高考数学【理科】真题分类详细解析版专题21 几何证明选讲（原卷版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题21 几何证明选讲（原卷版）

专题21 几何证明选讲 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎ 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。‎ ‎（2013·陕西理）B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ . ‎ ‎（2013·广东理）15. (几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·辽宁卷）如图1－8，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两 点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)AC·BD＝AD·AB；‎ ‎(2)AC＝AE.‎ ‎（2012·江苏卷]如图1－7，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.‎ 求证：∠E＝∠C. ‎ ‎（2012·湖北卷]如图1－6所示，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连结OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．‎ ‎（2012·全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．16 B．14‎ C．12 D．10‎ ‎（2012·北京卷）如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)‎ A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2‎ D．CE·EB＝CD2‎ ‎（2012·广东卷]如图1－3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.‎ ‎（2012·湖南卷）如图1－3，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．‎ 图1－3‎ ‎（2012·课标全国卷]如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：‎ ‎(1)CD＝BC；‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ ‎（2012·陕西卷]如图1－5，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.‎ 图1－5‎ ‎（2012·天津卷）如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．‎ 图1－3‎ ‎（2011·北京卷）如图1－2，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.‎ 给出下列三个结论：‎ ‎①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；‎ ‎②AF·AG＝AD·AE；‎ ‎③△AFB∽△ADG.‎ 其中正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．①②③‎ 图1－2‎ ‎（2011·广东卷)如图1－2，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.‎ ‎（2011·广东卷)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，‎ E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．‎ 图1－2‎ ‎（2011·湖南卷）如图1－2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．‎ ‎（2011·辽宁卷）选修4－1：几何证明选讲 图1－11‎ ‎ 如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎（2011·辽宁卷） 如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线 图1－10‎ 与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎（2011·课标全国卷）如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．‎ 图1－10‎ 已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．‎ ‎(1)证明：C，B，D，E四点共圆；‎ ‎(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．‎ 图1－11‎ ‎（2011·陕西卷） ‎ 图1－5‎ ‎ (几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.‎ ‎1．(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若 ‎，，则的值为 。‎ ‎ ‎ ‎2. (2010年高考湖南卷理科10)如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________.‎ ‎3．（2010年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.‎ ‎4．（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则. ‎ A B C D O ‎5．（2010年高考北京卷理科12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。‎ ‎6．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲 AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ ‎7. (2010年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ ‎（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；‎ ‎（Ⅱ）BC2=BF×CD。‎ ‎1．（2009广东几何证明选讲选做题15）如图4，点A，B，C是圆O上的点，且，则圆O的面积等于 .‎ ‎ ‎ ‎2.（2009海南宁夏22）如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H，‎ ‎，F在AC上，且AE=AF。‎ ‎ （I）证明：B，D，H，E四点共圆；‎ ‎ （Ⅱ）证明：‎ ‎3．（2009辽宁22） 已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。‎ ‎ （I）求证：AD的延长线平分∠CDE；‎ ‎ （II）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为，求△ABC外接圆的面积。‎ ‎1．（2008广东，15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O直 径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。‎ ‎3．（2008江苏，‎21A，10分）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，‎ ‎∠BAC的平分线与BC交于点D。‎ ‎ 求证：ED2=EC·EB。‎ ‎4．（2008宁夏、海南，22，10分）（选修4—1：几何证明选讲）如图，过圆O外一点M作它的一条 切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。‎ ‎ （1）证明：OM·OP=OA2；‎ ‎ （2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM=90°。‎ ‎ 5.（2008海南宁夏22）选修1—4：几何证明选讲 如图 ，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.‎ ‎（Ⅰ）证明：OM·OP=OA2；‎ ‎（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°‎ ‎ 1．如图1，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的半径R＝________.‎ ‎ ‎ 　　 解析：如图2所示，连接OA、OB，‎ 则∠AOB＝90°，‎ ‎∵AB＝4，OA＝OB，‎ ‎∴OA＝2，即R＝2.‎ 答案：2 图3‎ ‎2．如图3，AB、CD是圆O内的两条平行弦，BF∥AC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PC＝ED＝1，PA＝2，则AC的长为________．‎ 解析：∵PA是⊙O的切线，∴由切割线定理得：PA2＝PC·PD，∵PA＝2，PC＝1，∴PD＝4，[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2，由题意知四边形ABEC为平行四边形，∴AB＝CE＝2.连接BC，∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PAC＝∠CBA，∵AB、CD是圆的两条平行弦，‎ ‎∴∠PCA＝∠CAB，∴△PAC∽△CBA，‎ ‎∴＝，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝.‎ 答案： ‎3．如图4，已知圆O的半径为3，PAB和PCD为圆O的两条割线，且O在线段AB上，若PB＝10，PD＝8，则线段CD＝________；∠CBD＝________.‎ 图6‎ ‎5．如图6，已知点C在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于点A，若AB＝AC，则＝________.‎ 解析：因为∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，所以△ACE∽△BCA，则＝，在△ABC中，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝30°，在Rt△ABE中，＝tanB＝tan30°＝.故＝.‎ 答案： 图7‎ ‎6．如图7，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.若CD＝2，CB＝2，则由B、P、E、F四点所确定的圆的直径为________．‎ 图8‎ ‎7．如图8，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2，则AB＝________.‎ 解析：由射影定理可知，‎ AC2＝AD·AB，‎ 所以AB＝＝10.‎ 答案：10‎ 图9‎ ‎8．如图9所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED＝3，BD＝6，则线段AE的长＝________.‎ 解析：∵∠E＝∠E，∠EAD＝∠EBA，∴△EDA∽△EAB，得＝，即AE2＝ED·BE＝3×9，AE＝3.‎ 答案：3 ‎9．如图10，正△ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与△ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段PM＝________.‎ 解析：设PM＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得PM·MQ＝BM·MA，即x·(x＋1)＝1，解得x＝.‎ 答案： ‎10．如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.‎ 解析：连接AB，设BC＝AD＝x，结合图形可得 ‎△CAB与△CED相似，于是＝.‎ 即＝⇒x＝2.‎ 又因为AC是小圆的直径，所以∠CBA＝90°，‎ 由于∠CDE＝∠CBA，所以∠CDE＝90°.‎ 在直角三角形CDE中，DE＝＝＝6.‎ 答案：6 ‎11．如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.‎ 解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，‎ ‎∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.‎ 答案：75°‎ ‎12.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.‎ 解析：连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，BC＝DE＝a，∴BD＝ ＝a，∴EF＝BD＝.‎ 答案： ‎13．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.‎ ‎(1)求证：B，D，H，E四点共圆；‎ ‎(2)求证：CE平分∠DEF.‎ ‎14．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.‎ ‎(1)求证：∠EDF＝∠CDF；‎ ‎(2)求证：AB2＝AF·AD.‎ 证明： (1)∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，‎ ‎∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，‎ ‎∴∠EDF＝∠CDF.‎ ‎(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，‎ ‎∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·AD.‎ ‎15．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.‎ ‎(1)证明：CD∥AB；‎ ‎(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ 证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.‎ ‎16．已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：‎ ‎(1)C，D，F，E四点共圆；‎ ‎(2)GH2＝GE·GF.‎ 证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，‎ ‎∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，‎ ‎∴C，D，F，E四点共圆．‎ ‎(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF ‎，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，‎ ‎∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.‎ ‎17.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.‎ ‎(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；‎ ‎(2)求证：QT＝TS.‎ 证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，‎ ‎∴Q、H、K、P四点共圆．‎ ‎(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP， ①‎ ‎∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，‎ ‎∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP， ②‎ 而∠QSP＝∠QRH， ③‎ 由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，‎ 又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.‎ ‎18．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.‎ ‎(1)求证：FB＝FC；‎ ‎(2)求证：FB2＝FA·FD；‎ ‎(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝‎6 cm，求AD的长．‎