专题1-5 数列-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

专题1-5 数列-2017年高考数学走出题海之黄金100题系列（江苏版）

‎1．等比数列中， ，则数列前项和 　　　．‎ ‎【答案】121‎ ‎【解析】解：由题意可知： ，解得： ，由等比数列的求和公式有： ‎ ‎ .‎ ‎2．等差数列的公差，且， ， 成等比数列，若， 为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为　　　　．‎ ‎【答案】3或4‎ ‎ ‎ ‎3．在等差数列中， ，其前项的和为，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ，所以数列也成等差数列，由得公差为1，因此 ‎ ‎4．等比数列的公比为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 .‎ ‎5．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列 的前项和等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎6．设等比数列{an}中，Sn是前n项和，若，则__________.‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】由等比数列的通项公式及题设可得，‎ ‎，所以，应填答案．‎ ‎7．在各项都为正数的等比数列中，已知， ，则数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎8．已知正项等比数列的公比，且满足， ，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等比数列的性质可得，即，再结合可得 ‎，则公比，所以，故原不等式可化为，即，又因为，所以，应填答案。‎ 点睛：本题设置的目的旨在考查等比数列的定义、通项公式的性质及前项等有关知识的综合运用。求解时先运用等比数列的通项的性质，求出，再结合可求得，进而求得公比，从而将问题化为求的最小值的问题。‎ ‎9．已知递增数列共有项，且各项均不为零， ，如果从中任取两项，当时， 仍是数列中的项，则数列的各项和_____．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时， 仍是数列中的项，结合递增数列必有， ，利用累加法可得结果.‎ ‎10．已知数列的前项和，若，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由已知，类似可得，…， ，‎ ‎， ，…， ，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：数列的求和可根据不同的题型选用不同的方法，如公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，分组求和法等，本题已知是递推式，而且递推式与有关，因此在求和时，要首先研究数列的性质、规律，可把已知条件具体化，写出从1开始的若干个式子： ， ， ， ， ， ， ，对这些式子分析寻找到题中的规律，分别可出奇数项和与偶数项和，从而得．‎ ‎11．已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．‎ ‎（I）求数列的首项和通项公式；‎ ‎（II）若数列满足，求数列的前项和；‎ ‎（III）已知数列满足．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ 试题解析：（I）由题知，当时， ，所以．‎ ‎，所以，两式相减得到 ‎，‎ 因为正项数列，所以，‎ 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．‎ ‎（II）由（I）知，所以，‎ 因此①，‎ ‎②，‎ 由①-②得到 所以．‎ ‎，而，得到 ‎，所以当时， ，所以．‎ 又， 的最大值为．‎ 因为对任意的，存在，使得成立．‎ 所以，由此．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎12．如图，将数字1,2,3，…， （）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为， ，…， ，第二行填入的数字依次为， ‎ ‎，…， ．记．‎ ‎（Ⅰ）当时，若， ， ，写出的所有可能的取值；‎ ‎（Ⅱ）给定正整数．试给出， ，…， 的一组取值，使得无论， ，…， 填写的顺序如何， 都只有一个取值，并求出此时的值； ‎ ‎（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相同.‎ ‎【答案】（Ⅰ）3,5,7,9．（Ⅱ） （Ⅲ）奇偶性相同．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 则，因为，所以与具有相同的奇偶性，又因为与的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）的所有可能的取值为3,5,7,9．‎ ‎（Ⅱ）令（，，…，），则无论， ，…， 填写的顺序如何，都有．‎ ‎∵，∴，（ ，，…，），‎ ‎∵（，2，…，），‎ 所以．　‎ ‎（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．‎ 不妨设，记， ，其中1，2，…，，‎ 则，‎ 因为，‎ 所以与具有相同的奇偶性，‎ 又因为与的奇偶性相同，‎ 所以的所有可能取值的奇偶性相同．‎ ‎13．对于数列，定义， ．‎ ‎(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；‎ ‎(2) 若， ，求数列的通项公式；‎ ‎ (3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．‎ ‎【答案】（1）不存在（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：(1)由题意知数列为递增数列，计算出数列的和与可得结果；(2)根据，可得，故可得，即数列， 均为公比为6的等比数列，可得其通项公式；(3)将题意转化为，先证必要性：设，其中为常数，可得，得结果，再证充分性：利用数学归纳法证得结果.‎ 试题解析：（1）由，可知数列为递增数列， 计算得， ，所以不存在，使得； ‎ ‎（2）由，可以得到当时，‎ ‎， ‎ ‎（3）证明：由题意，‎ 当时， ，‎ 因此，对任意，都有． ‎ 必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，‎ 显然，‎ 由于=，‎ 所以对于， 为常数，‎ 故为等差数列； ‎ 充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为 ‎ 当时，有成立 假设时为等差数列，‎ 即 ‎ 当时，由为等差数列，得，‎ ‎ 即： ，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 因此，‎ ‎ 综上所述：数列为等差数列．‎ 点睛：本题主要考查了数列的求和，数列通项公式的求法，充要条件的证明以及数学归纳法的应用，综合性较强，具有一定的难度；利用数列求和中的分组求和可解决第一个问题，在（2）中主要是通过“”是关键，在充要条件证明中一定要注意因果关系，同时注意数学归纳法中的步骤.‎ ‎14．已知含有个元素的正整数集（， ）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．‎ ‎（Ⅰ）写出， 的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：“， ，…， 成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ．‎ ‎【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先证必要性：由， ，…， 成等差数列，故，由等差数列的求和公式得: ；再证充分性：由，故（，，…，），故， ，…， 为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时， 的最大值为．‎ 试题解析:（Ⅰ）， .‎ ‎（Ⅱ）先证必要性：‎ ‎（Ⅲ）先证明（，，…，）．‎ 假设存在，且为最小的正整数．‎ 依题意，则 ，，又因为，‎ 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．‎ 故假设不成立，即（，，…，）成立．‎ 因此，‎ 即，所以．　‎ 因为，则，‎ 若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，‎ 故，即.‎ 此时可构造集合.‎ 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；‎ ‎……‎ ‎15．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.‎ ‎（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.‎ ‎（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若， ，数列和的距离小于2016，求的最大值.‎ ‎（3）记是所有7项数列（其中， 或）的集合， ，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.‎ ‎【答案】（1）7;（2）3455;（3）见解析.‎ ‎【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列是以4为周期的数列，由此可确定数列亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.‎ 试题解析：（1）由题得数列1，3，5， 6和数列2，3，10，7的距离为7.‎ 所以项数越大，数列和的距离越大.‎ 因为，‎ 而 ，‎ 因此，当时， .‎ 故的最大值为3455.‎ ‎（3）假设中的元素个数大于或等于17.‎ 因为数列中， 或1，‎ 所以仅由数列前三项组成的数组（， ， ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.‎ 那么这17个元素之中必有3个具有相同的， ， .‎ 设这3个元素分别为： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中 ‎， ， .‎ 所以中的元素个数小于或等于16.‎ ‎16．已知为正整数，数列满足，，设数列满足.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若数列是等差数列，求实数的值；‎ ‎（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）;‎ ‎（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，，将其进行检验得结果；‎ ‎（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.‎ 试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，‎ 得，所以， ‎ 因此，所以是以为首项公比为2的等比数列. ‎ ‎（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，‎ 则，所以. ‎ 当，N*，此时，对任意的N*，符合题意； ‎ 当，N*，当时，. 不合题意. ‎ 综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.‎ ‎17．已知数列中，，且点在直线上．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵若函数（，且），求函数的最小值；‎ ‎⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由（1）可得，‎ ‎，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后将该式整理即可得出．‎ 试题解析：⑴点在直线上，即，且，‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎，也满足，‎ ‎⑵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是单调递增的，故的最小值是．‎ 考点：函数与数列综合.‎ ‎【方法点晴】本题考查的是函数与数列综合，（1）中将点代入直线得到，可得到的通项公式.（2）关键是判断通过的单调性，通过，可得是单调递增的，故的最小值是．（3）通过，，通过累加并整理可得 ‎，最后将该式整理即可得出.‎ ‎18．已知是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且， ， .‎ ‎（Ⅰ）求数列， 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得， ‎ ‎，再代入等差与等比数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为， 的公比为，依题意得 解得， ，‎ 所以， ‎ ‎19．设数列的前项和，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.‎ ‎20．已知数列， 是其前项和，且满足.‎ ‎（1）求证:数列是等比数列；‎ ‎（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎ (2)由（1)知， ，∴.‎ ‎∴，‎ 故数列的前项和.‎