武汉中考数学试题及答案

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武汉中考数学试题及答案

‎2015年武汉市中考数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.在实数-3、0、5、3中,最小的实数是( )‎ ‎ A.-3 B.0 C.5 D.3‎ ‎2.若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范为是( )‎ ‎ A.x≥-2 B.x>-2 C.x≥2 D.x≤2‎ ‎3.把a2-2a分解因式,正确的是( )‎ ‎ A.a(a-2) B.a(a+2) C.a(a2-2) D.a(2-a)‎ ‎4.一组数据3、8、12、17、40的中位数为( )‎ ‎ A.3 B.8 C.12 D.17‎ ‎5.下列计算正确的是( )‎ ‎ A.2x2-4x2=-2 B.3x+x=3x2 ‎ ‎ C.3x·x=3x2 D.4x6÷2x2=2x3‎ ‎6.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )‎ ‎ A.(2,1) ‎ ‎ B.(2,0) ‎ ‎ C.(3,3) ‎ ‎ D.(3,1)‎ ‎7.如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其主视图是( )‎ ‎ ‎ ‎8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况,根据图中信息,下列说法错误的是( )‎ ‎ A.4:00气温最低 B.6:00气温为24℃‎ ‎ C.14:00气温最高 D.气温是30℃的为16:00‎ ‎9.在反比例函数图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),x1<0<y1,y1<y2,则m的取值范围是( )‎ ‎ A.m> B.m< C.m≥ D.m≤‎ ‎10.如图,△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )‎ ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D.‎ 二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)‎ ‎11.计算:-10+(+6)=_________‎ ‎12.中国的领水面积约为370 000 km2,将数370 000用科学记数法表示为_________‎ ‎13.一组数据2、3、6、8、11的平均数是_________‎ ‎14.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省______元。‎ ‎ ‎ ‎15.定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3=_________。‎ ‎16.如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是_________。‎ 三、解答题(共8小题,共72分)‎ ‎17.(8分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4)‎ ‎ (1)求这个一次函数的解析式 ‎ (2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集 ‎18.(8分)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF 求证:(1) △ABC≌△DEF ‎ (2) AB∥DE ‎19.(8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4‎ ‎(1) 随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率 ‎(2) 随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:‎ ‎ ① 两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率 ‎ ② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 ‎20.(8分),如图,已知点A(-4,2)、B(-1,-2),□ABCD的对角线交于坐标原点O ‎(1) 请直接写出点C、D的坐标 ‎(2) 写出从线段AB到线段CD的变换过程 ‎(3) 直接写出□ABCD的面积 ‎21.(本题8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB ‎(1) 求证:AT是⊙O的切线 ‎(2) 连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC的值 ‎22.(本题8分)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8‎ ‎(1) 如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K ‎① 求的值 ‎② 设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值 ‎(2) 若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长 ‎23.(本题10分)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q.记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3‎ ‎(1) 求证:EF+PQ=BC ‎(2) 若S1+S3=S2,求的值 ‎(3) 若S3-S1=S2,直接写出的值 ‎24.(本题12分)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(-1,0),B两点,交y轴于点C ‎(1) 求抛物线的解析式 ‎(2) 点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG,求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究)‎ ‎(3) 如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长 ‎ ‎ ‎2015年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.‎ ‎1.(3分)(2015•武汉)在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣3‎ B.‎ ‎0‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 实数大小比较.菁优网版权所有 分析:‎ 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.‎ 解答:‎ 解:根据实数比较大小的方法,可得 ‎﹣3<0<3<5,‎ 所以在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是﹣3.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•武汉)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ x≥﹣2‎ B.‎ x>﹣2‎ C.‎ x≥2‎ D.‎ x≤2‎ 考点:‎ 二次根式有意义的条件.菁优网版权所有 分析:‎ 根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.‎ 解答:‎ 解:根据题意得:x﹣2≥0,‎ 解得x≥2.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了二次根式有意义的条件,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•武汉)把a2﹣2a分解因式,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a(a﹣2)‎ B.‎ a(a+2)‎ C.‎ a(a2﹣2)‎ D.‎ a(2﹣a)‎ 考点:‎ 因式分解-提公因式法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式提取公因式得到结果,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:原式=a(a﹣2),‎ 故选A.‎ 点评:‎ 此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•武汉)一组数据3,8,12,17,40的中位数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎8‎ C.‎ ‎12‎ D.‎ ‎17‎ 考点:‎ 中位数.菁优网版权所有 分析:‎ 首先把这组数据3,8,12,17,40从小到大排列,然后判断出中间的数是多少,即可判断出这组数据的中位数为多少.‎ 解答:‎ 解:把3,8,12,17,40从小到大排列,可得 ‎3,8,12,17,40,‎ 所以这组数据3,8,12,17,40的中位数为12.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•武汉)下列计算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2a2﹣4a2=﹣2‎ B.‎ ‎3a+a=3a2‎ C.‎ ‎3a•a=3a2‎ D.‎ ‎4a6÷2a3=2a2‎ 考点:‎ 整式的除法;合并同类项;单项式乘单项式.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ A、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;‎ B、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;‎ C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断;‎ D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:A、原式=﹣2a2,错误;‎ B、原式=4a,错误;‎ C、原式=3a2,正确;‎ D、原式=2a3,错误.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查了整式的除法,合并同类项,以及单项式乘单项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(2,1)‎ B.‎ ‎(2,0)‎ C.‎ ‎(3,3)‎ D.‎ ‎(3,1)‎ 考点:‎ 位似变换;坐标与图形性质.菁优网版权所有 分析:‎ 根据位似变换的性质可知,△ODC∽△OBA,相似比是 ‎,根据已知数据可以求出点C的坐标.‎ 解答:‎ 解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,‎ ‎∴=,又OB=6,AB=3,‎ ‎∴OD=2,CD=1,‎ ‎∴点C的坐标为:(2,1),‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查的是位似变换,掌握位似变换与相似的关系是解题的关键,注意位似比与相似比的关系的应用.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•武汉)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图.菁优网版权所有 分析:‎ 根据主视图是从正面看得到的视图,可得答案.‎ 解答:‎ 解:从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是正视图,注意圆柱的主视图是矩形.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•武汉)下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4:00气温最低 B.‎ ‎6:00气温为24℃‎ ‎ ‎ C.‎ ‎14:00气温最高 D.‎ 气温是30℃的时刻为16:00‎ 考点:‎ 折线统计图.菁优网版权所有 分析:‎ 根据观察函数图象的横坐标,可得时间,根据观察函数图象的纵坐标,可得气温.‎ 解答:‎ 解:A、由横坐标看出4:00气温最低是24℃,故A正确;‎ B、由纵坐标看出6:00气温为24℃,故B正确;‎ C、由横坐标看出14:00气温最高31℃;‎ D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00,16:00,故D错误;‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了折线统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.折线统计图表示的是事物的变化情况,如气温变化图.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2015•武汉)在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>‎ B.‎ m<‎ C.‎ m≥‎ D.‎ m≤‎ 考点:‎ 反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有 分析:‎ 首先根据当x1<0<x2时,有y1<y2则判断函数图象所在象限,再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围.‎ 解答:‎ 解:∵x1<0<x2时,y1<y2,‎ ‎∴反比例函数图象在第一,三象限,‎ ‎∴1﹣3m>0,‎ 解得:m<.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题主要考查反比例函数的性质,关键是根据题意判断出图象所在象限.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•武汉)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2﹣‎ B.‎ ‎+1‎ C.‎ D.‎ ‎﹣1‎ 考点:‎ 旋转的性质;四点共圆;线段的性质:两点之间线段最短;等边三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有 分析:‎ 连接AD、DG、BO、OM,如图,易证△DAG∽△DCF,则有∠DAG=∠DCF,从而可得A、D、C、M四点共圆,根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,只需求出BO、OM的值,就可解决问题.‎ 解答:‎ 解:连接AD、DG、BO、OM,如图.‎ ‎∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,‎ ‎∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,‎ ‎∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,‎ ‎∴△DAG∽△DCF,‎ ‎∴∠DAG=∠DCF.‎ ‎∴A、D、C、M四点共圆.‎ 根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,‎ 当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,‎ 此时,BO===,OM=AC=1,‎ 则BM=BO﹣OM=﹣1.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识,求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.‎ ‎11.(3分)(2015•武汉)计算:﹣10+(+6)= ﹣4 .‎ 考点:‎ 有理数的加法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:原式=﹣(10﹣6)=﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ 点评:‎ 此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•武汉)中国的领水面积约为370 000km2,将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105 .‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值,由于370 000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.‎ 解答:‎ 解:370 000=3.7×105,‎ 故答案为:3.7×105.‎ 点评:‎ 本题主要考查了科学计数法:熟记规律:(1)当|a|≥1时,n的值为a的整数位数减1;(2)当|a|<1时,n的值是第一个不是0的数字前0的个数,包括整数位上的0是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•武汉)一组数据2,3,6,8,11的平均数是 6 .‎ 考点:‎ 算术平均数.菁优网版权所有 分析:‎ 首先求出2,3,6,8,11的和是多少;然后用2,3,6,8,11的和除以5,求出一组数据2,3,6,8,11的平均数是多少即可.‎ 解答:‎ 解:(2+3+6+8+11)÷5‎ ‎=30÷5‎ ‎=6‎ 所以一组数据2,3,6,8,11的平均数是6.‎ 故答案为:6.‎ 点评:‎ 此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:对于n个数x1,x2,…,xn,则=(x1+x2+…+xn)就叫做这n个数的算术平均数.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.‎ 考点:‎ 一次函数的应用.菁优网版权所有 分析:‎ 根据函数图象,分别求出线段OA和射线AB的函数解析式,即可解答.‎ 解答:‎ 解:由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,‎ ‎1千克苹果的价钱为:y=10,‎ 设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),‎ 把(2,20),(4,36)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴y=8x+4,‎ 当x=3时,y=8×3+4=28.‎ 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为:10×3=30(元),‎ ‎30﹣28=2(元).‎ 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.‎ 点评:‎ 本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数解析式.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•武汉)定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= 10 .‎ 考点:‎ 解二元一次方程组.菁优网版权所有 专题:‎ 新定义.‎ 分析:‎ 已知等式利用新定义化简,求出a与b的值,即可求出所求式子的值.‎ 解答:‎ 解:根据题中的新定义化简已知等式得:,‎ 解得:a=1,b=2,‎ 则2*3=4a+3b=4+6=10,‎ 故答案为:10.‎ 点评:‎ 此题考查了解二元一次方程组,弄清题中的新定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•武汉)如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是  .‎ 考点:‎ 轴对称-最短路线问题.菁优网版权所有 分析:‎ 作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.‎ 解答:‎ 解:作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,‎ 连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.‎ 根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,‎ ‎∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,‎ ‎∴∠N′OM′=90°,‎ ‎∴在Rt△M′ON′中,‎ M′N′==.‎ 故答案为.‎ 点评:‎ 本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到等边三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.‎ ‎17.(8分)(2015•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).‎ ‎(1)求这个一次函数的解析式;‎ ‎(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.‎ 考点:‎ 待定系数法求一次函数解析式;一次函数与一元一次不等式.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)把x=1,y=4代入y=kx+3,求出k的值是多少,即可求出这个一次函数的解析式.‎ ‎(2)首先把(1)中求出的k的值代入kx+3≤6,然后根据一元一次不等式的解法,求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可.‎ 解答:‎ 解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),‎ ‎∴4=k+3,‎ ‎∴k=1,‎ ‎∴这个一次函数的解析式是:y=x+3.‎ ‎(2)∵k=1,‎ ‎∴x+3≤6,‎ ‎∴x≤3,‎ 即关于x的不等式kx+3≤6的解集是:x≤3.‎ 点评:‎ ‎(1)此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:①先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;③解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.‎ ‎(2)此题还考查了一元一次不等式的解法,要熟练掌握,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2015•武汉)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:‎ ‎(1)△ABC≌△DEF;‎ ‎(2)AB∥DE.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;平行线的判定.菁优网版权所有 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)由SAS容易证明△ABC≌△DEF;‎ ‎(2)由△ABC≌△DEF,得出对应角相等∠B=∠DEF,即可得出结论.‎ 解答:‎ 证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,‎ ‎∴∠ACB=∠DFE=90°,‎ 在△ABC和△DEF中,,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS);‎ ‎(2)∵△ABC≌△DEF,‎ ‎∴∠B=∠DEF,‎ ‎∴AB∥DE.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2015•武汉)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.‎ ‎(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;‎ ‎(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:‎ ‎①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;‎ ‎②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;概率公式.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4直接利用概率公式求解即可求得答案;‎ ‎(2)①首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的情况,再利用概率公式求解即可求得答案;‎ ‎②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:(1)∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,‎ ‎∴随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为:;‎ ‎(2)画树状图得:‎ 则共有16种等可能的结果;‎ ‎①∵两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,‎ ‎∴两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为:=;‎ ‎②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,‎ ‎∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为:.‎ 点评:‎ 此题考查了树状图法与列表法求概率的知识.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)(2015•武汉)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.‎ ‎(1)请直接写出点C、D的坐标;‎ ‎(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;‎ ‎(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.‎ 考点:‎ 平行四边形的性质;坐标与图形性质;平移的性质.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)利用中心对称图形的性质得出C,D两点坐标;‎ ‎(2)利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可;‎ ‎(3)利用SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,进而求出即可.‎ 解答:‎ 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABCD关于O中心对称,‎ ‎∵A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),‎ ‎∴C(4,﹣2),D(1,2);‎ ‎(2)线段AB到线段CD的变换过程是:绕点O旋转180°;‎ ‎(3)由(1)得:A到y轴距离为:4,D到y轴距离为:1,‎ A到x轴距离为:2,B到x轴距离为:2,‎ ‎∴SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,‎ ‎∴SABCD=5×4=20.‎ 点评:‎ 此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质,根据题意得出SABCD的可以转化为矩形面积是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.‎ ‎(1)求证:AT是⊙O的切线;‎ ‎(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.‎ 考点:‎ 切线的判定;解直角三角形.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°,得出TA⊥AB,从而证得AT是⊙O的切线;‎ ‎(2)作CD⊥AT于D,设OA=x,则AT=2x,根据勾股定理得出OT=x,TC=(﹣1)x,由CD⊥AT,TA⊥AB得出CD∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出==,即==,从而求得CD=(1﹣)x,AD=2x﹣2(1﹣)x=x,然后解正切函数即可求得.‎ 解答:‎ 解:(1)∵∠ABT=45°,AT=AB. ‎ ‎∴∠TAB=90°,‎ ‎∴TA⊥AB,‎ ‎∴AT是⊙O的切线;‎ ‎(2)作CD⊥AT于D,‎ ‎∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,‎ 设OA=x,则AT=2x,‎ ‎∴OT=x,‎ ‎∴TC=(﹣1)x,‎ ‎∵CD⊥AT,TA⊥AB ‎∴CD∥AB,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴CD=(1﹣)x,TD=2(1﹣)x,‎ ‎∴AD=2x﹣2(1﹣)x=x,‎ ‎∴tan∠TAC===.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的判定,勾股定理的应用,平行线的判定和性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2015•武汉)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.‎ ‎(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.‎ ‎①求的值;‎ ‎②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;‎ ‎(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质;正方形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)①根据EF∥BC,可得,所以,据此求出的值是多少即可.‎ ‎②首先根据EH=x,求出AK=8﹣x,再根据=,求出EF的值;然后根据矩形的面积公式,求出S与x的函数关系式,利用配方法,求出S的最大值是多少即可.‎ ‎(2)根据题意,设正方形的边长为a,分两种情况:①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时;②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时;分类讨论,求出正方形PQMN的边长各是多少即可.‎ 解答:‎ 解:(1)①∵EF∥BC,‎ ‎∴,‎ ‎∴=,‎ 即的值是.‎ ‎②∵EH=x,‎ ‎∴KD=EH=x,AK=8﹣x,‎ ‎∵=,‎ ‎∴EF=,‎ ‎∴S=EH•EF=x(8﹣x)=﹣+24,‎ ‎∴当x=4时,S的最大值是24.‎ ‎(2)设正方形的边长为a,‎ ‎①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时,‎ ‎,‎ 解得a=.‎ ‎②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时,‎ ‎∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴BD=CD=12÷2=6,‎ ‎∴AB=AC=,‎ ‎∴AB或AC边上的高等于:‎ AD•BC÷AB ‎=8×12÷10‎ ‎=‎ ‎∴,‎ 解得a=.‎ 综上,可得 正方形PQMN的边长是或.‎ 点评:‎ ‎(1)此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.‎ ‎(2)此题还考查了二次函数的最值的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.‎ ‎(3)此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•武汉)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.‎ ‎(1)求证:EF+PQ=BC;‎ ‎(2)若S1+S3=S2,求的值;‎ ‎(3)若S3+S1=S2,直接写出的值.‎ 考点:‎ 相似形综合题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)由平行线得出比例式,,证出AP=BE,得出=1,即可得出EF+PQ=BC;‎ ‎(2)过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,设EF=a,PQ=b,AM=h,则BC=a+b,由平行线得出△AEF∽△APQ,得出=,得出AN=,MN=(﹣1)h,‎ 由三角形的面积公式得出S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,得出ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,求出b=3a,即可得出结果;(3)由题意得出(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,得出b=(1+)a,即可得出结果.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵EF∥BC,PQ∥BC,‎ ‎∴,,‎ ‎∵AE=BP,‎ ‎∴AP=BE,‎ ‎∴==1,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴EF+PQ=BC;‎ ‎(2)解:过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,如图所示:‎ 设EF=a,PQ=b,AM=h,‎ 则BC=a+b,‎ ‎∵EF∥PQ,‎ ‎∴△AEF∽△APQ,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AN=,MN=(﹣1)h,‎ ‎∴S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,‎ ‎∵S1+S3=S2,‎ ‎∴ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,‎ 解得:b=3a,‎ ‎∴=3,‎ ‎∴=2;‎ ‎(3)解:∵S3﹣S1=S2,‎ ‎∴(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,‎ 解得:b=(1±)a(负值舍去),‎ ‎∴b=(1+)a,‎ ‎∴=1+,‎ ‎∴=.‎ 点评:‎ 本题是相似形综合题目,考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及解方程等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形相似和解方程才能得出结果.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•武汉)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).‎ ‎(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值,则可得抛物线解析式;‎ ‎(2)过点C作CH⊥EF于点H,易证△EHC∽△FGC,再根据相似三角形的性质可得n的值;‎ ‎(3)首先表示出点P的坐标,再根据△OPM∽△QPB,然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长,从而可得△PBQ的周长.‎ 解答:‎ 解:(1)把A(﹣1,0)代入 得c=﹣,‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎(2)如图1,过点C作CH⊥EF于点H,‎ ‎∵∠CEF=∠CFG,FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E(m,n)‎ ‎∴F(m,)‎ 又∵C(0,)‎ ‎∴EH=n+,CH=﹣m,FG=﹣m,CG=m2‎ 又∵,‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=(﹣2<m<0)‎ ‎(3)由题意可知P(t,0),M(t,)‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,‎ ‎∴△OPM∽△QPB.‎ ‎∴.‎ 其中OP=t,PM=,PB=1﹣t,‎ ‎∴PQ=.‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=.‎ ‎∴△PBQ的周长为2.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的综合应用,同时涉及了相似三角形的判定与性质,具有一定的综合性与难度,解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用.‎
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