数学文卷·2018届北京市西城区66中高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)x

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数学文卷·2018届北京市西城区66中高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)x

北京市第六十六中学2016-2017学年第一学期期中质量检测 高二年级数学(文科)学科试卷 一、选择题(每小题4分,共32分)‎ ‎1. 在直角坐标系中,原点到直线的距离为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ 故选.‎ ‎2. 圆心为,且经过点的圆的方程是( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心为,排除,‎ 且经过,排除,‎ 故选.‎ ‎3. 如果两条直线与平行,那么等于( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴或,‎ 当时,,‎ ‎.重合(舍去),‎ 当时,,‎ ‎.符合要求,‎ 综上,‎ 故选.‎ ‎4. 如图,正方体中,下列结论不正确的是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】与是两条异面直线.所以不可能平行,选C.‎ ‎5. 在空间中,下列命题正确的是( ).‎ A. 如果直线平面,直线直线,那么直线平面 B. 如果平面平面,那么平面内的任一直线平面 C. 如果平面与平面的交线为,平面内的直线直线,那么直线平面 D. 如果平面内的两条直线都平行于平面,那么平面平面 ‎【答案】B ‎【解析】项错误,可能平行于平面,‎ 项错误,可能仅与平面相交,‎ 项错误,平面内两条相交直线都平行于,则有两平面平行,‎ 项正确,故选.‎ ‎6. 如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ).‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎.‎ 选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.‎ ‎7. 过点的直线交圆于、两点,当最大时,直线的方程是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆标准方程为,‎ 当最大,直线经过圆心,‎ 直线斜率,,‎ 整理得,‎ 故选.‎ 点睛: 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.‎ ‎8. 如果实数,满足等式,那么的最大值是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】过原点作该圆的切线,‎ 切线斜率,‎ 故选.‎ 点睛: 与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.‎ 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)‎ ‎9. 在平面直角坐标系中,直线的倾斜角是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线为,‎ 倾斜角,‎ ‎.‎ ‎10. 圆在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆,‎ 点在圆上,‎ ‎∴其切线方程为,‎ 整理得:.‎ ‎11. 若圆与圆外切,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎12. 一个棱长为的正方体,其八个顶点都在同一个球面上,那么这个球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球的半径为,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 球表面积.‎ ‎13. 设是圆上动点,是直线上动点,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心为到直线的距离,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎14. 如图,在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水,将容器底面一边固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜角度的不同,有下列四个说法:‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状;‎ ‎②水面四边形的面积不改变;‎ ‎③棱始终与水面平行;‎ ‎④当时,是定值.‎ 其中正确说法是__________.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】随着倾斜度的不同,‎ ‎ ‎ 但水的部分始终呈棱柱状,‎ 且棱平面,‎ ‎∵棱,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵体积是定值,高为定值,‎ 则底面积为定值,‎ 则底面积为定值,‎ 即为定值,‎ 综上①③④正确.‎ 三、计算题(本题共4小题,共44分)‎ ‎15. 已知直线经过点,且斜率为.‎ ‎(I)求直线的方程.‎ ‎(II)求与直线平行,且过点的直线方程.‎ ‎(III)求与直线垂直,且过点的直线方程.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据点斜式写直线方程(2)根据平行关系设所求直线方程为,再代入点坐标求参数m,(3)根据垂直关系设所求直线方程为,再代入点坐标求参数n 试题解析:(I),‎ 整理得.‎ ‎(II)设所求直线方程为,代入点,‎ 解得,‎ ‎∴直线方程为.‎ ‎(III)设所求直线方程为,代入,‎ 解得,‎ ‎∴直线方程为.‎ ‎16. 已知圆经过坐标原点和点,且圆心在轴上.‎ ‎(I)求圆的方程.‎ ‎(II)设直线经过点,且与圆相交所得弦长为,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)先求弦中垂线方程,再求与x轴交点得圆心,根据圆心到原点距离等于半径,写出圆标准方程(2)设直线的点斜式方程,根据垂径定理求出圆心到直线距离,再根据点到直线距离公式求直线斜率,最后验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析:(I)∵圆经过和点,‎ ‎∴圆心一定在线段垂直平分线上,‎ 中点为,‎ ‎,‎ ‎∴垂直平分线为,‎ 当时,,‎ ‎∴圆心,,‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎(II)设直线为,‎ 即,‎ 圆心到直线的距离,‎ 解得,‎ 整理得,直线的方程为.‎ ‎17. 如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面,,为 中点.‎ ‎(I)证明:平面.‎ ‎(II)证明:平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)根据矩形性质得,再根据线面平行判定定理得结论(2)先由平面,得,由矩形得,进而根据线面垂直判定定理得平面,即得,再根据等腰三角形性质得,所以根据线面垂直判定定理得结论 试题解析:(I)证明:∵在矩形中,‎ ‎,‎ 平面,‎ 平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(II)∵在等腰中,‎ 是边中点,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ 平面,‎ ‎∴,‎ 点,‎ ‎,平面,‎ ‎∴平面,‎ 平面,‎ ‎∴,‎ ‎∵点,‎ ‎、平面,‎ ‎∴平面.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ ‎18. 如图所示,正方形与直角梯形所在平面互相垂直,,,.‎ ‎(I)求证:平面.‎ ‎(II)求证:平面.‎ ‎(III)求四面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎【解析】试题分析:(1)欲证AC⊥平面BDE,只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可,因为AC与BD是正方形ABCD的对角线,所以AC⊥BD,再正DE垂直AC所在的平面,得到AC垂直DE,而BD,DE是平面BDE中的两条相交直线,问题得证.‎ ‎(2)欲证AC∥平面BEF,只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可,利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半,根据已知AF平行DE且等于DE的一半,所以OG与AF平行且相等,就可得到AC平行FG,而FG为平面BEF中的一条直线,问题得证.‎ ‎(3)四面体BDEF可以看做以△DEF为底面,以点B为顶点的三棱锥,底面三角形DEF的底边DE=2,高DA=2,三棱锥的高为AB,长度等于2,再代入三棱锥的体积公式即可.‎ ‎()因为平面平面,,‎ 即,所以平面,‎ 因为平面,所以,‎ 因为是正方形,所以,,所以平面.‎ ‎()设,取中点,连接、,如下图:‎ 所以平行且等于,‎ 因为,,‎ 所以平行且等于,从而四边形是平行四边形,‎ ‎,因为平面,平面,所以平面,‎ 即平面.‎ ‎(),,‎ 因此四面体的体积.‎ 点睛:本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直,线面平行,计算三棱锥的体积,综合考查了学生的识图能力,空间想象力,计算能力.证线面垂直先证线线垂直,正线面平行先证线线平行。‎
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