2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

2017-2018学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 安徽省六安市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选 ‎2．已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知可得，所以，所以选C.‎ 考点：集合的运算．‎ ‎3．已知的始边与轴非负半轴重合，终边上存在点且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,解得.故选.‎ ‎4．已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：已知等式左边利用诱导公式化简求出 的值，原式利用诱导公式化简后将的值代入计算即可求出值.‎ 详解：‎ 故选A.‎ 点睛:诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，因此常用于化简求值，一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→的三角函数→锐角的三角函数.‎ ‎5．下列说法正确的个数是( )‎ ‎①“若，则中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ‎②命题“设，若，则或”是一个真命题 ‎③“， ”的否定是“， ”‎ ‎④是的一个必要不充分条件 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，原命题的逆命题为：若中至少有一个不小于，则，而满足中至少有一个不小于，但此时，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设，若且，则”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“”的否定是“”，故③是假命题；对于④，由可推得，故④是真命题，故选C．‎ 点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.‎ ‎6．函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．‎ 详解：函数 则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当 时，f 排除D． 当时，，排除C， 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．‎ ‎7．已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解，借助于中介值完成.‎ 详解： ，‎ 故选D.‎ 点睛：‎ 该题考查的是有关指数幂以及对数值的大小比较的问题，涉及到的知识点有指数函数与对数函数的单调性，在解题的过程中，需要借助于中介值来完成.‎ ‎8．若函数在处有极小值，则实数（ ）‎ A. 9 B. 3 C. 3或9 D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先对函数求导，利用题中的条件函数在处有极小值，得到，解出关于m的方程，再验证是否为极小值即可.‎ 详解：函数的导数为 ‎ ‎ 由在处有极大值，即有 解得或3,‎ 若时，解得或 由在处导数左正右负，取得极大值，‎ 若，可得或1‎ 由在处导数左负右正，取得极小值.‎ 综上可得 故选B.‎ 点睛：求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数的定义域；(2)求，令，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性.‎ ‎9．已知函数 ，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：‎ 解得 故选 ‎10．某参观团根据下列约束条件从，，，，五个镇选择参观地点：‎ ‎①若去镇，也必须去镇； ②，两镇至少去一镇；‎ ‎③，两镇只去一镇； ④，两镇都去或都不去；‎ ‎⑤若去镇，则，两镇也必须去.‎ 则该参观团至多去了（ ）‎ A. ，两镇 B. ，两镇 C. ，两镇 D. ，两镇 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题中告诉的条件，运用假设法进行推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾则推理正确.‎ 详解：由②知，D、E两镇至少去一镇，若去E镇，则由⑤也必须去A、D镇，‎ 由于①和④必须去B、C两镇，但与③矛盾，‎ 所以不能去E地，因此必须去D地.‎ 由④也必须去C镇，‎ 再由③知，不能去B镇，从而由①知也不能去A镇，‎ 故参观团只能去C、D两镇.‎ 故选C.‎ 点睛：该题所考查的是有关推理的问题，在解题的过程中，需要对题中的条件认真分析，先假设去某个地方，根据题中所给的条件，进行推理，如果推出矛盾，则将其否定，如果没有推出矛盾，则说明其为正确的，从而得到结果.‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数，且.若，则（ ）‎ A. -2018 B. 0 C. 2 D. 2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，分析题中的条件，确定出函数是周期为4的周期函数，进而结合函数的周期性以及函数的奇偶性，将2018个函数值的和简化，最后求得结果.‎ 详解：根据题意，函数满足，‎ 则，则函数的周期为4，‎ 又由是定义在上的奇函数，‎ 则有，，，，，所以 ，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关函数值的求和问题，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性，函数值的求解，最后转化函数值的问题，在解题的过程中，熟练的转化题的条件是解题的关键.‎ ‎12．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则 ， ，由得在和上递增，在上递减，画出两个函数图象如图：‎ 由图知要使存在唯一的正整数，使得，只要，即，解得，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、利用导数研究函数的单调性以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某种活性细胞的存活率与存放温度之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：‎ 存放温度 ‎10‎ ‎4‎ ‎-2‎ ‎-8‎ 存活率 ‎20‎ ‎44‎ ‎56‎ ‎80‎ 经计算得回归直线的斜率为-3.2.若存放温度为，则这种细胞存活率的预报值为__________．‎ ‎【答案】34‎ ‎【解析】分析：由题意求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程，代入代入即可得到答案.‎ 详解：由题意，设回归方程 由表中数据可得：；‎ 代入回归方程可得.‎ 当时，可得 ‎，‎ 故答案为34.‎ 点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有回归直线过均值点，即样本中心点，利用题中所给的表格中的数据，计算得出相应的量，代入式子求得对应的结果.‎ ‎14．函数在点处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出函数 的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.‎ 详解：的导数为，‎ 在点（0,1）处的切线斜率为，‎ 即有在点（0,1）处的切线方程为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.‎ ‎15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先对函数求导，之后令导数大于等于零在所给定的区间上恒成立，之后应用参数分离，应用函数的最值得到相应的结果.‎ 详解：根据函数在上单调递增，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 即在上恒成立，所以，‎ 故实数的取值范围是.‎ 点睛：该题考查的是有关参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数在给定区间上是增函数的充要条件，将恒成立问题转化为最值来处理，注意对题中的条件的转化是解题的关键.‎ ‎16．已知函数，，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：利用对数的运算法则，结合函数的解析式，求得，利用条件，从而求得，从而求得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以 ，‎ 因为，所以，故答案是1.‎ 点睛：该题考查的是有关函数值求值问题，在解题的过程中，注意观察函数解析式的特征，结合对数式的运算性质，求得，结合题中所给的，从而求得，得到结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设，已知命题函数有零点；命题， .‎ ‎（1）当时，判断命题的真假；‎ ‎（2）若为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）真命题；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，可得在上恒成立，即可得到命题的真假；‎ ‎（2）由为假命题，则都是假命题，进而可求解的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎（1）当时， ， 在上恒成立，∴命题为真命题.‎ ‎（2）若为假命题，则都是假命题，当为假命题时， ‎ ‎，解得；‎ 当为真命题时， ，即，解得或，由此得到，当为假命题时， ，∴的取值范围是.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)将代入函数解析式，里用零点分段法，将函数解析式中的绝对值符号去掉，分段讨论，求得结果；‎ ‎（2）问题转化为且，根据函数的单调性求出的范围即可.‎ 详解：（1）当时， ，‎ 当时，，∴；‎ 当时，，∴；‎ 当时，，无解；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，有解有解有解有解，∵，，∴.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，第一问应用零点分段法，将其转化为多个不等式组求得结果；第二问将不等式有解问题向最值靠拢，即可求得结果.‎ ‎19．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得结果.‎ 试题解析：（1）由已知得：，消去得，‎ ‎∴化为一般方程为：，‎ 即：：.‎ 曲线：得，，即，整理得，‎ 即：：.‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：‎ ‎，即，‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ ‎20．已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求的零点；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）和0；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）问题转化为时解方程；‎ ‎（2）有两个零点，有两个不同的实数根.分离出后转化为求函数的最值问题.‎ 详解：（1）当时，.‎ ‎，令，则，‎ ‎∴或，∴或，∴或，‎ ‎∴的零点为和0.‎ ‎（2）有两个零点有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根.‎ 令，则.‎ 则有两个不同的实数根在上有两个不同的实数根.‎ 所以 .‎ 点睛：该题考查的是有关函数的零点的问题，在解题的过程中，一个是求函数的零点，其根本就是求方程的解，一个是根据函数零点的个数，确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，向最值靠拢即可得结果.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当，求的最值；‎ ‎（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），无最大值；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；‎ ‎(2)求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求得的范围.‎ 详解：（1）当时，，，，‎ 则在单调递减，在单调递增，‎ 则，无最大值.‎ ‎（2）.‎ 解法一：有两个极值点有两个不等实根有两个不等的实根.‎ 记，则.‎ 所以，.‎ 则在上单调递增，上单调递减，，‎ ‎，且当时，，如图所示：‎ ‎∴即.‎ 解法二：依题意得有两个不等实根.‎ 记，则有两个不等实根，，.‎ ‎①当时，，在上递增，至多一个实根，不符合要求；‎ ‎②当时，在递增，递减，，‎ 又当时，，当时，，故要使有两个实根.‎ 则，得.‎ 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的求导公式，函数的求导法则，函数的单调性，函数的极值，分类讨论思想，时刻保持头脑清醒是解题的关键.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先求函数的定义域，然后求导通分，对 分成两类，讨论函数的单调区间.（2）结合（1）的结论，将原不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值为，由此证得原不等式成立.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）函数的定义域为，且.‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，若时，则，函数在上单调递增；若时，则，函数在上单调递减. ‎ ‎（2）由（1）知，当时，.‎ 要证，只需证，‎ 即只需证 构造函数，则.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 所以.‎ 所以恒成立，‎ 所以. ‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查构造函数的思想，考查分类讨论的数学思想.在求导后，一般要进行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考虑，另外要注意在定义域内研究单调性.通过构造函数法证明不等式恒成立问题过程中，要注意变形要是等价变形.‎