【推荐】专题4-4 三角函数的最值与综合应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题4-4 三角函数的最值与综合应用-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎【真题回放】‎ ‎1.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ A. B.π C. D.2π ‎【答案】B ‎【解析】由题；,故最小正周期,故选B.‎ ‎【考点解读】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的图象和性质，为基础题。‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【考点解读】本题考查运用三角函数公式式解决求值问题。三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得或，所以，故选A．‎ ‎【考点解读】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点解读】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象的平移变换。需注意；在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化。‎ ‎5.【2017江苏5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】．故答案为．‎ ‎【考点解读】本题考查了三角函数求值及变角方法，为基础题。‎ ‎6.【2017北京理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.‎ 若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，‎ ‎∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，‎ ‎∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣‎ 方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，‎ ‎∵α，β角的终边关于y轴对称，‎ ‎∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，‎ ‎∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣ ∵sinα=，‎ 当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，‎ ‎∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，‎ ‎∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣‎ 综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣‎ ‎【考点解读】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题 ‎7.【2017课标II理14】函数（）的最大值是 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【考点解读】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题。‎ ‎8. 【2017课标上海高考】设a1、a2∈R，且，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，‎ 要使，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．‎ 则：，‎ 那么：。 ‎ ‎∴|10π﹣α1﹣α2|=的最小值为．故答案为：．‎ ‎【考点解读】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．‎ ‎9.【2017江苏高考16】 已知向量 ‎ （1）若a∥b,求x的值；‎ ‎ （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎【考点解读】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题 ‎10.【2017浙江高考18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）‎ f（）=2sin（2×+）=2sin=2， ‎ ‎（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，‎ 由2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：‎ x∈[+kπ， +kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为；‎ ‎[+kπ， +kπ]或写成．‎ ‎【考点解读】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，‎ 难度中档．‎ ‎11.【2017山东高考理16】设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2‎ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.‎ ‎【考点解读】本题考查了两角和与差的三角函数及三角函数图象的变换与性质。此类题目是三角函数问题中的典型题目。解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等。‎ ‎【考点分析】‎ 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 函数的图像 C 用三角函数解决一些简单的实际问题 B 简单的三角恒等变换 B ‎ 三角函数部分内容特点为；公式众多、内容丰富、变化灵活、渗透性强．通过对这几年高考试题的分析可知，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用。‎ 具体考点为；（1）了解函数的物理意义；能画出的图像，了解的函数性质，‎ ‎（2）简单的三角恒等变换；能运用三角公式公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。‎ ‎（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。‎ ‎【融会贯通】‎ 题型一 三角函数的最值问题 ‎ 典例1. (1) （2017银川一中月考）函数在区间[0，]上的最小值为____。‎ ‎【答案】1‎ ‎ 因为，所以，当时，‎ 易知y的最小值为 故为“1”。‎ ‎（2）（2017江西南昌模拟）函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简可得,‎ ‎∴当时,原式取到最大值，故答案为： .‎ ‎(3)(2017成都模拟)函数y＝cos2x－2sin x的最大值为________，最小值为________．‎ ‎【答案】　2　－2‎ ‎【解析】y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－(sin x＋1)2＋2，‎ ‎∵sin x∈[－1,1]，∴ymax＝2，ymin＝－2. ‎ ‎（4）（2017河北唐山模拟）函数的最大值为，最小值为，则等 于________.‎ ‎【答案】2‎ ‎（5）（2017开封模拟）已知函数，的值域为________.‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 三角函数最值或值域的三种求法 ‎1．直接法：利用sin x，cos x的值域．‎ ‎2．化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．‎ ‎3．换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017兰州一中月考）已知函数，则的最大值为________．‎ 最小值为________．‎ ‎【答案】　　‎ ‎【解析】由题 ‎ ， 。‎ ‎（2）（2017江西赣州模拟）设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】由题原式可化成一般式得y＝sin(x－φ)，sin(θ－φ)＝1，即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z).∴cos θ＝cos＝－sin φ＝－.‎ ‎（3）（2017开封模拟）已知向量则 ‎= 、= ，设函数R），取得最大值 时的x的值是 .‎ ‎【答案】， Z ‎（4）（2017包头市模拟）函数（）的值域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，由于，故.‎ ‎（5）（2017安徽无为县模拟）已知函数图象的一条对称轴是，且当 时，函数取得最大值，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数图象的一条对称轴是 ‎ ‎．‎ ‎【知识链接】‎ 知识点1　三角函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R x≠kπ＋，k∈Z 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 单调性 递增区间：‎ ，k∈Z 递减区间：‎ ，k∈Z 递增区间：‎ ‎[2kπ－π，2kπ]，‎ k∈Z 递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 递增区间kπ－，kπ＋，k∈Z 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，0，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 周期 ‎2π ‎2π π 知识点2　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)的简图 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0 ‎ 名师点睛；(1)对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)‎ 可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ 题型二　三角函数的综合问题 考向1：三角恒等变形与求值和化简 典例2. （1）（2017银川模拟）的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题；‎ ‎（2）（2017湖北黄石模拟）已知是第四象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则： .选D.‎ ‎（3）(2017西安模拟)已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎（4）（2017河北武邑县模拟）已知， ，若 ‎，则_____________；‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，若，‎ 可知： ，即， ‎ ‎，故.故答案为2. ‎ ‎（5）（2017江西景德镇模拟）已知，且满足，‎ ‎，则 __________．‎ ‎【答案】‎ 解题技巧与方法总结 三角函数求值和化简的类型及方法 类型： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.‎ ‎(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角范围，再求值”.‎ 化简要遵循“三看”原则 ‎1．一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使 用公式．‎ ‎2．二看“函数名称”，看它们间的差异，从而确定使用的公式，‎ 常见的有“切化弦”．‎ ‎3．三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向 ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017甘肃武威模拟）下列各式中，值为的是（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 A、 ， B、，‎ C、， D、，故选择C ‎（2）（2017河北保定模拟）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在射线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为终边在射线上，在其上取一点， ，则， ，所以．故选C．‎ ‎（3）（2017湖南省郴州市质检）已知，且（），则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎（4）（2017湖北武汉模拟）设的三个内角为， ， ，且， ， ， ‎ 依次成等差数列，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件可得 ，所以 为锐角三角形，‎ 又 得 ，‎ 所以 故选：C.‎ ‎（5）（2017河北正定中学模拟）设且则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎（6）(2017广州模拟)已知sin α＝，α∈，则＝________.‎ ‎【答案】　－ ‎【解析】　＝＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴原式＝－.‎ ‎（7）（2017衡阳模拟）已知向量， ，满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ 知识链接：‎ ‎1. 任意角三角函数的定义；设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，‎ 则sin α＝，cos α＝，tan α＝.‎ ‎2. 同角三角函数的基本关系；‎ ‎（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （2）商数关系：tan α＝.‎ ‎3. 三角函数的诱导公式；‎ 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α ‎－cos_α cos_α ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 记忆口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 考向2三角函数图象性质的应用 典例3. (1)(2015陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. ‎ ‎（2）（2017江苏张家港模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足.则下列叙述错误的是（ ）．‎ A. ‎ ‎ B. 当时，点到轴的距离的最大值为6‎ C. 当时，函数单调递减 ‎ D. 当时， ‎ ‎【答案】C ‎ (3) (2017福建莆田模拟)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎①求实验室这一天的最大温差；‎ ‎②若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ 解题技巧与方法总结 三角函数模型的应用 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017宝鸡模拟）如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是(　　)‎ A．该质点的振动周期为0.7 s ‎ B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是 错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的，D正确. ‎ ‎（2）（2017湖北十堰模拟）如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图像，则当t＝秒时，电流强度是________安．‎ ‎【答案】　5‎ ‎ ‎ ‎（3）（2017青海西宁模拟）如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．‎ ‎(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)‎ ‎(2)估计当年3月1日动物种群数量．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 (1)设种群数量y关于t的解析式为；y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，‎ 则解得A＝100，b＝800.‎ 又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，‎ ‎∴y＝100sin＋800. 又当t＝6时，y＝900，‎ ‎∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，‎ ‎∴取φ＝－， ∴y＝100sin＋800.‎ ‎(2) 当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，‎ 即当年3月1日种群数量约是750.‎ ‎（4）（2017广东东莞模拟）一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示.是等腰梯形，米，（在的延长线上，为锐角）.圆与都相切，且其半径长为米.是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？‎ ‎【答案】当时，立柱最矮.‎ 得，所以.‎ 令，，则，‎ 设，.列表如下：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 减 极小值 增 所以当，即时，取最小值.答：当时，立柱最矮.‎ 知识链接：‎ ‎1. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)的简图 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0 ‎ ‎2. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ≥0)，‎ 表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 考向3：三角恒等变换的综合运用 典例4. （1）（2017山东菏泽模拟）函数 最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】：因为,所以其周期,故选C. ‎ ‎（2）（2017江苏昆山模拟）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A.向右平移个单位长 B.向右平移个单位长 ‎ C.向左平移个单位长 D.向左平移个单位长 ‎ ‎【答案】A ‎（3）（2017开封模拟）将函数的图像向左平移个单位长度后，所得 到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，左移个单位得到关于轴对称，‎ 故，即，最小正数为.‎ ‎（4）（2017四川省成都市九校联考）已知函数的最大值为3， 的图像与轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（ ）‎ A. 4030 B. 4032 C. 4033 D. 4035‎ ‎【答案】C ‎（5）（2017河北衡水金卷）已知函数，且给定条件 “”，条件 “”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时， ，则，所以，‎ 又当时， ，若是的充分不必要条件，则 ‎，所以，故选择A. ‎ ‎　(6)(2017浙江丽水模拟)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．‎ ‎【答案】　π　 ‎【解析】f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝＋sin.‎ 故最小正周期T＝＝π.当sin＝－1时，f(x)取得最小值为－＝.‎ ‎（7）（2017江苏淮安模拟）已知函数，以下四个结论：‎ ‎①既是偶函数，又是周期函数； ②图象关于直线对称；‎ ‎③图象关于中心对称； ④的最大值 其中，正确的结论的序号是__________.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎ ‎ ‎（8）（2017银川一中模拟）已知函数.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求函数的最大值和单调增区间.‎ ‎【答案】（1）=.（2）.，．‎ ‎【解析】分析：（1）借助题设条件建立方程，再运用同角三角函数的关系分析求解；‎ ‎（2）依据题设条件运用三角变换的公式及正弦函数的图像与性质分析求解：‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎∴当时，.‎ 由，，得，‎ ‎∴的单调增区间为，．‎ ‎（9）（2017湖北襄阳模拟）已知，‎ 其中，若函数，且它的最小正周期为．‎ ‎（1）求的值，并求出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）当（其中）时，记函数的最大值与最小值分 别为与，设，求函数的解析式；‎ ‎（3）在第（2）问的前提下，已知函数，，若对于任意，，总存在，使得成立，求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．;‎ ‎（2）; ‎ ‎（3）．‎ ‎（1）∵，∴．∴‎ 单调递增区间为：，即．‎ ‎（2）若，，，‎ 此时；‎ 若，，‎ ‎，此时；‎ 若，，，‎ 此时；‎ 若，，‎ ‎，此时．‎ 综上所述，．‎ 解题技巧与方法总结 ‎1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎3.通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简单的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质.‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）(2017四川乐山模拟)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)‎ A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x ‎【答案】　A ‎ ‎ ‎（2）（2017江西九江模拟）已知函数， 的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简 ‎ 当 ,即 ‎ 是 是增函数，故选A.‎ ‎（3）（2017银川模拟）已知函数的最小正周期为，若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图像关于原点对称，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，将其图像沿轴向右平移个单位得，又图像关于原点对称，所以为奇函数，所以，由a>0,所以的最小值为 ‎（4）（2017辽宁锦州模拟）若函数（）满足，，且的最小值为，则正数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数sin2ωx−cos2ωx= (x∈R)满足 ‎， ,且|α−β|的最小值为,故函数f(x)的最小正周期为4⋅=3π=，正数ω=故选：A.‎ ‎（5）（2017兰州模拟）已知，则______，______．‎ ‎【答案】；1．‎ ‎【解析】由题，所以 ‎（6）（2017福建漳州模拟）已知是函数在内的两个零点，‎ 则 .‎ ‎【答案】‎ ‎（7）(2017北京西城模拟)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；‎ ‎(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ‎＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝. 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，k∈Z. ∴f(x)的单调减区间为，k∈Z.‎ ‎(2) ∵f＝，即sin＝1.‎ 因为α∈(0，π)，－<α－<，所以α－＝，故α＝.‎ 因此tan＝＝＝2－.‎ ‎（8）（2017山东潍坊模拟）已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎(1) 由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和，‎ 所以 即解得 ‎ ‎ ‎ ‎ 知识链接：‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式；sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ cos(α±β)＝cosαcosβ±sinαsinβ； tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ 必会结论：(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．‎ ‎(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.‎ ‎ (5)利用辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)转化时，‎ 一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．‎ ‎(6)计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，应先求ωx＋φ的范围，‎ 不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．‎ 课本典例解析与变式 例1.【必修四第140页例3】求函数 的周期，最大值和最小值。‎ ‎【解析】分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。‎ ‎ 解：‎ ‎ 所以，所求的周期为，最大值为2，最小值为-2‎ ‎【原题解读】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换。体现了转化的思想方法，同时此类题型为三角函数解答题的基本题型。‎ 变式1.【2014上海高考】 函数的最小正周期是 .　　　　　‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意， 变式2.【2014山东高考】函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 变式3.【2014全国高考课标2】 函数的最大值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知得， ‎ ，故函数的最大值为1．‎ 变式4.【2015高考浙江】函数的最小正周期是 ，‎ 最小值是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 变式5.【2016高考浙江】已知，则______，______．‎ ‎【答案】；1．‎ ‎【解析】由题；，所以 变式6.【2016高考上海】若函数的最大值为5，则常数______.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题：，其中，故函数的最大值为，‎ 由已知，，解得.‎ 变式7.【2015高考安徽】已知函数 ‎（Ⅰ）求最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为，最小值为0‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 所以函数的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果， 当 时， 由正弦函数在上的图象知，‎ 当，即时，取最大值；‎ 当，即时，取最小值.‎ 综上，在上的最大值为，最小值为.‎ 变式8.【2016高考北京】已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．‎ ‎ ‎ 变式9. 【2015高考重庆】已知函数f(x)=sin2x-.‎ ‎(Ⅰ)求f（x）的最小周期和最小值，‎ ‎(Ⅱ)将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）‎ 的图像.当x时，求g(x)的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题，例题常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ ‎【练习检测】‎ ‎1.（2017甘肃天水模拟）函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小正周期和最小值分别为(　　)‎ A．π，2－ B．π，0‎ C．2π，0 D．2π，2－ ‎【答案】A ‎【解析】选A.y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2.∵ω＝2，∴T＝＝π，则函数的最小正周期为π.令2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，ymin＝2－，则函数的最小值为2－.‎ 考点：三角恒等变换与三角函数的性质 ‎2.（2017江西南昌模拟）定义，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点：三角恒等变换与求值 ‎3.（2017山东泰安模拟）设单位向量，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】为单位向量，所以，解得，‎ ‎，故选A.‎ 考点：平面向量与三角函数求值 ‎4.（2017开封模拟）已知是方程的两个根，且,则的值是( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，因此均为负，从而， ，又，所以.故选B.‎ 考点：两角和与差的正切公式，三角函数的求角问题.‎ ‎5.（2017江西景德镇模拟）为了得到函数的图像，只需把函数的 图像（ ）‎ A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】A 考点：1、三角恒等变换；2、图象平移.‎ ‎6.（2017河北邯郸模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 的图象关于直线对称 B. 的周期为 C. 若，则（） D. 在区间上单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】∵， ，故函数的图象关于直线， 对称，故A错误； 的周期为 ，故B错误；函数的周期为，若，则（），故C错误； 在区间上单调递减，故D正确；故选D.‎ 考点：三角函数恒等变换与三角函数的性质 ‎7.（2017福建莆田一中模拟）已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B ‎【解析】　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－，∴sin2＝＝＝.‎ 考点：三角恒等变换与求值 ‎8.（2017开封模拟）已知函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质.‎ ‎9.（2017银川模拟）设的三个内角为， ， ，且， ， ， 依 次成等差数列，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件可得 ，所以 为锐角三角形，‎ 又 得 ，‎ 所以 故选：C.‎ 考点：三角恒等变换.‎ ‎10.（2017宁夏石嘴山模拟）已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）‎ A. 5 B. -5 C. 11 D. -11‎ ‎【答案】A 考点：三角函数恒等变换与三角函数的性质 ‎11.（2017湖北黄石模拟）已知函数的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，函数，‎ ‎∵函数f（x）最大值为A，∴A=2．函数的周期T=．‎ 存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，‎ 可知实数x1，x2使得函数取得最大值和最小．‎ ‎∴|x1﹣x2|．当|x1﹣x2|=时，可得A|x1﹣x2|的最小值为．故选B．‎ 考点：三角变换公式及三角函数的图象和性质的综合运用.‎ ‎12.（2017安徽省蚌埠市质检）已知函数 ，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 考点：三角变换公式及三角函数性质的综合运用.‎ ‎13.（2017兰州模拟）设，，，若∥，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】∵，，∥，∴，即，‎ 又∵，∴，.‎ 考点：1.平面向量共线的坐标表示；2.三角恒等变形.‎ ‎14.（2017海口模拟）已知函数在处取得最大值，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题，其中， ．‎ 又当时， 取得最大值，所以，即，‎ 所以。‎ 考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的性质.‎ ‎15.（2017长沙模拟）已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：三角变换公式及三角函数性质的综合运用.‎ ‎16.（2017西安模拟）函数所有零点之和为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 原函数可化为 ，令，由上图可得两函数图像有四个交点且都关于 对称，因此原函数由四个零点从左至右分别记为 .‎ 考点：三角变换公式及三角函数性质的综合运用.‎ ‎17.（2017甘肃武威模拟）已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎(1)求sin 2β的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ ‎【答案】见解析 考点：三角变换公式与求值.‎ ‎18.（2017哈尔滨模拟）如图，在中，是边上的点，且，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设（，），求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ 考点：1.三角函数的性质. 2.三角的恒等变形.‎ ‎19.（2017广西南宁模拟）已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）.‎ 因为函数的单调递减区间为．‎ 由，‎ 得．‎ 所以的单调递减区间为．‎ 考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数图像及性质.‎ ‎20.（2017江西九江模拟）已知，平面向量，‎ 函数的最小正周期是.‎ ‎（I）求的解析式和对称轴方程；‎ ‎（II）求在上的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（I）‎ ‎，，‎ 由，得对称轴方程为.‎ 考点：平面向量，三角恒等变换与三角函数的图象和性质.‎ ‎21.（2017武汉模拟）为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，且，设．‎ ‎（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；‎ ‎（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）连接，根据对称性可得且，‎ 所以，‎ 所以，其中 ‎（2）记，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减．‎ 所以，即时，‎ 考点：三角变换及导数等有关知识的综合运用.‎ ‎22.（2017广州模拟）54、已知函数.‎ ‎（1）若且，求；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（3）记函数在上的最大值为，且函数在上单调递增，‎ 求实数的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3).‎ ‎（2）∵，∴，又，‎ ‎∴所求切线方程为.‎ ‎ ‎ 考点：1.三角函数求值；2.切线方程；3.三角函数单调性的应用.‎ ‎ ‎