‎(3)要重视将物理问题模型化，画出物理过程的草图，这有利于问题的解决．‎ ‎[例题2]　 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？‎ ‎[思路点拨]　 将物理过程模型化，画出具体的图景如图9－2所示．设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O到M运动时间为0.13 s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1 s；如图9－3所示．‎ 另有一种可能就是M点在O点左方，如图9－4所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M向左经最左端A′点返回M历时0.1 s．‎ 根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性．‎ ‎[解题过程]　 如图9－3所示，可以看出O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18=0.72 s．‎ 另一种可能如图9－4所示，由O→A→M历时t1=0.13 s，由M→A′历时t2=0.05 s．设M→O历时t，则4(t＋t2)=t1＋2t2＋t．解得t=0.01 s，则T2=4(t＋t2)＝0.24 s．‎ 所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s．‎ ‎[小结]　 (1)本题涉及知识有：简谐运动周期、简谐运动的对称性知识．‎ ‎(2)本题的关键是：分析周期的可能性，弄清物理图景．‎ ‎(3)解题方法：将物理过程模型化、分段分析、讨论．‎ ‎[例题3]　 甲、乙两弹簧振子，振动图象如图9－5所示，则可知 ‎[　　　 ]‎ A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1‎ C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2‎ ‎[思路点拨]　 观看图象，从图象上尽可能多地获取信息，从图象中能看出甲、乙弹簧振子的振幅、周期，并与物理模型相联系，通过对模型的分析并结合图象，选出正确选项．‎ ‎[解题过程]　 从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1，得频率之比f甲∶f乙 ‎=1∶2，D正确．弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误．由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子受回复力(F=kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误，对简谐运动进行分析可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰到达平衡位置，所以C正确．答案为C．D．‎ ‎[小结]　 (1)图象法是物理问题中常见的解题方法之一，是用数学手段解决物理问题能力的重要体现．应用图象法解物理问题要明确图象的数学意义，再结合物理模型弄清图象描述的物理意义，两者结合，才能全面地分析问题．‎ ‎(2)本题中涉及知识点有：振幅、周期、频率、影响周期的因素、简谐运动在特殊点的速度、回复力、简谐运动的对称性等．‎ ‎(3)分析本题的主要方法是数与形的结合(即图象与模型相结合)分析方法．‎ ‎[例题4]　 在下列情况下，能使单摆周期变小的是 ‎[　　　 ]‎ A．将摆球质量减半，而摆长不变 B．将单摆由地面移到高山 C．将单摆从赤道移到两极 D．将摆线长度不变，换一较大半径的摆球 单摆的振动周期，只与摆长、当地的重力加速度有关，而与其他因素无关．当单摆的某些物理量发生变化时，只要摆长、重力加速度不变，单摆振动周期则不变．‎ 为摆长l和重力加速度g．当摆球质量减半时摆长未变，周期不变；当将单摆由地面移到高山时，g值变小，T变大；当单摆从赤道移到两极时g变大，T变小；当摆线长度不变，摆球半径增大时，摆长l增大，T变大．所以选C．本题答案为C．‎ ‎[小结]　 (1)本题涉及单摆周期公式、影响单摆周期的因素、影响重力加速度的因素等知识．‎ ‎(2)抓住各知识点间的联系，进行推理分析是顺利解决本题的关键．‎ ‎[例题5] 　高楼顶上吊下一根长绳，给你一块秒表，一把只有几米长的米尺，一个带钩的重球，你能否量出楼高？‎ ‎[思路点拨]　 本题中虽给出米尺，但却不便测绳的(楼高)长度，而用秒表、重球来测楼高，与我们所学知识相联系，可想到利用单摆周期公式测摆长的方法，在重力加速度未知时，可采用变换摆长测两个周期值的方法，在计算中消去g，即可得到摆长，进而知道楼高．‎ ‎[解题过程]　 (1)设绳长l1，将重球挂在绳的端点，让其摆动，测得周期T1(实际上需测得摆动N次全振动所需时间t，T1＝t/N)．‎ ‎(2)将重球挂在绳的另一位置，这时摆长为l2，用米尺量出摆长变化Δl，则Δl=l1－l2，让摆球摆动，测得此时周期为T2．‎ 所以 得 由此测得绳长，也就测得楼高．‎ ‎[小结]　 从秒表、重球进而联系到长度，这是一个逆向思维过程，这需要有较扎实的基础知识和较灵活的思维能力才可，在平时训练中，我们应加强知识在实际中的灵活运用．提高我们分析问题和解决问题的能力．‎ ‎[例题6]　 在海平面校准的摆钟，拿到某高山山顶，经过t时间，发现表的示数为t′，若地球半径为R，求山的高度h(不考虑温度对摆长的影响)．‎ ‎[思路点拨]　 由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化，而这种变化是由于重力加速度的变化引起的，所以，可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化，再根据万有引力公式计算出高度的变化，从而得出山的高度．‎ 一般山的高度都不是很高(与地球半径相比较)，所以，由于地球自转引起的向心力的变化可以不考虑，而认为物体所受向心力不变且都很小，物体所受万有引力近似等于物体的重力．‎ ‎[解题过程]　 (1)设在地面上钟摆摆长l，周期为T0，地面附近重力加速度g，拿到高山上，摆振动周期为T′，重力加速度为g′，应有 ‎(2)在地面上的物体应有 在高山上的物体应有 得 ‎[小结]　 (1)本题涉及知识点：单摆的周期及公式，影响单摆周期的因素，万有引力及公式，地面附近重力与万有引力关系等．‎ ‎(2)解题关键：抓住影响单摆周期的因素g，找出g的变化与t变化的关系，再根据万有引力知识，推出g变化与高度变化关系，从而顺利求解．‎