湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎ 应城一中2019—2020学年度下学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：‎2020年4月21日上午 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设复数满足，则的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为 ‎ A. 3 B. C. D.‎ ‎4.将4个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ‎ A.6种 B. 42种 C. 10种 D.12种 ‎5.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方。如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为 ‎ A.611.6 B.‎481.4 C.692.5 D.512.4‎ ‎ ‎ ‎6. 已知，且，则=‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎7.设抛物线的焦点为，准线为，为该抛物线上一点，，为垂足．若直线 的斜率为，则的面积为 ‎ A. B. C.8 D. ‎ ‎8.的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是 ‎ A.5 B. C. D.100‎ ‎9.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在使得不等式有解，则实数的最大值为 第11题图 A. B. －‎1 C. 1 D. ‎ ‎11.如图，以棱长为2的正方体的顶点为球心，以为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则 A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知两个单位向量，满足，则与的夹角为__________．‎ ‎14. 若函数的图象在点处的切线过点，则 。‎ 15. 记为等差数列的前项和，若，则________.‎ ‎16.已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是__________．‎ 三、 解答题：满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，18-22题满分为12分，每个试题考生都必须作答，考生根据要求作答.‎ ‎17．(本小题满分10分) ‎ 在等比数列中，公比为，．‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18、(本小题满分12分) ‎ 如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，‎ ‎．‎ ‎（1）若θ=,求的值；‎ ‎（2）若BC=4，AB=2 ，求边AC的长．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”‎ 要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、 [56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：‎ 等级 A B C D E 比例 ‎15%‎ ‎35%‎ ‎35%‎ ‎13%‎ ‎2%‎ 赋分区间 ‎[86,100]‎ ‎[71,85]‎ ‎[56,70]‎ ‎[41,55]‎ ‎[30,40]‎ 而等比例转换法是通过公式计算: .‎ 其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：‎ 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 化学 ‎75分 B等级 ‎[69,84]‎ ‎[71,85]‎ 设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为分.‎ 已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：‎ 成绩 ‎95‎ ‎93‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎（1）从化学成绩获得等级的学生中任取名,求恰好有名同学的等级成绩不小于分的概率；‎ ‎（2）从化学成绩获得等级的学生中任取名，设名学生中等级成绩不小于分人数为，求的分布列和期望.‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，‎ ‎，顶点在底面内的射影恰为点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（第20题图）‎ ‎（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 已知点，在椭圆上，其中为椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线经过的上顶点且与抛物线交于，两点，直线，与分别交于点（异于点），（异于点），证明：直线的斜率为定值.‎ 22、 ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数：‎ （I） 当时，求的极值；‎ （II） 证明：函数有且只有一个零点.‎ 高二下学期期中考试参考答案 一、选择题（每题5分，满分60分）‎ ‎1-5 CBBCC 6-10、BDCBA 11-12 DB 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13、 14、5 15、13 16、. ‎ 三、解答题 ‎17、解：（Ⅰ）因为公比为的等比数列中，‎ ‎ ‎ 所以，当且仅当时成立.----------------------2分 此时公比,　　---------------------------------3分 所以 ------------------------------------------------5分 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ ‎ --------------6分 ‎--------7分 ‎ --------8分 ‎ -------------------------9分 ‎ ‎ ‎ 故数列的前项和----------------------------10分 18、 解：（I）‎ 所以 ....................................2分 ‎ 19、（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为,由转换公式得：‎ ‎，即：‎ 根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的考生有人 故恰好有名同学的等级成绩不小于的概率为 ‎（2）由题意等级成绩不小于分人数为人，获得等级的考生有人，则 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则期望为：‎ ‎20、‎ 解：（1）证明：如图，连接，则平面，‎ 平面, ………………2分 在等腰梯形中，连接，过点作于点，‎ ‎，,，‎ 则，‎ 因此满足， ……………………5分 又，‎ 平面 ……………………6分 ‎（2）由（1）知两两垂直，‎ ‎∵平面，，‎ 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系， …………………7分 则，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，由得 可得平面的一个法向量， ……………………9分 又为平面的一个法向量， ………………10分 设平面与平面所成锐二面角为 则 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ……12分 ‎21、解：（Ⅰ）依题意得 ‎ ‎ 解得 ‎ 所以 椭圆的方程为-----------------------------------4分 ‎（2）补充：若F用椭圆的右焦点F（1,0），计算方法下同。算出来的答案为定值-1‎ 同样算对，赋分方法下同。‎ ‎ 参考答案所给的F为椭圆的左焦点F（-1,0），则算出来的答案为定值1‎ ‎22、解：（I）