高考数学人教A版(理)一轮复习:第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

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高考数学人教A版(理)一轮复习:第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算

第1讲 平面向量的概念及其线性运算 A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么 (  ).‎ A.= B.=2 C.=3 D.2= 解析 由2++=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故=.‎ 答案 A ‎2.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 (  ).‎ A.a-b+c-d=0 B.a-b-c+d=0‎ C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0‎ 解析 依题意,得=,故+=0,即-+-=0,即有-+-=0,则a-b+c-d=0.选A.‎ 答案 A ‎3.已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若+2=3,则的值为 ‎ ‎(  ).‎ A. B. C. D. 解析 由+2=3,得-=2-2,即=2,所以=.故选A.‎ 答案 A ‎4.(2011·山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下列说法正确的是 (  ).‎ A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C、D可能同时在线段AB上 D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上 解析 若A成立,则λ=,而=0,不可能;同理B也不可能;若C成立,则0<λ<1,且0<μ<1,+>2,与已知矛盾;若C,D同时在线段AB的延长线上时,λ>1,且μ>1,+<2,与已知矛盾,故C,D不可能同时在线段AB的延长线上,故D正确.‎ 答案 D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2013·泰安模拟)设a,b是两个不共线向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为________.‎ 解析 ∵=+=2a-b,又A,B,D三点共线,‎ ‎∴存在实数λ,使=λ.‎ 即∴p=-1.‎ 答案 -1‎ ‎6.如图,在矩形ABCD中,||=1,||=2,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________.‎ 解析 根据向量的三角形法则有|a+b+c|=|++|=|++|=|+|=2||=4.‎ 答案 4‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7.(12分)如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,=,=.试用a,b表示,及.‎ 解 由题意知,在平行四边形OADB中,===(-)=(a-b)=a-b,‎ 则=+=b+a-b=a+b.‎ ==(+)=(a+b)=a+b,‎ =-=(a+b)-a-b=a-b.‎ ‎8.(13分)(1)设两个非零向量e1,e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A,B,D三点共线.‎ ‎(2)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求k的值.‎ ‎(1)证明 因为=6e1+23e2,=4e1-8e2,‎ 所以=+=10e1+15e2.‎ 又因为=2e1+3e2,得=5,即∥,‎ 又因为,有公共点B,所以A,B,D三点共线.‎ ‎(2)解 D=-=e1+3e2-2e1+e2=4e2-e1,‎ =2e1+ke2,‎ 若A,B,D共线,则∥D,‎ 设D=λ,所以⇒k=-8.‎ B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(2013·济南一模)已知A,B,C 是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的 (  ).‎ A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)‎ C.重心 D.AB边的中点 解析 设AB的中点为M,则+=,∴=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,∴P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.‎ 答案 B ‎2.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 设AB的中点为D,由5=+3,得3-3=2-2,即3=2.如图所示,故C,M,D三点共线,且=,也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为,选C.‎ 答案 C 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.‎ 解析 +-2=-+-=+,‎ -==-,∴|+|=|-|.‎ 故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.‎ 答案 直角三角形 ‎4.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.‎ 解析 ∵O是BC的中点,‎ ‎∴=(+).‎ 又∵=m,=n,∴=+.‎ ‎∵M,O,N三点共线,∴+=1,则m+n=2.‎ 答案 2‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5.(12分)如图所示,在△ABC中,在AC上取一点N,使得AN=AC,在AB上取一点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使得=λ时,=,试确定λ的值.‎ 解 ∵=-=(-)=(+)=,=-=+λ,‎ 又∵=,∴+λ=,‎ 即λ=,∴λ=.‎ ‎6.(13分)已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.‎ ‎(1)求++;‎ ‎(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:+=3.‎ ‎(1)解 ∵+=2,又2=-,‎ ‎∴++=-+=0.‎ ‎(2)证明 显然=(a+b).因为G是△ABO的重心,所以==(a+b).由P,G,Q三点共线,得∥,所以,有且只有一个实数λ,使=λ.‎ 而=-=(a+b)-ma=a+b,‎ =-=nb-(a+b)=-a+b,‎ 所以a+b=λ.‎ 又因为a,b不共线,所以 消去λ,整理得3mn=m+n,故+=3.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎
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