2018-2019学年福建省仙游第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版
仙游一中2018—2019学年度上学期期末考
高二数学（文科班）试卷
（命题人： 满分150分 答卷时间２小时）
班级： 座号： 姓名：
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案，把答案填在答题卷相应的题号上.
1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
2.若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
|a＋b|
3.椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝2，
sin2A＝sinB，则边c的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．2或4
5.在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数f(x)＝x3－ax2＋4在区间[0,2]上单调递减，则( )
A．a≥3 B．a＝3 C．a≤3 D．00，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
10.若θ∈，则y＝＋的取值范围为( )
A．[6，＋∞) B．[10，＋∞) C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)
11．若f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和为( )
A. B． C. D．
12.已知直线l1，l2是双曲线C：－y2＝1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1距离的取值范围是，则点P到渐近线l2距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸的相应位置．
13.某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.
14.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
15．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝
的单调递减区间为________
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文
17．(本小题10分)已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3＋1.(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n.
18．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
19.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab.(1)若λ＝，B＝，求sinA；
(2)若λ＝4，AB边上的高为，求C.
20. (本小题12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
21．(本小题12分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
22.已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．
1.解析：选C 观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是与它相邻的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.
2.解析：选C 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.
3.[解析] 选C.由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
4.解析：选D 由sin 2A＝sin B，得2sin Acos A＝sin B，由正弦定理得2×4cos A＝2，所以cos A＝.再由余弦定理得cos A＝，解得c＝2或c＝4.故选D.
5.解析：选B 当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.
6.解析：选A 因为函数f(x)＝x3－ax2＋4在区间[0,2]上单调递减，所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在[0,2]上恒成立．当x＝0时，显然成立，当x≠0时，a≥x在(0,2]上恒成立．因x≤3，所以a≥3.综上，a≥3.
7.解析：选A 由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式得 ＝.
8.解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
9.解析：选A 当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．
10选D.∵θ∈，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且仅当＝，即θ＝时等号成立，∴y＝＋的取值范围为[16，＋∞)．故选D.
11.解析：选A 因为f(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm－1＋a.又因为f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以数列的前n项和为＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故选A.
12.解析：选A 设点P(x0，y0)，由题可设渐近线l1：x－2y＝0，渐近线l2：x＋2y＝0，由点P到直线l1的距离d1＝，点P到直线l2的距离d2＝，有d1d2＝·＝，又－y＝1，即x－4y＝4，则d1d2＝，则d2＝，由d2与d1成反比，且d1∈，所以d2∈.故选A.
13.答案：13
14.解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
则解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
答案：－7
15.解析：选D g′(x)＝＝，令g′(x)<0，即f′(x)－f(x)<0，由题图可得x∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D.
16. [答案y＝±x
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝，所以＝p，即＝，故＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
17.解：(1)依题意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.
因为a2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，
所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，
所以an＝2n－1.
(2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n
＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)
＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1)
＝2×－(n＋1)
＝3n＋1－n－2.
18.解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，
即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
则a的取值范围为.
19.解：(1)由已知B＝，a2＋b2＝ab，结合正弦定理得
4sin2A－2sin A＋1＝0.解得sin A＝.
因为00)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)；
当20，
由f′(x)＝0，得x＝，
所以f(x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，无极大值点．
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝ea－1.
所以在区间(0，ea－1)上，g(x)为减函数，在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为增函数．
当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，
所以g(x)的最小值为g(1)＝0.
当1
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