【数学】2018届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案

‎　‎ ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.‎ ‎2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．‎ 知识点一　同角三角函数基本关系式 ‎ ‎1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝________.‎ ‎2．商数关系：__________，其等价形式为：sinα＝____________，cosα＝.‎ 答案 ‎1．1－sin2α　2.＝tanα　cosαtanα ‎1．已知cosα＝，且α是第四象限角，则sinα的值为________．‎ 解析：由于α是第四象限角，故sinα＝－＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知＝－5，那么tanα的值为________．‎ 解析：由＝－5，知cosα≠0，分子分母同时除以cosα可得＝－5，解得tanα＝－.‎ 答案：－ ‎3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 解析：通性通法：由tanα＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或则sin2α＝2sinαcosα＝，则cos2α＋2sin2α＝＋＝.‎ 光速解法：cos2α＋2sin2α＝＝＝＝.‎ 答案：A 知识点二 六组诱导公式 ‎ 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α ‎(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sinα ‎______‎ ‎－sinα sinα ‎______‎ cosα 余弦 cosα ‎－cosα ‎______‎ ‎－cosα sinα ‎______‎ 正切 tanα tanα ‎－tanα ‎______‎ 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 答案 ‎－sinα　cosα　cosα　－sinα　－tanα ‎4．计算sin－cos＋tan＝________.‎ 解析：原式＝sin－cos－tan＝sin－cos－tan＝－sin＋cos－＝－＋1.‎ 答案：－＋1‎ ‎5．已知tanα＝，π<α<π，则cosα－sinα＝________.‎ 解析：∵tanα＝，π<α<π，∴α＝π，∴cosα－sinα＝cosπ－sinπ＝－cos＋sin＝－＋＝.‎ 答案： 热点一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎ 考向1　运用公式直接求值 ‎【例1】　(1)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.‎ ‎【解析】　(1)因为α为第四象限的角，‎ 故cosα＝＝＝，‎ 所以tanα＝＝＝－.选D.‎ ‎(2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝1＋1＋1＋…＋ ＋＝44.故填44.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)44 考向2　关于sinα，cosα的齐次式问题 ‎【例2】　若tanα＝－，则＝________，sin2α＋2sinαcosα＝________.‎ ‎【解析】　＝ ‎＝＝.‎ sin2α＋2sinαcosα＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎【答案】　　－ ‎【总结反思】‎ 同角三角函数关系式的应用技巧 ‎(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．‎ ‎(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“‎1”‎，利用“sin2α＋cos2α＝‎1”‎代换后转化为“切”后求解.‎ ‎(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)‎ A．－ B. C．± D．－k ‎(2)已知sinα＋cosα＝，则tanα＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：(1)由cosα＝k，α∈，得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－，故选A.‎ ‎(2)因为sinα＋cosα＝，‎ 所以(sinα＋cosα)2＝3.‎ 所以sin2α＋2sinαcosα＋2cos2α＝3.‎ 所以＝3.‎ 所以＝3.‎ 所以2tan2α－2tanα＋1＝0.所以tanα＝.‎ 答案：(1)A　(2)A 热点二 诱导公式的应用 ‎ 考向1　利用诱导公式求值 ‎【例3】　(1)已知sin＝，那么cosα＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}‎ C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}‎ ‎【解析】　(1)sin＝sin＝cosα＝.‎ ‎(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)C 考向2　巧用“角”间关系求值 ‎【例4】　(1)已知sin＝，则cos＝‎ ‎________.‎ ‎(2)已知tan＝，则tan＝________.‎ ‎【解析】　(1)∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝sin＝.‎ ‎(2)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝－tan ‎＝－tan＝－.‎ ‎【答案】　(1)　(2)－ ‎【总结反思】‎ ‎1．诱导公式用法的一般思路 ‎(1)化大角为小角．‎ ‎(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．‎ ‎2．常见的互余和互补的角 ‎(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．‎ ‎(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎(1)计算：＝________.‎ ‎(2)已知cos＝，则cos的值为________．‎ 解析：(1)原式＝＝－1.‎ ‎(2)cos＝cos ‎＝－cos＝－，即cos＝－.‎ 答案：(1)－1　(2)－ 热点三 sinα±cosα与sinαcosα的关系 ‎ ‎【例5】　已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.‎ ‎(1)求tanα的值；‎ ‎(2)把用tanα表示出来，并求其值．‎ ‎【解】　(1)解法1：联立方程 由①得cosα＝－sinα，‎ 将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.‎ ‎∵α是三角形内角，‎ ‎∴∴tanα＝－.‎ 解法2：∵sinα＋cosα＝，‎ ‎∴(sinα＋cosα)2＝2，即1＋2sinαcosα＝，‎ ‎∴2sinαcosα＝－，‎ ‎∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.‎ ‎∵sinαcosα＝－<0且0<α<π，‎ ‎∴sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.‎ ‎∴sinα－cosα＝.‎ 由得 ‎∴tanα＝－.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝.‎ ‎∵tanα＝－，∴＝ ‎＝＝－.‎ ‎【总结反思】‎ 求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα 之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用.‎ 已知－0，sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－.‎ 答案：－ ‎“asinθ＋bcosθ＝m”型化简、求值方法 已知asinθ＋bcosθ＝m(其中a，b，m为常数)，求sinθ，cosθ，tanθ等值时，有如下思路：‎ ‎(1)若a＝1，b＝±1，则利用以下三个关系式：(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2，可得asinθ－bcosθ的值，然后解方程组得结论．‎ ‎(2)直接解方程组得结论．‎ ‎(3)构造“对偶式”bsinθ－acosθ＝x，两式平方并相加求得x，然后解方程组得结论．‎ ‎(4)把等式平方，逆用cos2θ＋sin2θ＝1，化为cosθ，sinθ 的齐次式，利用“弦化切”，得tanθ，再求sinθ，cosθ.‎ ‎【例】　已知3sinα＋4cosα＝5，求tanα.‎ ‎【解】　解法1：由题意得3sinα＝5－4cosα，两边平方，得9sin2α＝25－40cosα＋16cos2α，则25cos2α－40cosα＋16＝0，解得cosα＝，则sinα＝，故tanα＝.‎ 解法2：把等式两边平方，整理得9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25(sin2α＋cos2α)，两边同时除以cos2α，整理得16tan2α－24tanα＋9＝0，解得tanα＝.‎ 解法3：设4sinα－3cosα＝x，则x2＋25＝(4sinα－3cosα)2＋(3sinα＋4cosα)2＝25，从而有x＝0，则tanα＝.‎ 解法4：因为3sinα＋4cosα＝5sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，所以sin(α＋φ)＝1，则α＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则sinα＝sin＝cosφ＝，cosα＝cos＝sinφ＝，故tanα＝.‎