2015届高考数学二轮复习专题训练试题：集合与函数（9）

2015届高考数学二轮复习专题训练试题：集合与函数（9）

‎ 集合与函数（10）‎ ‎1、对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．‎ ‎   （1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；‎ ‎（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎   （3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．‎ ‎2、函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式的取值范围是 ‎ A．　　　   B． 　　        C．　　　　    D． ‎ ‎3、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为                     ‎ ‎7、 已知集合,有下列命题 ‎①若　则；②若则；③若则的图象关于原点对称；‎ ‎④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是        [来源:Zxxk.Com]‎ ‎8、对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时， ；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下， 集合NN中元素的个数是             .  ‎ ‎10、对于任意实数表示不超过的最大整数，例如：，。那么    ‎ ‎11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为       ‎ ‎12、已知函数满足，且是偶函数， 当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是      。 ‎ ‎15、 若，则定义为曲线的线．已知，，则的线为．‎ ‎16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；  ②  ③   ④，‎ 其中是一阶整点函数的是(     )[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ A.①②③④       B.①③④      C.①④      D.④ ‎ ‎20、函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）‎ ‎       A、 B、 C、    D、 ‎ ‎26、已知函数，则（    ）              ‎ ‎    A．8          B．9        C．11             D．10‎ ‎28、已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数.若点A(1,(1))、B(2,)、C(3,)，ΔABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有(      )  ‎ A.15个        B.20个        C.  25个       D. 30个 ‎29、.已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则； ④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为 ‎ A .1个　　　　        B. 2个　　　　        C .3个　　　　     D. 4个 ‎ ‎32、若函数满足,当时,,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围是（    ）A．     B．   C．          D． ‎ ‎33、若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中   （    ）A．只有一个小于1     B．至少有一个小于1 C．都小于1            D．可能都大于1 ‎ ‎34、若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则A．  B．   C．   D． ‎ ‎35、方程的解的个数为                （    ）‎ ‎    A．0            B．1        C．2       D．3  ‎ ‎37、(本大题满分13分)若存在常数k和b (k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．(1)求的极值；(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线Cn：y＝在其上一点Pn(xn，yn)的切线ln总经过定点(－a,0)(n∈N*).‎ ‎(1)求证：点列：P1，P2，…，Pn在同一直线上；(2)求证： (n∈N*).‎ ‎39、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.‎ ‎40、已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．‎ ‎1、解：（1）对于函数，当时，．当或时，恒成立，故是“平底型”函数．  对于函数，当时，；当时，．所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．       ‎ ‎（Ⅱ）若对一切R恒成立，则．所以．又，则．      则，解得．故实数的范围是．        [来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，‎ 使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．   当时，．当时，，当时恒成立．此时，是区间上的“平底型”函数．     当时，．当时，，当时，．‎ 此时，不是区间上的“平底型”函数．  综上分析，m＝1，n＝1为所求．‎ ‎2、B 3、 7、 ②③ 8、   10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、 D 28、B29、B ‎ ‎32、D33、  分析：因为有两个零点，所以，，故与中至少有1个小于1．‎ ‎34、B 35、C ‎ ‎37、(1)解：∵，∴当时， ∵当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．   ‎ ‎ (2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即   由，可得当时恒成立由得   下面证明当时恒成立．令，则，         当时，．∵当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减； ∴当时，取极大值，其极大值为0． 从而，即恒成立． ∴函数和存在唯一的隔离直线．    ‎ ‎ 38、.证法一：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)Cn：y＝在点Pn(xn，yn)处的切线ln的斜率kn＝f′(xn)＝·，∴ln的方程为y－yn＝·(x－xn).(2分)‎ ‎∵ln经过点(－a,0)，∴yn＝－·(－a－xn)＝·(a＋xn).又∵Pn在曲线Cn上，∴yn＝＝·(a＋xn)，‎ ‎∴xn＝a，∴yn＝，∴Pn(a，)总在直线x＝a上，即P1，P2，…，Pn在同一直线x＝a上.(4分)‎ ‎(2)由(1)可知yn＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，‎ ‎.(9分)‎ 设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，‎ ‎∴F(x)在[0,1]上为增函数，即当0F(0)＝0，故当0ln(x＋1)恒成立.(11分)取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－lni，即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－lnn，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎    综上所述有 (n∈N*).(13分)‎ 证法二：(1)设切线ln的斜率为kn，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝kn(x＋a)，则方程组的解为.(1分)由方程组用代入法消去y化简得kx2＋(2ak－n)x＋ka2＝0，(*)有Δ＝(2ak－n)2－4k·ka2＝－4ank＋n2＝0，∴k＝.(2分)代入方程(*)，得x2＋(‎2a·－n)x＋·a2＝0，即x2－‎2a·x＋a2＝0，‎ ‎∴x＝a，即有xn＝a，yn＝＝，即P1，P2，…，Pn在同一直线x＝a上.(4分)(2)先证：0x>ln(x＋1)，以下类似给分. ‎ ‎39、（本小题满分14分）‎ 解：（1）， 当时，，即，‎ 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数 当时，，函数是区间上的增函数当时，即，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.…7分[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎（2）若存在，则恒成立，‎ 令，则，所以， 因此：恒成立，即恒成立，‎ 由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，，，当时，，，‎ 所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.‎ ‎ 40、解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴．而，∴．‎ ‎（2）由题意可知当时，,∴, ‎ 即：当时，即．又,当时，∴<0, ∴,综上可知，． ‎