2018届二轮复习(理)考前数学思想领航二、数形结合思想学案(全国通用)(1)

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文档介绍

2018届二轮复习(理)考前数学思想领航二、数形结合思想学案(全国通用)(1)

二、数形结合思想 以形助数(数题形解)‎ 以数辅形(形题数解)‎ ‎  借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系,把数转化为形,即以形作为手段,数作为目的解决数学问题的数学思想 ‎  借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的解决问题的数学思想 ‎  数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合 方法一 函数图象数形沟通法 模型解法 函数图象数形沟通法,即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法,对于高中数学函数贯穿始终,因此这种方法是最常用的沟通方法.破解此类题的关键点:‎ ‎①分析数理特征,一般解决问题时不能精确画出图象,只能通过图象的大概性质分析问题,因此需要确定能否用函数图象解决问题.‎ ‎②画出函数图象,画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象.‎ ‎③数形转化,这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化.‎ ‎④得出结论,通过观察函数图象得出相应的结论.‎ 典例1 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数.当x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1;当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0.则函数y=f(x)-sin x在[-3π,3π]上的零点个数为(  )‎ A.4 B.5‎ C.6 D.8‎ 解析 ∵当x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1,f(x)是最小正周期为2π的偶函数,‎ ‎∴当x∈[-3π,3π]时,0≤f(x)≤1.‎ ‎∵当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0,‎ ‎∴当x∈时,f(x)为单调减函数;‎ 当x∈时,f(x)为单调增函数,‎ ‎∵当x∈[0,π]时,0≤f(x)≤1,‎ 定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y=sin x和y=f(x ‎)的草图如图,‎ 由图知y=f(x)-sin x在[-3π,3π]上的零点个数为6,故选C.‎ 答案 C 思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象,应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系.‎ 跟踪演练1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的所有实数解之和为(  )‎ A.-7 B.-6‎ C.-3 D.-1‎ 答案 A 解析 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2,如图,在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|cos πx|的图象,‎ 由图知关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的实数解有7个.不妨设7个解中x1
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