2017-2018学年山东省济南市历城区第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年山东省济南市历城区第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

启用前绝密 2017-2018 学年山东省济南市历城区第二中学高二上学期期中考 试 文 科 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页,考试时间 120 分 钟，满分 150 分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1 答题前，考生务必用 05 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号和科类写在答 题卡和试卷规定的位置上. 2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 3 第Ⅱ卷必须用 05 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效. 4 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 I 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. （1）椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为 （A） （B） （C） （D） （2）在△ABC 中，“ ”是“ ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 （3） 若不等式 对于一切 成立，则 a 的最小值是 （A）0 （B）-2 （C） （D）-3 （4）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆 G 上一点到其 两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为( )． （A） x2 4 ＋ y2 9 ＝1 （B） x2 9 ＋ y2 4 ＝1 （C） x2 36＋ y2 9 ＝1 （D） x2 9 ＋ y2 36＝1 （5）过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )． （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条 （6）在等比数列 中，若 ，则 （A）9 （B）1 （C）2 （D）3 （7）已知 ，给出下列四个结论：① ② ③ 其中正确结论的序号是 （A）①②③ （B）①② （C）②③ （D）③ （8） 已知 满足约束条件 ，则 的最大值为 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 （9）下列各式中最小值为 2 的是 （A） （B） （C） （D） （10）设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，对任意正整数 ， 都有 ，则 的值为 （A）1006 （B）1007 （C）1008 （D）1009 （11）过双曲线 ( ， )的右焦点 作圆 的切线 (切 点为 )，交 轴于点 .若 为线段 的中点，则双曲线的离心率为 （A） （B） （C）2 （D） （12） 在△ABC 中，点 分别为边 和 的中点， 点 P 是线段 上任意一点 （不含端点），且△ABC 的面积为 1，若△PAB，△PCA，△PBC 的面积分别为 ，记 ，则 的最小值为 （A）26 （B）32 （C）36 （D）48 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. （13）等差数列 中, 为其前 项和，若 则 =_______． （14） 椭圆 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是_______． （15） 不等式 的解集为_______． （16）下列有关命题的说法正确的是_______． ①命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”． ②“ ”是“ ”的充分不必要条件． ③命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”． ④命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. （17）(本小题满分 12 分) 已知数列 的前 项和为 ，且 是 与 2 的等差中项， （I）求 的值； （Ⅱ）求数列 的通项公式. （18）(本小题满分 12 分) 已知 ，命题 “函数 在 上单调递减”，命题 “关于 的不 等式 对一切的 恒成立”，若 为假命题， 为真命题，求实 数 的取值范围. （19）(本小题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 ( )． （20）(本小题满分 12 分) 某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面 的长度 x 不得超过 5 m．房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶 和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长 度为多少时，总造价最低？ （21）(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （I）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 两点，满足: ，试判断 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. （22）[选修 4—5：不等式选讲] 设函数 ，其中 . （I）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 的解集为 ，求 的值． （23）[选修 4—5：不等式选讲] 已知 均为正数，证明： ，并确定 为何 值时，等号成立． 高二数学期中参考答案（文科） 选择题：（1）A（2） A（3）C（4）C（5）C （6）D（7）B（8）D （9）B（10）D （11）A（12）C 填空题：（13） 28 （14） x+2y-8=0 （15） （16）②④ 解答题：（17） ① ........2 分 由①得： ........4 分 ........6 分 (2)解： ② ②-①得 ........9 分 数列 以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列 即 ........12 分 （18）解： 为真： ；........2 分； 为真： ，得 ， 又 ， ........5 分 因为 为假命题， 为真命题，所以 命题一真一假........7 分 （1）当 真 假 ........9 分 （2）当 假 真 无解 综上， 的取值范围是 ........12 分 （19）解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0. 因为 a＜0 时，原不等式化为 2 a(x＋1)≤0. ........2 分 ①当 2 a＞－1，即 a＜－2 时，原不等式等价于－1≤x≤ 2 a；........5 分 ②当 2 a＝－1，即 a＝－2 时，原不等式等价于 x＝－1；........8 分 ③当 2 a＜－1，即－2＜a＜0 时，原不等式等价于 2 a≤x≤－1. ........11 分 综上所述：当 a＜－2 时，原不等式的解集为 2 a； 当 a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜0 时，原不等式的解集为 2 ，－1；.........12 分 （20）解：由题意可得，造价 y＝3(2x×150＋ 12 x ×400)＋5 800 ＝900 16 x ＋5 800(0＜x≤5)， 则 y＝900 16 x ＋5 800≥900×2 16 x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当 x＝ 16 x ，即 x＝4 时取等号． 故当侧面的长度为 4 米时，总造价最低．........12 分 （21）解：(I) 解：由题意知 ，∴ ， 即 又 ........2 分 ∴ ， 椭圆的方程为 ........ 4 分 (II) 设 ， 即 ....... 5 分 由 得 ， ， . ........ 7 分 代入 即 得： ， , ........ 9 分 ........11 分 把 代入上式得 ........ 12 分 （22）解：（Ⅰ ）当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1.........3 分 故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．........5 分 （Ⅱ ）由 f(x)≤0 得，|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组 x≥a， x－a＋3x≤0或 x≤a， a－x＋3x≤0， 即 a 4或 a .........8 分 因为 a＞0，所以不等式组的解集为 a 2. 由题设可得－ a 2＝－1，故 a＝2. ........10 分 （23）证明 法一 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得，a2＋b2＋c2≥3(abc) 2 3，① 1 a＋ 1 b＋ 1 c≥3(abc)－1 3，所以 1 c2≥9(abc)－2 3，② 故 a2＋b2＋c2＋ 1 c2≥3(abc) 2 3＋9(abc)－2 3. 又 3(abc) 2 3＋9(abc)－2 3≥2＝6，③ 所以原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当 3(abc) 2 3＝9(abc)－2 3时，③式等号成立． 故当且仅当 a＝b＝c＝3 1 4时，原不等式等号成立．........10 分 法二 因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理 1 a2＋ 1 b2＋ 1 c2≥ 1 ab＋ 1 bc＋ 1 ac，② 故 a2＋b2＋c2＋ 1 c2≥ab＋bc＋ac＋ 3 ab＋ 3 bc＋ 3 ac≥6.③ 所以原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立．故当且仅当 a＝b＝c＝3 1 4时，原不等式等号成立．........10 分 .