陕西省铜川市2020届高三高考数学二模试卷（理科）

陕西省铜川市2020届高三高考数学二模试卷（理科）

‎2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{y|y＝3x﹣1，x∈R}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎2．已知复数z满足zi＝2+i，i是虚数单位，则|z|＝（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ ‎3．等比数列{an}中，a3＝9前三项和为S3‎=‎‎0‎‎3‎‎ ‎3x2dx，则公比q的值是（　　）‎ A．1 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．1或‎-‎‎1‎‎2‎ D．﹣1或‎-‎‎1‎‎2‎ ‎4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则‎1‎a‎+‎‎1‎‎3b的最小值为（　　）‎ A．‎16‎‎3‎ B．‎14‎‎3‎ C．‎17‎‎3‎ D．‎‎10‎‎3‎ ‎6．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α ‎ B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β ‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α ‎ D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α ‎7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点的概率为（　　）‎ A．‎2‎‎9‎ B．‎3‎‎6‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎3‎‎3‎ ‎8．已知f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎，其中a‎→‎‎=(2cosx，-‎3‎sin2x)‎，b‎→‎‎=(cosx，1)‎，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．‎[kπ+π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ B．‎[kπ-π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎ C．‎[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ D．‎‎[kπ+π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的一条渐近线的距离是‎3‎‎2‎，则双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．‎3‎ B．2‎3‎ C．3 D．6‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA‎=‎‎3‎，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．5π B．‎2‎π C．20π D．4π ‎12．若对于任意的正实数x，y都有‎(2x-ye)⋅lnyx≤‎xme成立，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．‎(‎1‎e，1)‎ B．‎(‎1‎e‎2‎，1]‎ C．‎(‎1‎e‎2‎，e]‎ D．‎‎(0，‎1‎e]‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD‎→‎‎=λAC‎→‎+μAE‎→‎，则λ﹣μ的值为　 　‎ ‎14．在（x﹣1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是　 　．‎ ‎15．已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣a）2＝20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，则实数a＝　 　．‎ ‎16．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒　 　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）‎ ‎17．在△ABC中，‎BC=‎5‎，AC=3，sinC=2sinA ‎（Ⅰ）求AB的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin(2A-π‎4‎)‎的值．‎ ‎18．在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．如表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E的教师和学生的测评成绩（单位：分）：‎ 学校 A B C D E 教师测评成绩x ‎90‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎94‎ ‎96‎ 学生测评成绩y ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎（1）建立y关于x的回归方程y‎̂‎‎=b‎̂‎x+‎a‎̂‎；‎ ‎（2）现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．‎ 附：b‎̂‎‎=‎i=1‎n‎ ‎‎(x‎1‎-x)(yi-y)‎i=1‎n‎ ‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎，a‎̂‎‎=y-b‎̂‎-‎x．‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2．‎ ‎（1）求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）若四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3，求二面角C﹣BC1﹣D的正切值．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点（1，‎-‎‎2‎‎2‎）是椭圆C上的点，离心率e‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点A（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接AF2‎ 并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求△AMN面积的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+f'（‎1‎‎2‎）•x+2‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：（‎1‎‎2‎x‎2‎‎+‎x+1）f（x）＜2ex．‎ ‎（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+tcosαy=1+tsinα（t为参数），其中α≠‎π‎2‎．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．‎ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2＝0时，求|AB|的值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．函数f（x）‎=x‎2‎‎-2x+1‎+‎2‎4-4x+‎x‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的值域；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，求证：3m‎+‎2‎m-1‎＞‎7．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{y|y＝3x﹣1，x∈R}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，‎ B＝{y|y＝3x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎2．已知复数z满足zi＝2+i，i是虚数单位，则|z|＝（　　）‎ A．‎2‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎5‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．‎ 解：由zi＝2+i，得z=‎2+ii=1-2i，‎ ‎∴|z|‎=‎‎5‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．等比数列{an}中，a3＝9前三项和为S3‎=‎‎0‎‎3‎‎ ‎3x2dx，则公比q的值是（　　）‎ A．1 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．1或‎-‎‎1‎‎2‎ D．﹣1或‎-‎‎1‎‎2‎ ‎【分析】根据积分公式先求出的S3的值，然后建立方程组进行求解即可．‎ 解：S3‎=‎0‎‎3‎‎ ‎3x‎2‎dx=x‎3‎‎|‎‎0‎‎3‎=‎3‎‎3‎=27‎，‎ 即前三项和为S3＝27，‎ ‎∵a3＝9，‎ ‎∴a‎3‎‎=a‎1‎q‎2‎=9‎S‎3‎‎=a‎1‎+a‎2‎+9=27‎，‎ 即a‎3‎‎=a‎1‎q‎2‎=9‎a‎1‎‎+a‎2‎=a‎1‎+a‎1‎q=18‎，‎ ‎∴q‎2‎‎1+q‎=‎9‎‎18‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 即2q2﹣q﹣1＝0，‎ 解得q＝1或q‎=-‎‎1‎‎2‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的计算，根据条件建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力．‎ ‎4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，‎ 当m≤0时，函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，‎ 若y＝logmx在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，‎ 故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．‎ ‎5．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则‎1‎a‎+‎‎1‎‎3b的最小值为（　　）‎ A．‎16‎‎3‎ B．‎14‎‎3‎ C．‎17‎‎3‎ D．‎‎10‎‎3‎ ‎【分析】由该足因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，得到3a+b＝1，利用基本不等式求出‎1‎a‎+‎‎1‎‎3b的最小值 解：因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，‎ 所以3a+b＝1‎ 所以‎1‎a‎+‎1‎‎3b=‎（3a+b）（‎1‎a‎+‎‎1‎‎3b）‎‎=‎10‎‎3‎+ab+ba≥‎10‎‎3‎+2=‎‎16‎‎3‎ 当且仅当ab‎=‎ba取等号 故选：A．‎ ‎【点评】利用基本不等式求合适的最值时，一定注意不等式使用的条件：一正、二定、三相等．‎ ‎6．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l⊥m，l⊥n，且m，n⊂α，则l⊥α ‎ B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β ‎ C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α ‎ D．若m∥n，n⊥α，则m⊥α ‎【分析】根据线面垂直的判定定理判断A是否正确；‎ 借助图象，根据三点是否在平面的同侧来判断B是否正确；‎ 根据直线在平面内的情况，来判断C是否正确；‎ 根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断D是否正确．‎ 解：A、若m∥n时，l与α不一定垂直，故A错误；‎ B、若三点不在平面β的同侧，则α与β相交，故B错误；‎ C、m⊥α，m⊥n，有可能n⊂α，故C错误；‎ D、根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查线面垂直的判定．‎ ‎7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点的概率为（　　）‎ A．‎2‎‎9‎ B．‎3‎‎6‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎‎3‎‎3‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出k的取值范围，再计算所求的概率．‎ 解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），‎ 圆心到直线y＝k（x﹣2）的距离为‎|2k|‎k‎2‎‎+1‎；‎ 要使直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有两个不同公共点，‎ 则‎|2k|‎k‎2‎‎+1‎‎＜‎1，‎ 解得‎-‎3‎‎3‎≤‎k‎≤‎‎3‎‎3‎；‎ ‎∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，‎ 使直线y＝k（x﹣2）与圆x2+y2＝1有公共点的概率为 P‎=‎3‎‎3‎‎-(-‎3‎‎3‎)‎‎1-(-1)‎=‎‎3‎‎3‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题，解题的关键弄清概率类型，是基础题．‎ ‎8．已知f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎，其中a‎→‎‎=(2cosx，-‎3‎sin2x)‎，b‎→‎‎=(cosx，1)‎，x∈R．则f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．‎[kπ+π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ B．‎[kπ-π‎12‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎ C．‎[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ D．‎‎[kπ+π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)‎ ‎【分析】先利用平面向量数量积表示出函数f（x），再结合余弦的二倍角公式和辅助角公式对f（x）进行化简，最后根据余弦函数的单调性求解即可．‎ 解：f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=‎2cosx•cosx‎-‎‎3‎sin2x‎=cos2x-‎3‎sin2x+1=2cos(2x+π‎3‎)+1‎，‎ 令‎2x+π‎3‎∈[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，则x∈[kπ-π‎6‎，kπ+π‎3‎]，k∈Z，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合，涉及平面向量数量积、三角函数的图象与性质、二倍角公式和辅助角公式，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知函数f（x）＝x2﹣ln|x|，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．‎ 解：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣ln|﹣x|＝x2﹣ln|x|＝f（x），‎ ‎∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；‎ 当x＞0时，f（x）＝x2﹣lnx，f′（x）＝2x‎-‎1‎x=‎‎2x‎2‎-1‎x，‎ ‎∴当0＜x‎＜‎‎2‎‎2‎时，f′（x）＜0，当x‎＞‎‎2‎‎2‎时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，‎2‎‎2‎）上单调递减，在（‎2‎‎2‎，+∞）上单调递增，排除C，‎ 当x‎=‎‎2‎‎2‎时，f（x）取得最小值f（‎2‎‎2‎）‎=‎1‎‎2‎-‎ln‎2‎‎2‎‎＞‎0，排除B，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性判断与极值计算，属于基础题．‎ ‎10．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的一条渐近线的距离是‎3‎‎2‎ ‎，则双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．‎3‎ B．2‎3‎ C．3 D．6‎ ‎【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．‎ 解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且p＝2，‎ ‎∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），‎ 由题得：双曲线双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1的渐近线方程为bx±y＝0，‎ ‎∴抛物线的焦点到渐近线的距离d‎=b‎1+‎b‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 解得b‎=‎‎3‎，‎ ‎∴则双曲线的虚轴长是2b＝2‎3‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA‎=‎‎3‎，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．5π B．‎2‎π C．20π D．4π ‎【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB‎=‎‎5‎，得外接球半径R‎=‎‎5‎‎2‎，从而得到所求外接球的表面积 解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；‎ ‎∵Rt△PBA中，AB‎=‎‎2‎，PA‎=‎‎3‎ ‎∴PB‎=‎‎5‎，可得外接球半径R‎=‎‎1‎‎2‎PB‎=‎‎5‎‎2‎ ‎∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π 故选：A．‎ ‎【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．‎ ‎12．若对于任意的正实数x，y都有‎(2x-ye)⋅lnyx≤‎xme成立，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．‎(‎1‎e，1)‎ B．‎(‎1‎e‎2‎，1]‎ C．‎(‎1‎e‎2‎，e]‎ D．‎‎(0，‎1‎e]‎ ‎【分析】根据题意对于（2x‎-‎ye）•lnyx‎≤‎xme，可化为（2e‎-‎yx）lnyx‎≤‎‎1‎m，设t‎=‎yx，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，根据导数和函数的最值的关系即可求出 解：根据题意，对于（2x‎-‎ye）•lnyx‎≤‎xme，变形可得xy（2x‎-‎ye）lnyx‎≤‎‎1‎m，‎ 即（2e‎-‎yx）lnyx‎≤‎‎1‎m，‎ 设t‎=‎yx，则（2e﹣t）lnt‎≤‎‎1‎m，t＞0，‎ 设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）‎ 则其导数f′（t）＝﹣lnt‎+‎2et-‎1，‎ 又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne‎+‎2ee-‎1＝0，‎ 则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，‎ 当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，‎ 则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，‎ 若f（t）＝（2e﹣t）lnt‎≤‎‎1‎m恒成立，必有e‎≤‎‎1‎m，‎ 解可得0＜m‎≤‎‎1‎e，即m的取值范围为（0，‎1‎e]；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数导数的应用，关键是转化和构造函数f（t），求出其最小值，属于中档题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD‎→‎‎=λAC‎→‎+μAE‎→‎，则λ﹣μ的值为　﹣3　‎ ‎【分析】利用平面向量的三角形法则，将AD‎→‎用AC‎→‎，AE‎→‎表示，再由平面向量基本定理得到λ，μ的值 解：由题意，因为E为DC的中点，所以AE‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎（AD‎→‎‎+‎AC‎→‎），‎ 所以AD‎→‎‎=‎2AE‎→‎‎-‎AC‎→‎，‎ 即AD‎→‎‎=-AC‎→‎+‎2AE‎→‎，所以λ＝﹣1，μ＝2，‎ 所以λ﹣μ＝﹣3；‎ 故答案为：﹣3‎ ‎【点评】本题考查了三角形中线的向量性质以及平面向量基本定理的运用；属于基础题．‎ ‎14．在（x﹣1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是　14　．‎ ‎【分析】将求x5的系数问题转化为二项式（x+1）8的展开式的x4的系数减去x5的系数，即可求出展开式中x5的系数 解：∵（x﹣1）（x+1）8＝x（x+1）8﹣（x+1）8‎ ‎∴（x﹣1）（x+1）8展开式中x5的系数等于（x+1）8展开式的x4的系数减去x5的系数，‎ ‎∵（x+1）8展开式的通项为Tr+1‎‎=‎C‎8‎rxr ‎∴展开式中x5的系数是C84﹣C85＝14，‎ 故答案为：14．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的指定项问题，考查学生的转化能力．‎ ‎15．已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣a）2＝20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，则实数a＝　3　．‎ ‎【分析】由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，利用直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，可得‎-‎1‎a×‎3＝﹣1，即可求出a的值．‎ 解：由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，‎ ‎∵直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，‎ ‎∴‎-‎1‎a×‎3＝﹣1，∴a＝3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查两条直线垂直位置关系的运用，属于中档题．‎ ‎16．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒　4　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．‎ ‎【分析】设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1‎-‎‎1‎a，操作n次后的浓度为an，则an+1＝an（1‎-‎‎1‎a），利用等比数列的通项公式即可得出．‎ 解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1‎-‎‎1‎a，‎ 操作n次后的浓度为an，则an+1＝an（1‎-‎‎1‎a），‎ ‎∴数列{an}构成a1＝1‎-‎‎1‎a为首项，q＝1‎-‎‎1‎a为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝（1‎-‎‎1‎a）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1‎-‎‎1‎a）n；‎ 当a＝2时，可得an＝（1‎-‎‎1‎a）n‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎n，由an＝（‎1‎‎2‎）n‎＜‎‎1‎‎10‎，解得n＞4．‎ ‎∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）‎ ‎17．在△ABC中，‎BC=‎5‎，AC=3，sinC=2sinA ‎（Ⅰ）求AB的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin(2A-π‎4‎)‎的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简可得AB的值．‎ ‎（Ⅱ） 利用余弦定理求解cosA，在求解sinA，和与差公式打开即可求sin(2A-π‎4‎)‎的值．‎ 解：（Ⅰ）‎BC=‎5‎，AC=3，sinC=2sinA 在△ABC中，根据正弦定理，于是AB‎=sinCsinA⋅BC=2BC=2‎‎5‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cosA‎=AB‎2‎+AC‎2‎-BD‎2‎‎2AB⋅AC=‎‎2‎‎5‎‎5‎．‎ 于是sinA‎=‎1-cos‎2‎A=‎‎5‎‎5‎ 从而sin2A＝2sinAcosA‎=‎‎4‎‎5‎，‎ 则cos2A＝cos2A﹣sin2A‎=‎‎3‎‎5‎，‎ 故得sin(2A-π‎4‎)=‎sin2Acosπ‎4‎‎-‎cos2Asinπ‎4‎‎=‎‎2‎‎10‎．‎ ‎【点评】本题考查了正余弦定理的运用和和与差以及同角函数关系式，正余弦函数的二倍角公式的计算．属于基础题．‎ ‎18．在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．如表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E的教师和学生的测评成绩（单位：分）：‎ 学校 A B C D E 教师测评成绩x ‎90‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎94‎ ‎96‎ 学生测评成绩y ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎（1）建立y关于x的回归方程y‎̂‎‎=b‎̂‎x+‎a‎̂‎；‎ ‎（2）现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．‎ 附：b‎̂‎‎=‎i=1‎n‎ ‎‎(x‎1‎-x)(yi-y)‎i=1‎n‎ ‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎，a‎̂‎‎=y-b‎̂‎-‎x．‎ ‎【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程；‎ ‎（2）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．‎ 解：（1）依据题意计算得：x‎=‎90+92+93+94+96‎‎5‎=‎93，y‎=‎87+89+89+92+93‎‎5‎=‎90，‎ i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x‎)‎‎2‎=‎‎9+1+0+1+9＝20，i=1‎‎5‎‎ ‎（xi‎-‎x）（yi‎-‎y）＝（﹣3）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+0×（﹣1）+1×2+3×3＝21，‎ ‎∴b‎̂‎‎=i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-x)(yi-y)‎i=1‎‎5‎‎ ‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎=‎‎21‎‎20‎，a‎̂‎‎=y-b‎̂‎x=‎90‎-‎21‎‎20‎×93=-‎‎153‎‎20‎．‎ ‎∴所求回归方程为y‎̂‎‎=‎‎21‎‎20‎x‎-‎‎153‎‎20‎．‎ ‎（2）由题设得随机变量X的可能取值为0，1，2．‎ 由已知得P（X＝0）‎=C‎3‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎10‎，P（X＝1）‎=C‎3‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎5‎，P（X＝2）‎=C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎10‎．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎3‎‎10‎ ‎3‎‎5‎ ‎1‎‎10‎ E（X）＝0‎×‎3‎‎10‎+‎1‎×‎3‎‎5‎+‎2‎×‎1‎‎10‎=‎‎4‎‎5‎．‎ ‎【点评】本题考查回归直线方程，考查求离散型随机变量的分布列和数学期望，正确计算是解题的关键．‎ ‎19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，‎ A1A＝AB＝2．‎ ‎（1）求证：AB1∥平面BC1D；‎ ‎（2）若四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3，求二面角C﹣BC1﹣D的正切值．‎ ‎【分析】（1）在平面BC1D内找到一条直线与已知直线AB1平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行，而找平行的方法一般是找三角形的中位线或找平行四边形．‎ ‎（2）根据题中的垂直关系表达出四棱锥的体积进而得到等式求出BC的数值，结合这题中的线面垂直关系作出二面角，再证明此角就是所求角然后求出即可．‎ 解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，‎ ‎∵四边形BCC1B1是平行四边形，‎ ‎∴点O为B1C的中点．‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD为△AB1C的中位线，‎ ‎∴OD∥AB1．‎ ‎∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，‎ ‎∴AB1∥平面BC1D．‎ ‎（2）解：依题意知，AB＝BB1＝2，‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC．‎ 作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，‎ 设BC＝a，‎ 在Rt△ABC中，AC=AB‎2‎+BC‎2‎=‎‎4+‎a‎2‎，BE=AB⋅BCAC=‎‎2a‎4+‎a‎2‎，‎ ‎∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积V=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎(A‎1‎C‎1‎+AD)⋅AA‎1‎⋅BE=‎1‎‎6‎×‎3‎‎2‎‎4+‎a‎2‎×2×‎2a‎4+‎a‎2‎=‎a．‎ 依题意得，a＝3，即BC＝3．‎ ‎∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，‎ ‎∴AB⊥平面BB1C1C．‎ 取BC的中点F，连接DF，则DF∥AB，且DF=‎1‎‎2‎AB=1‎．‎ ‎∴DF⊥平面BB1C1C．‎ 作FG⊥BC1，垂足为G，连接DG，‎ 由于DF⊥BC1，且DF∩FG＝F，‎ ‎∴BC1⊥平面DFG．‎ ‎∵DG⊂平面DFG，‎ ‎∴BC1⊥DG．‎ ‎∴∠DGF为二面角C﹣BC1﹣D的平面角．‎ 由Rt△BGF～Rt△BCC1，得GFCC‎1‎‎=‎BFBC‎1‎，‎ 得GF=BF⋅CC‎1‎BC‎1‎=‎3‎‎2‎‎×2‎‎13‎=‎‎3‎‎13‎‎13‎，‎ 在Rt△DFG中，tan∠DGF=DFGF=‎‎13‎‎3‎．‎ ‎∴二面角C﹣BC1﹣D的正切值为‎13‎‎3‎．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构便于利用题中的线面、线线关系解决空间角、空间距离与几何体的体积等问题．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点（1，‎-‎‎2‎‎2‎）是椭圆C上的点，离心率e‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点A（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C上，若点N与点A关于原点对称，连接AF2并延长与椭圆C的另一个交点为M，连接MN，求△AMN面积的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）离心率e‎=ca=‎‎2‎‎2‎，则a‎=‎‎2‎c，又b2＝a2﹣c2＝c2，将（1，‎-‎‎2‎‎2‎）代入椭圆方程：x‎2‎‎2‎c‎2‎‎+y‎2‎c‎2‎=1‎，解得c＝1，即可求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线AM的方程是x＝my+1，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AM|，求出点O（0，0）到直线AM的距离，可得△OAM的面积，利用基本不等式，即可求△OAM 的面积的最大值．△AMN面积的最大值是△OAM的面积的最大值的2倍．‎ 解：（Ⅰ）由题意可知：离心率e‎=ca=‎‎2‎‎2‎，则a‎=‎‎2‎c，‎ b2＝a2﹣c2＝c2，‎ 将（1，‎-‎‎2‎‎2‎）代入椭圆方程：x‎2‎‎2‎c‎2‎‎+y‎2‎c‎2‎=1‎，‎ 解得：c＝1，‎ 则a‎=‎‎2‎，b＝1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎；‎ ‎（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），设直线AM的方程是x＝my+1，与x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎联立，‎ 可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，‎ 设A（x1，y1），M（x2，y2），则x1＝my1+1，x2＝my2+1，‎ 于是|AM|‎=‎‎1+‎m‎2‎|y1﹣y2|‎=‎‎2‎2‎(m‎2‎+1)‎m‎2‎‎+2‎，点O（0，0）到直线MN的距离d‎=‎‎1‎m‎2‎‎+1‎．‎ 于是△AMN的面积s＝2sOAM＝|MN|d‎=‎2‎‎2(m‎2‎+1)‎m‎2‎‎+2‎=‎2‎2‎m‎2‎‎+1+‎1‎m‎2‎‎+1‎+2‎．‎ ‎∵m‎2‎‎+1+‎1‎m‎2‎‎+1‎≥2‎，∴△AMN的面积S‎≤2×‎2‎‎2+2‎=‎‎2‎．当且仅当即m＝0时取到最大值‎2‎．‎ ‎【点评】代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系，直线与圆锥曲线位置关系问题常常需要联立方程组，利用韦达定理．属于中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+f'（‎1‎‎2‎）•x+2‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：（‎1‎‎2‎x‎2‎‎+‎x+1）f（x）＜2ex．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=‎1‎x-2x+‎1‎‎2‎f′(‎1‎‎2‎)‎，通过解f′(‎1‎‎2‎)=2‎，判断导函数的符号，求解函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）不等式‎(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)f(x)＜2‎ex等价于f(x)＜‎‎2‎ex‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x+1‎，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，推出f（x）≤2，令g(x)=ex-(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)(x＞0)‎，利用导函数的单调性以及最值推出ex‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x+1‎‎＞1‎，证明结论即可．‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎f′(x)=‎1‎x-2x+‎1‎‎2‎f′(‎1‎‎2‎)‎ 则f′(‎1‎‎2‎)=2-1+‎1‎‎2‎f′(‎1‎‎2‎)‎，解得f′(‎1‎‎2‎)=2‎，所以f（x）＝lnx﹣x2+x+2．此时，f′(x)=‎1‎x-2x+1=‎‎-2x‎2‎+x+1‎x，由f'（x）＞0得0＜x＜1，f'（x）＜0得 x＞1，‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）证明：不等式‎(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)f(x)＜2‎ex等价于f(x)＜‎‎2‎ex‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x+1‎，‎ 由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（x）max＝f（1）＝2，‎ 所以f（x）≤2①，‎ 令g(x)=ex-(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)(x＞0)‎，所以g'（x）＝ex﹣x﹣1，（g'（x））′＝ex﹣1，所以，‎ 当x＞0时，（g'（x））′＞0，‎ 所以g'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）＞g'（0）＝0，‎ 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0，即ex‎-(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)＞0‎，‎ 因为x＞0，所以ex‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x+1‎‎＞1‎，‎ 所以，x＞0时，‎(‎1‎‎2‎x‎2‎+x+1)f(x)＜2‎ex．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ 一、选择题 ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+tcosαy=1+tsinα（t为参数），其中α≠‎π‎2‎．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．‎ ‎（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2＝0时，求|AB|的值．‎ ‎【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程．‎ ‎（2）利用直线和曲线的位置关系，建立等量关系式，利用中点坐标和垂径定理求出结果．‎ 解：（1）线C1的参数方程为x=2+tcosαy=1+tsinα（t为参数），‎ 所以：C1的普通方程：y＝（x﹣2）tanα+1，其中α≠‎π‎2‎；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+4＝0．‎ 所以：C2的直角坐标方程：（x﹣3）2+y2＝5．‎ ‎（2）由题知直线恒过定点P（2，1），又t1+t2＝0，‎ 由参数方程的几何意义知P是线段AB的中点，‎ 曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径r=‎‎5‎的圆，‎ 且‎|PC‎2‎‎|‎‎2‎=2‎．‎ 由垂径定理知：‎|AB|=2r‎2‎‎-|PC‎2‎‎|‎‎2‎=2‎5-2‎=2‎‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，中点坐标公式的应用，垂径定理得应用．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．函数f（x）‎=x‎2‎‎-2x+1‎+‎2‎4-4x+‎x‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的值域；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，求证：3m‎+‎2‎m-1‎＞‎7．‎ ‎【分析】（I）由f（x）‎=x‎2‎‎-2x+1‎+‎2‎4-4x+‎x‎2‎‎=‎|x﹣1|+2|x﹣2|，分类讨论取绝对值，然后根据分段函数的性质可求值域 ‎（II）若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，故只需m＞f（x）的最小值，可求m的范围，然后结合基本不等式即可证 解：∵f（x）‎=x‎2‎‎-2x+1‎+‎2‎4-4x+‎x‎2‎‎=‎|x﹣1|+2|x﹣2|‎ ‎（I）当x≥2时，f（x）＝3x﹣5≥1；‎ 当1＜x＜2时，f（x）＝3﹣x，1＜f（x）＜2，‎ 当x≤1时，f（x）＝5﹣3x≥2‎ 综上可得，函数的值域为[1，+∞）‎ ‎（II）证明：若关于x的不等式f（x）﹣m＜0有解，‎ ‎∴f（x）＜m有解，‎ 故只需m＞f（x）的最小值，即m＞1‎ ‎∴3m‎+‎2‎m-1‎=‎3（m﹣1）‎+‎2‎m-1‎+‎3‎‎≥2‎6‎+3＞7‎ ‎【点评】本题主要考查了分段函数的函数值域的求解，及不等式的存在性问题，及基本不等式在最值求解中的应用．‎ ‎ ‎