数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考（2017

数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考（2017

衡阳八中2018届高三实验班上学期第三次月考试卷 文数（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.函数f（x）=x2+2x，集合A={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，B={（x，y）|f（x）≤f（y）}，则由A∩B的元素构成的图形的面积是（　　）‎ A．π B．2π C．3π D．4π ‎2.若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎4.已知实数x，y满足，若z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，5）B．（﹣，0）C．[0，5]D．[﹣，5]‎ ‎5.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（　　）‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2‎ ‎6.已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（　　）‎ A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）‎ B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）‎ C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）‎ D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）‎ ‎7.函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.将函数f（x）=cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（　　）‎ A．[4k+1，4k+3]（k∈Z） B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[2k+1，2k+2]（k∈Z） D．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）‎ ‎9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，f（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0改写成如下形式f（x）=（…（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…a1）x+a0．至今仍是比较先进的算法，特别是在计算机程序应用上，比英国数学家取得的成就早800多年．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为5，2，则输出v的值为（　　）‎ A．130 B．120 C．110 D．100‎ ‎10.已知矩形tanA=3tanC，E、F分别是BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC的外接球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）‎ A． +=4 B． +=2‎ C．e12+e22=4 D．e12+e22=2‎ ‎12.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎  ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3， =2，则在方向上的投影为　　．‎ ‎14.抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，抛物线M与 椭圆N交于A，B，若F，A，B共线，则椭圆N的离心率等于　　．‎ ‎15.已知数列{an}满足a1=2，且，则{an}的通项公式为　　．‎ ‎16.若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是　　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．‎ ‎（I）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图（1）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1OC；‎ ‎（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=2，求四棱锥A1﹣BCDE的体积．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，求“这3人中既有A组又有B组”的概率．‎ 参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ K0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆W：（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=ax2+bx+clnx（a，b，c∈R）．‎ ‎（1）当a=﹣1，b=2，c=0时，求曲线y=f（x）在点（2，0）处的切线方程；‎ ‎（2）当a=1，b=0时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（3）当b=﹣2a，c=1时，是否存在实数a，使得0＜x≤2时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内（含边界）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 选做题 请考生从22、23两题中任选一题作答，并将选择的题号填涂在答题卡上，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于不同两点A，B，求tanα的取值范围．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．‎ 衡阳八中2017年下期高三实验班第三次月考文数参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B A C B D A A B B A ‎13.‎ ‎14.﹣1‎ ‎15.an=n+1‎ ‎16.-3‎ ‎17.‎ ‎（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]= cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．‎ 令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，‎ 令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．‎ ‎∴f（x）=sin（x﹣）．‎ ‎∴f（x）的最小正周期T=．（6分）‎ ‎（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．‎ 由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．（9分）‎ ‎∴S△ABC==≤．‎ ‎∴△ABC面积的最大值是．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（Ⅰ）在图（1）中，因为AD∥BC，AB=BC=AD=a，‎ E是AD中点，∠BAD=，‎ 所以BE⊥AC，且CD∥BE，‎ 所以在图（2）中，BE⊥A1O，BE⊥OC，…（4分）‎ 又BE⊥平面A1OC，CD∥BE，‎ 所以CD⊥平面A1OC． …（6分）‎ ‎（Ⅱ）由题意，可知平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，‎ 又由（1）可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，…（8分）‎ 由图（1）知，A1O=AB=a，，又a=2，‎ 所以四棱锥A1﹣BCDE的体积V==．…（12分）‎ ‎19.‎ ‎（Ⅰ）由列联表可得K2=≈0.64935＜0.708．‎ 所以没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；（4分）‎ ‎（Ⅱ）依题意可知，所抽取的5位女性中，A组3 人，B组2人；（8分）‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，有=10种方法，这3人中既有A组又有B组的方法有=9种，∴“这3人中既有A组又有B组”的概率为P=0.9．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（Ⅰ）由题意可知：|F1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF1|+|PF2|=2，a=，‎ b2=a2﹣c2=2，离心率e==，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：；（4分）‎ ‎（Ⅱ）当直线l2⊥l1，当斜率不存在时，EF1⊥EF2，此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1，‎ ‎∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，‎ ‎∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=丨AC丨•丨BE丨+丨AC丨•丨DE丨=丨AC丨•丨BD丨，‎ 将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD丨=，丨AC丨=2，‎ 则四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=4，（6分）‎ 当直线l2，l1都存在时，设直线l1，x=my﹣1，（m≠0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，‎ 则y1+y2=，y1y2=﹣，‎ 则丨AC丨=•=，（8分）‎ 同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，（9分）‎ ‎∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××，‎ ‎=，‎ ‎==4×，（10分）‎ ‎=4（1﹣）＜4，‎ 综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（1）当a=﹣1，b=2，c=0时，f（x）=﹣x2+2，‎ 则f′（x）=﹣2x+2，f′（2）=﹣2，‎ ‎∴所求的切线方程为y=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣4=0；（3分）‎ ‎（2）f（x）=x2+clnx，x＞0，f′（x）=2x+=，‎ c≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，‎ c＜0时，令f′（x）=0，得x2=﹣，解得：x=，‎ ‎0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0，‎ ‎∴x=时，f（x）取得极小值f（）=ln（﹣）﹣，‎ f（x）无极大值；（6分）‎ ‎（3）f（x）=ax2﹣2ax+lnx，由题意得0＜x≤2时，f（x）≤x﹣1，‎ 即ax2﹣（2a+1）x+1+lnx≤0，‎ 设g（x）=ax2﹣（2a+1）x+1+lnx，‎ 则问题等价于x∈（0，2]时，g（x）max≤0，‎ g′（x）=2ax﹣（2a+1）+=，‎ ‎①a≤0时，g′（1）=0，0＜xx＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）max=g（1）=﹣a≤0，‎ ‎∴a≥0，故a=0满足题意；‎ ‎②a＞0时，g′（x）=，‎ ‎=1即a=时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）递增，‎ x∈（0，2]时，g（x）max=g（2）=﹣1+ln2＜0，满足题意；‎ ‎＞1即0＜a＜时，g（x）在（0，1）和（，+∞）递增，在（1，）递减，‎ g（1）=﹣a＜0，g（2）=﹣1+ln2＜0，‎ ‎∴x∈（0，2]时，g（x）max＜0；‎ ‎0＜＜1即a＞时，g（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减，‎ g（）=﹣+ln＜0，g（2）=﹣1+ln2＜0，‎ ‎∴x∈（0，2]时，g（x）max≤0，满足题意；‎ 综上，存在实数a满足题意，a的范围是[0，+∞）．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=．‎ ‎∴24=ρ2（7﹣cos2θ+sin2θ），‎ ‎∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ ‎∴曲线C的普通方程为24=7（x2+y2）﹣x2+y2，即=1．‎ ‎（2）∵直线l的参数方程是（t为参数），‎ 将直线l的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），‎ 代入C的普通方程并整理得（4k2+3）x2+16kx+4=0，‎ 故△=162k2﹣16（4k2+3）＞0，‎ 解得k＜﹣或k＞，‎ ‎∴tanα的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．‎ ‎23.‎ ‎（1）∵a=1，f（x）＞1⇔|x﹣1|﹣2|x+1|＞1， ，‎ ‎∴解集为 ‎（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立⇔|x﹣1|﹣2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立 ‎⇔1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，‎ ‎∴a的范围为