【推荐】专题11-2+排列与组合-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

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真题回放 ‎1. 【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【考点】排列组合的应用 ‎【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎2. 【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎【考点】计数原理、排列、组合 ‎【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.‎ ‎3. 【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.‎ 考点：排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 排列与组合 B 排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择填空的形式出现，难度中等或稍易，考察古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算。‎ 知识链接 ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)‎ ‎＝ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n！‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C 融会贯通 题型一　排列问题 典例1 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．‎ ‎(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．‎ ‎【答案】　(1)2 520　(2)216‎ 引申探究 ‎1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】（1）5 040‎ ‎【解析】　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法．‎ ‎2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】288‎ ‎【解析】　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．根据分步乘法计数原理，共有A·A·A＝288(种)排法. ‎ ‎3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】1 440‎ ‎【解析】不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法．‎ ‎4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】3 600‎ ‎【解析】　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法．‎ 解题技巧与方法总结 排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎【变式训练】由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．‎ 求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？‎ ‎(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？‎ ‎【答案】（1）252 （2）100‎ 题型二　组合问题 典例2 (1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　)‎ A．60 B．63‎ C．65 D．66‎ ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)36‎ ‎【解析】　(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66(种)不同的取法．‎ ‎(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36(种)不同的选法．‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【答案】126‎ ‎【解析】由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C＝C＝126(种)不同的选法．‎ ‎2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【答案】378‎ ‎ 3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？‎ ‎【答案】666‎ ‎【解析】可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C种，共有C－C＝666(种)不同的选法．‎ 解题技巧与方法总结 组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎【变式训练】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．‎ ‎(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种)．‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．‎ ‎(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．‎ ‎(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 题型三　排列与组合问题的综合应用 命题点1　相邻问题 典例3　(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3‎ C．(3！)4 D．9!‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．‎ 命题点2　相间问题 典例4　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．‎ ‎【答案】　120‎ 命题点3　特殊元素(位置)问题 典例5　(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．‎ ‎【答案】　51‎ ‎【解析】　分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6(个)；‎ 第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2CA＝36(个)；‎ 第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9(个)．‎ 由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个．‎ 解题技巧与方法总结 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．‎ ‎(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．‎ ‎(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．‎ ‎(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)‎ A．150 B．180‎ C．200 D．280‎ ‎(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有(　　)‎ A．150种 B．114种 C．100种 D．72种 ‎【答案】　(1)A　(2)C ‎ ‎练习检测 ‎1．（山西省运城市芮城中学2016-2017学年高二下学期期末）安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 ‎【答案】B ‎【解析】按每个人工作的项目数，分两种情况：（1）1+1+3,所以先选分组，再排列，（2）2+2+1，先分组，为均分组，再排列， ，总方法数150,选B.‎ ‎2．（辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校2016-2017学年高二下学期期末）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，则不同的安排种数为（ ）‎ A. 1440 B. 3600 C. 5040 D. 5400‎ ‎【答案】C ‎ 3．（山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期开学考试）某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（　　）‎ A. 150 B. 240 C. 360 D. 540‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，把个消防队分成三组，可分为， 两类方法，（1）分为，共有种不同的分组方法；（2）分为，共有 种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有种不同的分配方案，故选A．‎ 考点：排列、组合的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排个消防队”的要求，明确要将个消防队分为， 的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．‎ ‎4. （黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）‎ A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 ‎【答案】D 考点：排列组合问题.‎ ‎5. （宁夏育才中学2016-2017学年高二下学期期末）3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】先排学生,有种方法,再排教师,在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列,有种方法,故共有种排法,选C.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎6. （黑龙江省大庆中学2018届高三上学期开学考试）六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（ ）‎ A. 72 B. 144 C. 180 D. 288‎ ‎【答案】A ‎【解析】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，‎ 若这个复合元素在两端,从不包含丙丁的2人选1人,和复合元素相邻,剩余的全排即可,故有种，若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即可，‎ 故有种，‎ 根据分类计数原理可得，共有48+24=72种，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎7. （浙江省杭州市萧山区第一中学2016-2017学年高二下学期2月月考）现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠.‎ ‎（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？‎ ‎（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？‎ ‎【答案】(1)；(2) 121．‎ 试题解析：（1)可分步完成这件事情：第一步，选3名男司机,有种不同的选法；第二步，选2名女司机，有种不同的选法；利用分步乘法原理，共有种不同的选法．‎ 可分类完成这件事情：第一类，选2名男司机3名女司机,有种不同的选法；第二类，选3名男司机2名女司机，有种不同的选法；第三类，选4名男司机1名女司机，有种不同的选法；第四类，选5名男司机0名女司机，有种不同的选法；‎ 利用分类加法与分步乘法原理，共有种不同的选法．．‎ 考点：排列组合应用题 ‎8. （山东师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中）如图，小王从街道的A处到达B处，可选择的最短路线的条数为_______________.‎ ‎【答案】56‎ ‎ 9、（浙江省名校协作体2018届高三上学期考试数学）安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论： ①、五人分为2、2、1的三组，有 种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案， ②、五人分为3、1、1的三组，有种分组方法，对应三项志愿者活动，有 种安排方案， 则共有 种不同的安排方案；‎ 学生甲被单独安排去金华时，共有种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是 ‎10、（浙江省绍兴市柯桥区2017届高三第二次教学质量检测）现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是__________（用数字作答）.‎ ‎【答案】14‎ ‎ ‎