2019-2020学年四川省成都市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据交集的定义计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用三角函数的定义得到答案.‎ ‎【详解】‎ 终边经过点，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的计算，属于简单题.‎ ‎3．已知向量，.若，则实数的值为（ ）‎ A．-12 B． C． D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量垂直的充要条件得到方程解得.‎ ‎【详解】‎ 解：，且 解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直的充要条件，属于基础题.‎ ‎4．半径为3，弧长为的扇形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据扇形的面积公式进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：扇形面积计算公式．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形面积的求算方法．利用弧长和半径：，属于基础题．‎ ‎5．函数的零点所在一个区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据零点存在定理判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，在上有零点．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在定理，在上连续的函数，若，则在上至少有一个零点．‎ ‎6．计算的值为（ ）‎ A．5 B．3 C．2 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数的运算法则及性质解答.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算，属于基础题.‎ ‎7．下列关于函数的表述正确的是（ ）‎ A．函数的最小正周期是 B．当时，函数取得最大值2‎ C．函数是奇函数 D．函数的值域为 ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦函数的性质计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 最小正周期为，故错误；‎ 令，‎ 解得，‎ 故当，函数取得最大值，故错误； ‎ ‎，即是非奇非偶函数，故错误；‎ ‎，‎ ‎，即函数的值域为，故正确 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.‎ ‎8．已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求出函数过定点的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：（，且）‎ 令，则，即，故函数（，且）的图象恒过定点.‎ 设 则解得，‎ 故的图象大致是 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题.‎ ‎9．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数，对数函数的性质，及余弦函数的性质解答.‎ ‎【详解】‎ 解：，，，‎ 综上可得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎10．已知，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎11．已知关于的方程有一个大于的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则方程可变形为则方程有一个大于的实数根，然后再对对称轴及根的判别式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为关于的方程有一个大于的实数根，‎ 令，则方程可变形为 ‎，‎ 所以方程有一个大于的实数根，‎ 当时，则解得 当时，则且解得 综上可得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程的解，考查转化思想，属于中档题.‎ ‎12．已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由在上的增函数，求出的取值范围，再由，得到或分类讨论计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：是上的增函数 ‎，且 解得 或 当时，即解得当时，，‎ 此时的单调递增区间为不符题意；‎ 当时，，此时的单调递增区间为 不符题意；‎ 当时，，此时的单调递增区间为符合题意；‎ 当时，即解得 当时，，此时的单调递增区间为符合题意；‎ 当时，，此时的单调递增区间为符合题意；‎ 综上可得的值组成的集合为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质的应用，体现了分类讨论思想，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．设函数，则的值为______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】直接根据分段函数的解析式代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求函数值，属于基础题.‎ ‎14．汽车从地出发直达地，途中经过地.假设汽车匀速行驶，后到达地.汽车与地的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数关系如图所示，则汽车从地到地行驶的路程为______.‎ ‎【答案】500‎ ‎【解析】根据函数图象求出汽车的速度，从而得到路程.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意知，汽车小时行驶了，故汽车的速度为 汽车全程匀速行驶，从地到地共行驶了，故总路程为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的应用，属于基础题.‎ ‎15．在矩形中，已知，分别是，上的点，且满足，.若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用，作为一组基底，表示出，，从而得到方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 又，.‎ ‎，‎ 解得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算及向量的基底表示，属于中档题.‎ ‎16．已知，是函数图象上纵坐标相等的两点，线段的中点在函数的图象上，则点的横坐标的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意画出函数图象，如图设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，根据题意得到方程组，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为则可画函数图象如下图所示：‎ 设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，依题意可得 ‎①，②，③，‎ ‎①减②得④‎ ‎①乘②得即 ‎⑤‎ 将④代入⑤得即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的综合应用，指数的运算，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可得，再由同角三角函数的基本关系计算可得.‎ ‎（Ⅱ）根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由，得.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，又，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.‎ ‎18．已知函数（，且）满足.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）解不等式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据，代入解方程即可；‎ ‎（Ⅱ）根据指数函数的单调性得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵（，且），‎ ‎∴.‎ 由，解得.‎ ‎∴的值为.‎ ‎（Ⅱ）不等式即，∴.‎ 即.‎ ‎∵在上单调递减，‎ ‎∴.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的性质的应用，属于基础题.‎ ‎19．已知向量与的夹角，且，.‎ ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）求与的夹角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据平面向量的数量积的定义求出，由计算可得.‎ ‎（Ⅱ）设与的夹角为，由计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知，得.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）设与的夹角为.‎ 则.‎ ‎∴.‎ ‎∴与的夹角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积，向量的模的计算，两向量的夹角的余弦，属于中档题.‎ ‎20．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知型火箭的喷流相对速度为.‎ ‎（Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；‎ ‎（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，‎ 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）279‎ ‎【解析】（Ⅰ）代入计算可得；‎ ‎（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比变为.要使火箭的最大速度至少增加，则需.再根据对数的运算及性质计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当总质比为330时，.‎ 由参考数据得，‎ ‎∴当总质比为330时，型火箭的最大速度约为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，‎ 型火箭的喷流相对速度为，总质比变为.‎ 要使火箭的最大速度至少增加，则需 ‎.‎ 化简，得.‎ ‎∴，整理得.‎ ‎∴，则.‎ 由参考数据，知.‎ ‎∴.‎ ‎∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数模型的应用，对数的运算，属于中档题.‎ ‎21．已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当或时，函数的零点个数为0；当或时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由图可得，再根据最小正周期求出，最后由函数过点代入计算可得.‎ ‎（Ⅱ）在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.求出的单调区间及对应的函数值取值范围，再分类讨论可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由图，可知.‎ 函数最小正周期，则.∴.‎ 又，则，.‎ ‎∴，.‎ 又，∴.‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.‎ 由（Ⅰ），知，.‎ ‎∵，，，‎ 由图，知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎（i）当或时，‎ 与的图象在时没有公共点，‎ ‎（ii）当或时，‎ 与的图象在时恰有一个公共点；‎ ‎（iii）当时，‎ 与的图象在时恰有两个公共点.‎ 综上可知，当或时，函数的零点个数为0；‎ 当或时，函数的零点个数为1；‎ 当时，函数的零点个数为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数图象求函数解析式，函数的零点，体现了转化化归思想，属于中档题.‎ ‎22．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意计算可得；‎ ‎（Ⅱ）首先求出的值域，若对任意的，总存在，使得成立，则函数值域为函数的值域的子集，再利用二次函数的性质分类讨论可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 即对任意的，都有成立.‎ ‎∴函数的图象关于点对称.‎ ‎（Ⅱ）∵，易知在上单调递增.‎ ‎∴在时的值域为.‎ 记函数，的值域为.‎ 若对任意的，总存在，使得成立，则 ‎.‎ ‎∵时，，‎ ‎∴，即函数的图象过对称中心.‎ ‎（i）当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增.‎ ‎∴函数在上单调递增.‎ 易知.又，∴，则.‎ 由，得，解得.‎ ‎（ii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴结合对称性，知或.‎ ‎∵，∴.‎ 又，∴.‎ 易知.又，‎ ‎∴.‎ ‎∴当时，成立.‎ ‎（iii）当，即时，函数在上单调递减.‎ 由对称性，知在上单调递减.‎ ‎∴函数在上单调递减.‎ 易知.又，‎ ‎∴，则.‎ 由，得.解得.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数新定义，含参二次函数的值域问题，典型的动轴定区间问题，考查分类讨论思想，属于难题.‎