湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学文试题

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湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学文试题

湖南省怀化市2019-2020学年新博览联考高三(上)期中数学文科试卷 一、选择题(本大题共12小题)‎ ‎1.已知集合,且,则可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用子集概念即可作出判断.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了子集的概念,考查了元素与集合的关系,属于基础题.‎ ‎2.设命题p:,则为(    )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题选出结果即可.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以命题p:“”则是“,”.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题型.‎ ‎3.已知,,,则,,的大小关系是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】是增函数,‎ 所以,即,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】解决大小关系问题,一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间 );二是利用函数的单调性直接解答.‎ ‎4.已知等差数列{an}中,a3+a5=π,Sn是其前n项和.则sinS7等于(  )‎ A. 1 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列{an}中,a3+a5=π,利用等差数列的性质,求得,由此能求出sinS7.‎ ‎【详解】由题意,等差数列{an}中,a3+a5=π,‎ 又由==,‎ 所以sinS7==sin(-)=-sin=-1.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列中前7项和的正弦值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎5.已知函数若函数存在零点,则实数a的取值范围是( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需,从而得到a的范围.‎ ‎【详解】指数函数,没有零点,‎ 有唯一的零点,‎ 所以若函数存在零点,‎ 须有零点,即,‎ 则,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域(最值)问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.‎ ‎6.已知函数,下列判断正确的是(    )‎ A. 在定义域上为增函数 B. 在定义域上为减函数 C. 在定义域上有最小值,没有最大值 D. 在定义域上有最大值,没有最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可.‎ ‎【详解】∵ ,‎ ‎∴,令,得,‎ ‎∴当x 时, ,单调递减.‎ 当 时, ,单调递增,‎ 所以,无最大值.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎7.已知正的边长为4,点为边的中点,点满足,那么的值为(  )‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角公式得求得tan∠BED,即可求得cos∠BEC,由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得:EB=EC= ,‎ 又 所以 所以 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式,属中档题.‎ ‎8.若是公差为的等差数列,它的前10项和为,则的值为(    )‎ A. 10 B. C. 20 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是公差为的等差数列,前10项和为,列式求出,‎ 又,故求出即可.‎ ‎【详解】∵是公差为的等差数列,它的前10项和为,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列中前5项和的求法,等差数列的性质等基础知识与运算求解能力,是基础题.‎ ‎9.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:‎ 记录时间 累计里程 ‎(单位:公里)‎ 平均耗电量(单位:公里)‎ 剩余续航里程 ‎(单位:公里)‎ ‎2019年1月1日 ‎4000‎ ‎0.125‎ ‎280‎ ‎2019年1月2日 ‎4100‎ ‎0.126‎ ‎146‎ ‎(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=‎ ‎,下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间 C. 等于12.6 D. 大于12.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据累计耗电量的计算公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,可得,‎ 所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是:大于12.6,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数模型的应用,其中解答中正确理解题意,根据累计耗电量的公式,准确计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,是的导函数,则下列结论中错误的是(    )‎ A. 函数的值域与的值域相同 B. 若是函数的极值点,则是函数的零点 C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象 D. 函数和在区间上都是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数,再分别判断,的值域、极值点和零点,再根据图象平移与单调性的判断即可.‎ ‎【详解】由 得.‎ 对于A, 和两函数的值域相同,都是 ,故A正确;‎ 对于B,因为是的导函数, 故函数的极值点是函数的零点,‎ 故B正确;‎ 对于C,把函数的图象向右平移个单位,‎ 得,∴C错误;‎ 对于D, 当时,,单调递增,‎ ‎,也单调递增,故D正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了导数的应用问题,是中档题.‎ ‎11.函数满足:对一切,.且,当时,.‎ 则的值为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平方有,从而有,代入可得函数的周期性,再利用周期性将中2019代换到合适的定义域进行函数值求解即可.‎ ‎【详解】∵满足:对一切,.且,‎ ‎∴,从而有;‎ 两式相减,得;‎ ‎∵∴;‎ ‎∴是以2为周期的函数,‎ ‎∴;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性,函数关系的递推的应用,属于中档题.‎ ‎12.在△ABC中,AC⊥AB,AB=2,AC=1,点P是△ABC所在平面内一点,,且满足,若,则2λ+μ的最小值是(  )‎ A. B. 5 C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立适当的直角坐标系,分别表示出,,进而表示出,再用参数方程,结合三角函数性质求出范围,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,以A 为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(2,0),C(0,1),,,‎ 所以,所以点M满足:(x-1)2+(y-2)2=1,‎ 设M(1+cosθ,2+sinθ),‎ 则由得:(1+cosθ,2+sinθ)=(2λ,μ),‎ 所以,‎ 所以2λ+μ的最小值是3-.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理,以及三角函数的性质的应用,其中解答中根据向量的平面向量的基本定理,结合三角函数求范围是关键,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ ‎13.已知平面向量,若,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的充分必要条件可得:,据此确定x的值即可.‎ ‎【详解】由向量垂直的充分必要条件可得:,解得:.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用,属于基础题.‎ ‎14.与曲线相切于处的切线方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出曲线的导函数,然后求出在处的导数,从而求出切线的斜率,利用点斜式方程求出切线方程即可.‎ ‎【详解】∵曲线,‎ ‎∴,‎ ‎∴在处切线的斜率为 ‎∴曲线在点处切线方程为,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎15.若是等比数列,且公比,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得.‎ ‎【详解】因为是等比数列, 公比,,‎ 故,‎ 解得,‎ ‎∴,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题.‎ ‎16.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若,则 ‎(1)角B的取值范围是______.‎ ‎(2)的取值范围是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意和内角和定理表示出C,由锐角三角形的条件列出不等式组,求出B的范围,‎ ‎(2)由正弦定理和二倍角的正弦公式化简,由函数的单调性求出结论.‎ ‎【详解】(1)∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∵△ABC是锐角三角形,‎ ‎∴,解得,‎ ‎(2)由正弦定理得,,‎ ‎∵,得,即,‎ 令.则,‎ 又在上单调递增.‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 故答案为:;  .‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理,二倍角的正弦公式,内角和定理、三角函数的单调性,考查转化思想,化简、变形能力,属于中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题)‎ ‎17.已知集合,‎ ‎(1)若,求出m的取值范围;‎ ‎(2)是否存在实数m,使是的充分条件,若存在,求出m的范围.若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直接解不等式组即可.‎ ‎(2)根据充分条件和必要条件与集合的关系转化为,进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)若,则,‎ 即,得,得m≥0.‎ ‎(2) ,‎ ‎.‎ 假设存在实数m,使是的充分条件,则必有.‎ 所以,得,‎ 解得.‎ 所以存在实数使条件成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)求值及的最小正周期;‎ ‎(2)若函数在区间上单调递增,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)1;;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由函数的解析式求解的值即可,整理函数的解析式为的形式,然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可;‎ ‎(2)由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为,.据此结合题意可得实数的最大值.‎ ‎【详解】(1)由已知.‎ 因为,‎ 所以函数的最小正周期为.‎ ‎(2)由得,.‎ 所以,函数的单调增区间为,.‎ 当时,函数的单调增区间为,‎ 若函数在区间上单调递增,则,‎ 所以实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用,三角函数的单调性及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知是公差不为0的等差数列,且满足成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1).(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列以及等比数列的性质,求出公差,继而求数列的通项公式;‎ ‎(2)代入化简,利用等差数列以及等比数列求和求解即可.‎ ‎【详解】(1)设的公差为d,因为成等比数列,‎ 所以.即.‎ 化简得.由有,又所以,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)知,,所以 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和,考查计算能力.‎ ‎20.已知顶点在单位圆上的△ABC中,角、、所对的边分别为、、,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)可将变形,由余弦定理可求得A角大小;(2)由正弦定理可求得a边,从而得到关于b,c的方程组,求解可得到bc的值,从而求得三角形面积 试题解析:(1)‎ 又 ‎(2)‎ 又且 ‎∴===‎ 考点:正余弦定理解三角形 ‎21.已知函数,,‎ ‎(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若a=3,且对任意的x1∈[-1,2],总存在,使g(x1)-f(x2)=0成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令t=x2,则t∈[1,3],记,问题转化为函数y=h(t)与y=a有两个交点,利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围.‎ ‎(2)由(1)知f(x)∈[1,2],记A=[1,2],通过当m=0时,当m>0时,当m<0时,分类求实数m的取值范围,推出结果即可.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,,‎ 令t=x2,则t∈[1,3],则,‎ 要使得函数f(x)有两个零点,即函数y=h(t)与y=a有两个交点,‎ 因为,当t∈(1,2)时,<0;当t∈(2,3)时,>0,‎ 所以函数h(t)在(1,2)递减,(2,3)递增,‎ 从而h(t)min=h(2)=4,,h(1)=5,‎ 由图象可得,当时,y=h(t)与y=a有两个交点,‎ 所以函数f(x)有两个零点时实数a的范围为:.‎ ‎(2)由(1)知f(x)∈[1,2],记A=[1,2],‎ 当m=0时,,显然成立;‎ 当m>0时,在[-1,2]上单调递增,所以,‎ 记,‎ 由对任意的,总存在,使成立,可得,‎ 所以且,解得,‎ 当m<0时,在[-1,2]上单调递减,所以,‎ 所以且,截得,‎ 综上,所求实数m的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数取得函数的最值或值域,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.已知函数,函数g(x)=-2x+3.‎ ‎(1)当a=2时,求f(x)的极值;‎ ‎(2)讨论函数的单调性;‎ ‎(3)若-2≤a≤-1,对任意x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤t|g(x1)-g(x2)|恒成立,求实数t的最小值.‎ ‎【答案】(1)f(x)极大值=f(1)=0,无极小值 ‎(2)当a≤0时,F(x)在(0,+∞)单调递增;当a>0时,F(x)在单调递增,在单调递减 ‎(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当a=2时,利用导数求得函数 的单调区间,进而得到极值.‎ ‎(2)求得,分a≤0和a>0,两种情况讨论,即可得出函数的单调区间;‎ ‎(3)把不等式转化为f(x2)-f(x1)≤t[g(x1)-g(x2)],得到f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)对任意-2≤a≤-1,1≤x1≤x2≤2恒成立,令,得到h(x)在[1,2]递减,求得 对任意a∈[-2,-1],x∈[1,2]恒成立,进而转化变量只需要研究,即可求得t的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由题意,当a=2时,函数f(x)=lnx-x2+x,‎ 则.‎ 易知f(x)在(0,1)递增,(1,+∞)递减,‎ 所以函数f(x)极大值为,无极小值.‎ ‎(2)由函数,‎ 则.‎ ‎①a≤0时,>0,恒成立,∴F(x)在(0,+∞)单调递增;‎ ‎②当a>0,由>0得,<0得,‎ 所以F(x)在单调递增,在单调递减.‎ 综上:当a≤0时,F(x)在(0,+∞)单调递增;‎ 当a>0时,F(x)在单调递增,在单调递减.‎ ‎(3)由题知t≥0,.‎ 当-2≤a≤-1时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增,不妨设1≤x1≤x2≤2,‎ 又g(x)单调递减,∴不等式等价于f(x2)-f(x1)≤t[g(x1)-g(x2)].‎ 即f(x2)+tg(x2)≤f(x1)+tg(x1)对任意-2≤a≤-1,1≤x1≤x2≤2恒成立,‎ 记,则h(x)在[1,2]递减.‎ ‎ 对任意a∈[-2,-1],x∈[1,2]恒成立.‎ 令.‎ 则在[1,2]上恒成立,‎ 则,‎ 而在[1,2]单调递增,∴,所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题,考查运算求解能力,以及函数与方程思想,是难题.‎ ‎ ‎
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