广东省韶关市2020届高三上学期期末调研数学（理）试题

广东省韶关市2020届高三上学期期末调研数学（理）试题

绝密★启用前 试卷类型：A ‎2020届广东省韶关市高三调研测试 理科数学 2020.1.13‎ ‎（本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试用时120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知全集，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、已知等差数列的前项和为，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎5、已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、用数字组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数共有（ ）个 A、 B、 C、 D、‎ ‎7、函数的部分图象大致为（ ）‎ ‎8、运行如图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、已知是半径为1的圆的两条直径，，则的值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、设均为正实数，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11、已知函数为奇函数，，当取最小值时，的一个单调递减区间是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12、已知三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，于，，若三棱锥的体积的最大值为 ‎，则该球的表面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、若，则 .‎ ‎14、已知直线是曲线在处的切线，直线是曲线的一条切线，且，则直线的方程是 .‎ ‎15、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：‘三百七十八里关，初行健步不难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关’其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。则该人最后一天走的路程为 里.‎ ‎16、离心率为的椭圆恰好过抛物线的焦点，为椭圆的上顶点，为直线上一动点，点关于直线的对称点为，则的最小值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本小题满分12分）‎ 如图，在平面四边形中，，设.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）用表示四边形的面积，并求的最大值.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设，求二面角的余弦值.‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有次品。已知这种电子元件次品率为0.01，且这种电子元件是否为次品相互独立。现要检测3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，设每组有个电子元件，将每组的个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件是次品，再对本组个电子元件逐一检测.‎ ‎（1）当时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；‎ ‎（2）设一组电子元件的检测次数为，求的数学期望；‎ ‎（3）估算当为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数（提示：利用进行估算）.‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的焦点在圆上，且椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过圆上一点作圆的切线交椭圆于两点，证明：点在以为直径的圆内.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个极值点，且.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请学生在第22,23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）设点在曲线上，求点到直线距离的取值范围.‎ ‎23、[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎（1）已知函数，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，求证：.‎ ‎2020届韶关高三调研测试数学（理科）试题 参考答案和评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A B A C C B B B A C 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）在中，由余弦定理知 由已知，‎ 代入上式得：，即 又由正弦定理得：‎ 即：，解得：……………………………………6分 ‎（2）在中，由余弦定理知 故 所以 故………………………………………………………………12分 ‎18、解：（1）证明：取的中点，连接 ‎∵分别是的中点 ‎∴‎ 在正方形中，是的中点 ‎∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ 又平面，平面 ‎∴平面……………………………………………………………………………6分 ‎（2）以为原点，延长线，所在直线分别为轴建立如图所示的空间坐标系，则 ‎∴‎ 设是平面的法向量，则 ‎，令，得 设是平面的法向量，则 ‎，令，得 由图形可知二面角为钝二面角 ‎∴二面角的余弦值为……………………………………………………12分 ‎19、解：（1）设事件：一组待检测电子元件中由次品，则事件表示一组待检测电子元件中没有次品 因为 所以…………………………4分 ‎（2）依题意，的可能取值为 分布列如下：‎ ‎1‎ 所以的数学期望为：………………8分 ‎（3）由（2）可得：每个元件的平均检验次数为：‎ 因为 当且仅当时，检验次数最小 此时总检验次数（次）……………………………………‎ ‎12分 ‎20、（1）∵圆与轴的交点为，∴‎ ‎∵椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为 ‎∴ ∴ ∴‎ ‎∴椭圆的方程为………………………………………………………………4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，两点的坐标分别为 此时点到切线的距离为1，以为直径的圆的半径为 ‎∵，∴点在以为直径的圆内；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 因为直线与圆相切，所以，即 联立，化简得：‎ ‎∴……………………………………………………9分 ‎∴‎ ‎∴即 ∴点在以为直径的圆内 综上所述，点在以为直径的圆内。…………………………………………………12分 ‎21、（1）的定义域为，‎ 设，则在内有两个变号零点，‎ 令得，令得 ‎∴在递增，在递减 ‎∴‎ 又当时，，在没有两个零点 当时，‎ ‎（令，因为，所以在递减，‎ ‎）‎ ‎∴使得，使得 当时，，∴递减 当时，，∴递增 当时，，∴递增；‎ 当时，，递减 ‎∴分别为的极小值与极大值点 综上，的取值范围为………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，∴，∴‎ ‎∴时，∴‎ 要证，只需证 ‎∵由（1）得 ‎∴得，即 设，则，∴，∴‎ ‎∴…………………………………………………………………………9分 下面说明 即，设 ‎∴‎ ‎∴递增，∴即 ‎∴成立……………………………………………………………12分 22、 ‎（1）由曲线的参数方程得：‎ 曲线的普通方程为：…………………………………………………3分 由直线的极坐标方程得：‎ 由代入上式得执行的直角坐标方程为…………5分 ‎（2）由题意，可设点 到直线的距离 当时，，当时，‎ 所以的取值范围是……………………………………………………10分 ‎23、（1）当时，，解得 当时，，解得 当时，，无解 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）因为 所以（当且仅当取等号）‎ 同理（当且仅当取等号）‎ ‎（当且仅当取等号）‎ 相加（当且仅当取等号）‎ 所以 因为，所以 所以……………………………………………………………10分