华师版数学九年级下册课件-第26章 二次函数-26二次函数的图象与性质

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华师版数学九年级下册课件-第26章 二次函数-26二次函数的图象与性质

HS九(下) 教学课件 26.2 二次函数的图象与性质 第26章 二次函数 3. 求二次函数的表达式 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式? 2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤 是什么? 2个 2个 待定系数法 (1)设:(表达式) (2)代:(坐标代入) (3)解:方程(组) (4)还原:(写表达式) 特殊条件的二次函数的表达式   已知二次函数y=ax2 + c的图象经过点(2,3) 和(-1,-3),求这个二次函数的表达式. 解:∵该图象经过点(2,3)和(-1,-3), 3=4a+c, -3=a+c, ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-5. ∴{ a=2, c=-5. 解得{ 关于y轴 对称 1 例1 1.已知二次函数y=ax2 + bx的图象经过点(-2,8)和 (-1,5),求这个二次函数的表达式. 解:∵该图象经过点(-2,8)和(-1,5), 图象经 过原点 8=4a-2b, 5=a-b,∴{ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 顶点法求二次函数的表达式 选取顶点(-2,1)和点(1,-8),试求出这个二 次函数的表达式. 解:设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 (-2,1)代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1, 再把点(1,-8)代入上式得 a(1+2)2+1=-8, 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 2 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法 叫做顶点法.其步骤是: ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k; ②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程; ③将另一点的坐标代入原方程求出a值; ④a用数值换掉,写出函数表达式. 一个二次函数的图象经点 (0, 1),它的顶点坐 标为(8,9),求这个二次函数的表达式. 解:∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9), 因此,可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1), 可得 0=a(0-8)2+9. 解得 9 . 64 a   ∴所求的二次函数的解析式是 29 ( 8) 9. 64 y x   例2 选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试出这个二 次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 x y O 1 2-1-2-3-4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 解:∵(-3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达 式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横 坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点(0,-3)代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3, 解得a=-1, ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点,求表达式的方 法叫做交点法. 其步骤是: ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2); ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中,得到 关于a的一元一次方程; ③将方程的解代入原方程求出a值; ④a用数值换掉,写出函数表达式. 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件? 任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可 平行于x轴,但不可以平行于y轴. 问题1 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定 系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来? 3个 3个 (2)下面是我们用描点法画二次函数的图象所 列表格的一部分: x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 一般式法二次函数的表达式4 解: 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把(-3,0),(-1,0), (0,-3)代入y=ax2+bx+c得 ①选取(-3,0),(-1,0),(0,-3), 试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0, a-b+c=0, c=-3, 解得 a=-1, b=-4, c=-3. ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤: 1.设: (表达式) 2.代: (坐标代入) 3.解: 方程(组) 4.还原: (写解析式) 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是: ①设函数表达式为y=ax2+bx+c; ②代入后得到一个三元一次方程组; ③解方程组得到a,b,c的值; ④把待定系数用数字换掉,写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点,求这个二次函数的表达式. 解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由 于这个函数经过点(0, 1),可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得 4a+2b+1=4, 9a+3b+1=10, 解这个方程组,得 3, 2 a  3. 2 b ∴所求的二次函数的表达式是 23 3 1. 2 2 y x x   例3 1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应 是 . 23 4 y x= 注意: y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k 一样都是顶点式,只不过前三者是顶点式的特殊形 式. x y O 1 2-1-2-3-4 3 2 1 -1 3 4 5 2.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式 是 . 顶点坐标是(1,6) y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4) 和(1,1).求这个二次函数的表达式. 解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4. a+b+c=1, c=-4, a-b+c=-5, 解得 b=3, c=-4, a=2, 4.已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且 过点M(0,1),求此函数的表达式. 解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点, 所以设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-1). 又因为抛物线过点M(0,1), 所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1, 所以所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1), 即y=-x2+1. 5.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴 交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题: (1)求抛物线的表达式; 解:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c 得16-4b+c=-3,c-4b=-19. ∵对称轴是x=-3,∴ =-3, ∴b=6,∴c=5, ∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5; 2 b  (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C 在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积. 解:∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称. ∵点C在对称轴左侧,且CD=8, ∴点C的横坐标为-7, ∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12. ∵点B的坐标为(0,5), ∴△BCD中CD边上的高为12-5=7, ∴△BCD的面积= ×8×7=28. 1 2 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或 对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴 的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法:y=ax2+bx+c 用顶点法:y=a(x-h)2+k 用交点法:y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式
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