2021届新高考版高考数学一轮复习训练：第四章 第四讲　正、余弦定理及解三角形

2021届新高考版高考数学一轮复习训练：第四章 第四讲　正、余弦定理及解三角形

第四讲　正、余弦定理及解三角形 ‎1.[2020广东七校联考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=‎3‎+1,b=2,A=π‎3‎,则B=(　　)‎ A.‎3π‎4‎ B.π‎6‎ C.π‎4‎ D.π‎4‎或‎3π‎4‎ ‎2.[2020湖北部分重点中学高三测试]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa‎+cosBb=‎sinCc,若b2+c2 - a2=‎8‎‎5‎bc,则tan B的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.-3 D.3‎ ‎3.[2019湖北部分重点中学高三测试]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin‎2‎A+sin‎2‎B-sin‎2‎Cc‎=‎sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围为(　　)‎ A.(0,4) B.[2,4) C.[1,4) D.(2,4]‎ ‎4.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=π‎4‎,BC边上的高等于‎1‎‎3‎BC,则sin∠BAC=　　　　. ‎ ‎5.[2019安徽示范高中高三测试]在△ABC中,∠ABC=90°,延长AC到D,使得CD=AB=1,若∠CBD=30°,则AC=　　　　. ‎ ‎6.[2020长春市第一次质量监测]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,a>b.‎ ‎(1)求证:△ABC是直角三角形;‎ ‎(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.‎ ‎7.[2020惠州市一调]已知△ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC‎=‎sinBsinA+sinB-sinC .‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.‎ ‎8.[2019辽宁五校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=2sin Acos(A+B),且sin2A+sin2B - sin2C+‎2‎sin Asin B=0.‎ ‎(1)求证:a,b,2a成等比数列;‎ ‎(2)若△ABC的面积是2,求c.‎ ‎9.[2020合肥市调研检测]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且sinA-sinBsinC≥c-ba+b,则(　　)‎ A.A的最大值为π‎6‎ B.A的最小值为π‎6‎ C.A的最大值为π‎3‎ D.A的最小值为π‎3‎ ‎10.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A.3‎2‎ B.2‎2‎ C.3 D.4‎ ‎11.[2019广东百校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=π‎4‎,a=4,S△ABC=2,则‎2a+3c-b‎2sinA+3sinC-sinB=(　　)‎ A.‎5‎ B.2‎5‎ C.2‎7‎ D.2‎‎13‎ ‎12.[2020长春市第一次质量监测][双空题]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b - c,a - b),n=(sin C,sin A+‎ sin B),且m⊥n,则A=　　　　;若△ABC的面积为‎3‎,则△ABC的周长的最小值为　　　　. ‎ ‎13.[2019河北六校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2 - bc,且△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎4‎,则a的最小值为　　　　. ‎ ‎14.[2019福建宁德质检]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4 - 4 - 1所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80‎ ‎ m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为　　　　m. ‎ 图4 - 4 - 1‎ ‎15.[2020大同市高三调研]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cos B=‎3‎‎4‎.‎ ‎(1)求‎1‎tanA‎+‎‎1‎tanC的值;‎ ‎(2)设BA·BC‎=‎‎3‎‎2‎,求a+c的值.‎ ‎16.[2020山东省统考]在△ABC中,A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC.‎ ‎(1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC;‎ ‎(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.‎ ‎17.[多选题]在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB= - ‎5‎‎5‎,则(　　)‎ A.sin∠BCD=‎‎3‎‎10‎ B.△ABC的面积为8‎ C.△ABC的周长为8+4‎‎5‎ D.△ABC为钝角三角形 ‎18.[2020陕西省百校第一次联考][双空题]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=‎4‎‎6‎‎3‎,BC=2,BD=‎5‎,则cos∠ABC=　　　　,‎ sin C=　　　　. ‎ ‎19.[2020洛阳市第一次联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)设a=‎3‎,S为△ABC的面积,求S+‎3‎cos Bcos C的最大值.‎ 第四讲　正、余弦定理及解三角形 ‎1.C　∵c=‎3‎+1,b=2,A=π‎3‎,∴由余弦定理得a=b‎2‎‎+c‎2‎-2bccosA‎=‎4+(‎3‎+1‎)‎‎2‎-2×2×(‎3‎+1)×‎‎1‎‎2‎=‎‎6‎,则由正弦定理得sin B=b·sinAa‎=‎2×‎‎3‎‎2‎‎6‎=‎‎2‎‎2‎,∵B∈(0,‎2π‎3‎),∴B=π‎4‎.故选C.‎ ‎2.C　因为cosAa‎+cosBb=‎sinCc,所以cosAsinA‎+cosBsinB=‎sinCsinC=1,‎ 即‎1‎tanA‎+‎‎1‎tanB=1,又b2+c2 - a2=‎8‎‎5‎bc,所以由余弦定理得cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎‎4‎‎5‎,则sin A=‎1-cos‎2‎A‎=‎‎3‎‎5‎,tan A=sinAcosA‎=‎‎3‎‎4‎,所以‎4‎‎3‎‎+‎‎1‎tanB=1,解得tan B= - 3,故选C.‎ ‎3.B　在△ABC中,由三角函数的定义知acos B+bcos A=c,结合正弦定理和已知条件,得a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎c‎=‎abc,即a2+b2 - c2=ab,所以由余弦定理,得cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=‎‎1‎‎2‎,又C∈(0,π),则C=π‎3‎,所以c2=a2+b2 - ab=(a+b)2 - 3ab≥(a+b)2 - 3×(a+b‎2‎)2=‎(a+b‎)‎‎2‎‎4‎=4(当且仅当a=b=2时取等号),所以c≥2.又c0),在△BCD中,由正弦定理得BDsin∠BCD‎=‎CDsin∠CBD,所以BD=2sin∠BCD.‎ 又sin∠BCD=sin∠ACB=‎1‎x,所以BD=‎2‎x.‎ 在△ABD中,(x+1)2=1+(‎2‎x)2 - 2·‎2‎x·cos(90°+30°),‎ 化简得x2+2x=‎2x+4‎x‎2‎,即x3=2,故x=‎3‎‎2‎,即AC=‎3‎‎2‎.‎ ‎6.(1)由题可知sin A=sin B·sinAcosA,因为sin A≠0,所以sin B=cos A.‎ 所以cos(π‎2‎ - B)=cos A,由a>b,知A>B,则0b可知,π‎4‎0),则CB=2x,cos∠CDB=‎9-3‎x‎2‎‎6x‎=‎‎3-‎x‎2‎‎2x= - ‎5‎‎5‎,得x=‎5‎(负值已舍去).所以CD ‎=‎5‎,CB=2‎5‎.因为cos∠CDB= - ‎5‎‎5‎,所以sin∠CDB=‎1-(-‎‎5‎‎5‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,由正弦定理得sin∠BCD=BD·sin∠BDCBC‎=‎‎3‎‎5‎,故A错误;由余弦定理,得cos∠CBD=‎3‎‎2‎‎+‎(2‎5‎)‎‎2‎-‎‎(‎5‎)‎‎2‎‎2×3×2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,所以sin∠CBD=‎1-(‎‎2‎‎5‎‎5‎‎)‎‎2‎‎=‎‎5‎‎5‎,故S△ABC=‎1‎‎2‎CB·BA·sin∠CBD=8,故B正确;在△ABC中,由余弦定理得AC=AB‎2‎+BC‎2‎-2AB·BC·cos∠CBD=2‎5‎,所以△ABC的周长为8+4‎5‎,故C正确;在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=BC‎2‎+AC‎2‎-AB‎2‎‎2BC·AC= - ‎3‎‎5‎,所以∠ACB为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.‎ ‎18.‎6‎‎6‎　‎2‎‎105‎‎21‎　解法一　依题意得,cos∠ADB= - cos∠BDC,所以BD‎2‎+AD‎2‎-AB‎2‎‎2BD·AD= - BD‎2‎+DC‎2‎-BC‎2‎‎2BD·DC,又AD=DC=‎1‎‎2‎AC,所以BD2+AD2 - AB2= - (BD2+DC2 - BC2),所以2BD=‎2(AB‎2‎+BC‎2‎)-AC‎2‎,即2‎5‎‎=‎‎2[(‎4‎‎6‎‎3‎‎)‎‎2‎+‎2‎‎2‎]-AC‎2‎,解得AC=‎2‎‎21‎‎3‎.由余弦定理得cos∠ABC=AB‎2‎+BC‎2‎-AC‎2‎‎2AB·BC‎=‎‎6‎‎6‎,所以sin∠ABC=‎30‎‎6‎,由正弦定理ABsinC‎=‎ACsin∠ABC,得sin C=AB·sin∠ABCAC‎=‎‎2‎‎105‎‎21‎.‎ 解法二　依题意得BD‎=‎‎1‎‎2‎(BA‎+‎BC),所以BD‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎(BA‎+‎BC)2,即BA‎2‎‎+‎BC‎2‎+2BA·BC=4BD‎2‎,即(‎4‎‎6‎‎3‎)2+22+2‎×‎4‎‎6‎‎3‎×‎2cos∠ABC=4×(‎5‎)2,解得cos∠ABC=‎6‎‎6‎,所以sin∠ABC=‎30‎‎6‎.因为(BA‎+‎BC)2+(BA‎ - ‎BC)2=2(BA‎2‎‎+‎BC‎2‎),所以4×(‎5‎)2+|CA|2=2[(‎4‎‎6‎‎3‎)2+22],解得|CA|=‎2‎‎21‎‎3‎.由正弦定理ABsinC‎=‎ACsin∠ABC,得sin C=AB·sin∠ABCAC‎=‎‎2‎‎105‎‎21‎.‎ ‎19.(1)∵(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C,‎ ‎∴由正弦定理,得(a+b+c)(b+c - a)=bc,即b2+c2 - a2= - bc.‎ 由余弦定理,得cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc= - ‎1‎‎2‎.又A∈(0,π),∴A=‎2‎‎3‎π.‎ ‎(2)根据a=‎3‎,A=‎2‎‎3‎π及正弦定理可得bsinB‎=csinC=asinA=‎‎3‎‎3‎‎2‎=2,‎ ‎∴b=2sin B,c=2sin C,‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎bcsin A=‎1‎‎2‎‎×‎2sin B×2sin C‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎sin Bsin C,‎ ‎∴S+‎3‎cos Bcos C=‎3‎sin Bsin C+‎3‎cos Bcos C=‎3‎cos(B - C).‎ 故当B=C,‎B+C=π‎3‎,‎即B=C=π‎6‎时,S+‎3‎cos Bcos C取得最大值‎3‎.‎