数学卷·2018届河北省邢台一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省邢台一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省邢台一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（　　）‎ A．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 B．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点．‎ ‎2．如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣3，﹣2）‎ ‎3．下列各式正确的是（　　）‎ A．（cosx）′=sinx B．（ax）′=axlna C． D．‎ ‎4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎6．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（　　）‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．‎ ‎7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（　　）‎ A．AC B．BD C．A1D D．A1A ‎8．已知双曲线=1的渐近线方程为y=±x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎9．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎11．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．‎ 其中为真命题的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．④ D．①②③‎ ‎12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 ‎13．直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围　　．‎ ‎14．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=　　．‎ ‎15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=　　时，CF⊥平面B1DF．‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2，x=2是函数y=f（x）的极值点．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣1，5]上的最值．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数y=f（x）的单调区间．‎ ‎19．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点．‎ ‎（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求点E到平面PBC的距离．‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．‎ ‎（1）若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；‎ ‎（2）若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎22．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邢台一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（　　）‎ A．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 B．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，利用函数极值的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由导数图象可知当x＜x2，或x＜x3时，f′（x）≥0，此时函数单调递增，‎ 当x2＜x＜x3时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，‎ ‎∴当x=x2时，函数f（x）取得极大值，当x=x3时，函数f（x）取得极小值，‎ 故极大值和极小值各为有一个，‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣3，﹣2）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】分别讨论方程表示焦点在x轴上和y轴上的双曲线，列出不等式，解出它们，再求并集即可．‎ ‎【解答】解：①当方程表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 则为﹣=1，‎ 所以，‎ 解得﹣2＜m＜﹣1，‎ 则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）；‎ ‎②当方程表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 则为﹣=1，‎ 所以，‎ 无解．‎ 综上所述，则m的取值范围为：（﹣2，﹣1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列各式正确的是（　　）‎ A．（cosx）′=sinx B．（ax）′=axlna C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数公式，可得结论．‎ ‎【解答】解：根据导数公式，可得（ax）′=axlna，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；‎ B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；‎ C、α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；‎ D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎5．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则．‎ ‎【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xlnx ‎∴‎ ‎∵f′（x0）=2‎ ‎∴lnx0+1=2‎ ‎∴x0=e，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2‎ ‎=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（　　）‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，作图如下，‎ 设点P在其准线x=﹣上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，‎ ‎∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，‎ ‎∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），‎ ‎∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，‎ ‎∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，‎ ‎∴x0=2，‎ ‎∴点P的坐标为P（2，2）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（　　）‎ A．AC B．BD C．A1D D．A1A ‎【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量的坐标，以及、、的坐标，可以发现•=0，因此，⊥‎ ‎，即CE⊥BD．‎ ‎【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，‎ 则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），‎ D（0，1，0），A1（0，0，1），E（，，1），‎ ‎∴=（﹣，﹣，1），‎ ‎=（1，1，0），=（﹣1，1，0），‎ ‎=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），‎ 显然•=﹣+0=0，‎ ‎∴⊥，即CE⊥BD． ‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线=1的渐近线方程为y=±x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的渐近线方程为y=±x，算出b=，c=2a．设所求椭圆的方程为，则可得a1=c=2a且椭圆的半焦距c1=a，由此结合椭圆的离心率公式即可得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的方程是=1，∴它的渐近线方程为 由此可得=，可得b=，c==2a 设所求椭圆的方程为（a1＞b1＞0）‎ ‎∵椭圆的顶点为双曲线的焦点，焦点为双曲线的顶点 ‎∴a1=c=2a，且椭圆的半焦距c1=a 因此，该椭圆的离心率e===‎ 故选：‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】依题意，由f′（1）≥0即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+ax﹣2，‎ ‎∴f′（x）=3x2+a，‎ ‎∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，‎ ‎∴f′（1）=3+a≥0，‎ ‎∴a≥﹣3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0‎ ‎）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；‎ ‎④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．‎ 其中为真命题的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．④ D．①②③‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据四种命题之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是：①“若x，y互为倒数，则xy=1”是真命题，故①正确；‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；‎ ‎③若x2﹣2x+m=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，‎ ‎∴若m≤1⇔则x2﹣2x+m=0有实数解”是真命题，‎ 故“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题是：“若x2﹣2x+‎ m=0没有有实数解，则m＞1”是真命题，‎ 故③正确；‎ ‎④若A∩B=B，则A⊇B，故原命题错误，‎ ‎∴若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题是错误，‎ 故④错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ ‎∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②‎ 由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，‎ 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，‎ ‎∴双曲线C2的离心率e===．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上 ‎13．直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围　{m|m≥1且m≠5}　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】由直线y=kx+1恒过（0，1），知要使y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点，必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．由此能求出非负实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线y=kx+1恒过（0，1），‎ ‎∴要使y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点，‎ 必须（0.1）在椭圆内或椭圆上，‎ 所以椭圆中心（0，0）到（0，1）的距离1必须小等于短半轴．‎ 当椭圆焦点在x轴上时，m＜5，且依题意得m≥1，‎ 即1≤m＜5；‎ 当椭圆焦点在y轴上时，‎ m＞5，‎ 因为此时b=，‎ 所以m＞5满足题意 所以m的取值范围是：m≥1且m≠5．‎ 故答案为：{m|m≥1且m≠5}．‎ ‎　‎ ‎14．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则 ‎|BF|=　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．‎ 则易得AB⊥x轴，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．‎ 已知|AF|=2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．‎ 可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2．‎ 故填|BF|=2．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=　a或2a　时，CF⊥平面B1DF．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】利用已知条件判断B1D⊥平面AC1，然后说明CF⊥DF．设AF=x（0＜x＜3a），通过CF2=x2+4a2，DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，求出x即可．‎ ‎【解答】解：由已知得B1D⊥平面AC1，‎ 又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，‎ 故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．‎ 设AF=x（0＜x＜3a），则CF2=x2+4a2，‎ DF2=a2+（3a﹣x）2，又CD2=a2+9a2=10a2，‎ ‎∴10a2=x2+4a2+a2+（3a﹣x）2，‎ 解得x=a或2a．‎ 故答案为：a或2a．‎ ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围　（﹣1，1）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】要使函数f（x）=x3﹣3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．‎ ‎【解答】解：求一阶导数可得f'（x）=3x2﹣3a2，‎ 两个极值点分别在x=a、x=﹣a，‎ 代入函数，得f（a）=﹣2a3+1，f（﹣a）=2a3+1，‎ 当a＞0时，f（a）＞3或f（﹣a）＜3，得出a＜1，‎ 当a＜0时，f（a）＜3或f（﹣a）＞3，得出a＞﹣1，‎ 当a=0时，显然成立；‎ 则实数a的取值范围为：﹣1＜a＜1，‎ 故答案为：（﹣1，1）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2，x=2是函数y=f（x）的极值点．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣1，5]上的最值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（2）=0，求出a的值即可；‎ ‎（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），‎ ‎∵x=2是函数y=f（x）的极值点，‎ ‎∴f′（2）=6（2a﹣2）=0，解得：a=1；‎ 经检验a=1符合题意；‎ ‎（2）由（1）得：f（x）=x3﹣3x2，‎ f′（x）=3x（x﹣2），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 故f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，5]递增，‎ 而f（﹣1）=﹣4，f（0）=0，f（2）=﹣4，f（5）=50，‎ ‎∴fmin（x）=﹣4；fmax（x）=50．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．‎ ‎（1）求函数y=f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数y=f（x）的单调区间．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，‎ 所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．‎ 由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，‎ 知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，‎ 即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得b=c=﹣3，‎ 故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．‎ ‎（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3=3（x2﹣2x﹣1）．‎ 由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＞0，‎ 解得x＞1+或x＜1﹣，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＜0，‎ 解得1﹣＜x＜1+，此时函数单调递减，‎ 即函数的单调递减区间为为（1﹣，1+），‎ 函数的单调递增区间为为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点．‎ ‎（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求点E到平面PBC的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）欲证平面EDB⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EDB内一直线与平面ABCD垂直，连接AC与BD相交于O，连接EO，而根据题意可得EO⊥平面ABCD；‎ ‎（2）在底面作OH⊥BC，垂足为H，根据OE∥平面PBC可知点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，求出OH即可求出点E到平面PBC的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AC与BD相交于O，连接EO，则EO∥PC，‎ 因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以EO⊥平面ABCD 又EO⊂平面EDB，‎ 所以平面EDB⊥平面ABCD；‎ ‎（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足为H，‎ 因为平面PCB⊥平面ABCD，‎ 所以OH⊥平面PCB，‎ 又因为OE∥PC，‎ 所以OE∥平面PBC，‎ 所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，解得OH=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．‎ ‎（1）若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；‎ ‎（2）若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（1）如图所示，取AC的中点F，连接EF，FD，平面AA1B∥平面EFD，继而得到DE∥平面ABB1A1．‎ ‎（2）设D是BC的中点，设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．利用=．求出求的值．‎ ‎【解答】证明：（1）取AC的中点F，连接EF，FD，‎ ‎∵D是BC的中点，E为A1C1的中点，‎ ‎∴FD∥AB，FE∥A1A ‎∵AA1∩AB=A，DF∩EF=F，AA1，AB⊂平面AA1B，EF，DF⊂平面EFD，‎ ‎∴平面AA1B∥平面EFD，‎ ‎∵DE⊂平面EFD，‎ ‎∴DE∥AA1B ‎∴DE∥平面ABB1A1；‎ ‎（2）设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．‎ ‎∵A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，∴A1B∥EF． ‎ ‎∴，=．‎ 又∵==，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，‎ ‎（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．‎ ‎【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ 当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，‎ 此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．‎ ‎∴=3；‎ 当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，‎ 由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；‎ ‎（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，‎ 如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．‎ 例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），‎ 此时=3，‎ 直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；‎ 说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，‎ 或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2‎ ‎=2，可证得直线 AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．‎ ‎　‎ ‎22．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．‎ ‎（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0，‎ 求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据求得AB的坐标值．‎ ‎【解答】解：（I）由，∴．‎ 由右焦点到直线的距离为，‎ 得：，‎ 解得．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB的方程为y=kx+m，‎ 与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，．‎ ‎∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．‎ 即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴，‎ 整理得7m2=12（k2+1）‎ 所以O到直线AB的距离．为定值 ‎∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，‎ 当且仅当OA=OB时取“=”号．‎ 由，‎ ‎∴，‎ 即弦AB的长度的最小值是．‎ ‎　‎