2021版高考数学一轮复习第七章数列7-5

2021版高考数学一轮复习第七章数列7-5

- 1 - 7.5.3 数列建模问题 考点一 等差、等比数列简单的实际应用 1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在有 一个这样的细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6 秒钟 B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟 2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末 一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根 5 尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的 一端截下 1 尺,重 4 斤;在细的一端截下 1 尺,重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的 已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间 3 尺的重量为 ( ) A.6 斤 B.9 斤 C.9.5 斤 D.12 斤 3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 ,公差为 ,则这个多边形的边数 为________. 4.为了观看 2022 年的冬奥会,小明打算从 2018 年起,每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元的一年 期定期储蓄,若年利率为 p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定 期.2019 年 1 月 1 日小明去银行继续存款 a 元后,他的账户中一共有________元;到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元. 【解析】1.选 B.设需要 n 秒钟,则 1+21+22+…+2n-1≥100,所以 ≥100,所以 n≥7. 2.选 B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为{an},则 a1=4, a5=2, 由等差数列的性质得 a2+a4=a1+a5=2a3=6,所以 a3=3,所以中间 3 尺的重量为 a2+a3+a4 =3a3=9(斤). 3.由于凸 n 边形的内角和为(n-2)π,故 n+ × =(n-2)π.化简得 n2-25n+ 144=0.解得 n=9 或 n=16(舍去). 答案:9 - 2 - 4.依题意,2019 年 1 月 1 日存款 a 元后,账户中一共有 a(1+p)+a=(ap+2a)(元). 2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为 a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)=a· = [(1+p)5-(1+p)]= [(1+ p)5-1-p]. 答案:(ap+2a) [(1+p)5-1-p] 1.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的 结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 2.具体解题步骤用框图表示如下 考点二 数列的实际应用 【典例】某商店投入 81 万元经销某种纪念品,经销时间共 60 天,市场调研表明,该商店在经销 这一产品期间第 n 天的利润 an= (单位:万元,n∈N*).为了获得更多的利 润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第 n 天的利润率 bn= .例如,b3= . (1)求 b1,b2 的值. (2)求第 n 天的利润率 bn. - 3 - 【解题导思】 序号 题目拆解 (1)①an= an 以分段函数给出,注意变量范围 ②bn= , 求 b1,b2 的值 结合例子 b3= ,求 b1,b2 (2)求第 n 天的利润率 bn 结合 an= , bn= 求解,注意 bn 为分 段函数形式 【解析】(1)当 n=1 时,b1= ; 当 n=2 时,b2= . (2)当 1≤n≤20 时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1, 所以 bn= = . 当 21≤n≤60 时, - 4 - bn= = = = . 所以第 n 天的利润率 bn= 1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润 率. 【解析】当 1≤n≤20 时,bn= 递减,此时 bn 的最大值为 b1= ; 当 21≤n≤60 时,bn= = ≤ = 当且仅当 n= ,即 n=40 时,“=”成立 . 又因为 < ,所以当 n=40 时,(bn)max= . - 5 - 所以该商店在经销此纪念品期间,第 40 天的利润率最大,且该日的利润率为 . 2.若典例中条件不变,60 天的利润总和是多少? 【解析】当 1≤n≤20 时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,当 21≤n≤60 时,an= ,所以{an}的前 20 项是 常数列,后 40 项是以 为首项,以 为公差的等差数列,所以 S60=20+40× + × =182(万元). 所以 60 天的利润总和是 182 万元. 解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单 递推数列模型.基本特征如表: 数列模型 基 本 特 征 等差数列 均匀增加或者减少 等比数列 指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题 简单递推 数列 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为 20%,每年年底要拿出 a(常 数)作为下年度的开销,即数列{an}满足 an+1=1.2an-a (2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等 式(组)等,在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题 中不要忽视了这点. 为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则 淘汰一辆旧车,替换车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动 力型公交车 400 辆;计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上 一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n). (2)若该市计划 7 年内完成全部更换,求 a 的最小值. - 6 - 【解析】(1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量. 依题意,得{an}是首项为 128,公比为 1+50%= 的等比数列,{bn}是首项为 400,公差为 a 的等差 数列.所以{an}的前 n 项和 Sn= =256 , {bn}的前 n 项和 Tn=400n+ a. 所以经过 n 年,该市被更换的公交车总数为 S(n)=Sn+Tn=256 +400n+ a. (2)若计划 7 年内完成全部更换, 则 S(7)≥10 000, 所以 256 +400×7+ a≥10 000, 即 21a≥3 082,所以 a≥146 . 又 a∈N*,所以 a 的最小值为 147. 考点三 数学文化与数列 命 题 精 解 读 考什么:考查数列的递推关系,等差、等比数列的通项公式或前 n 项和 怎么考:以古今数学文化为载体的数列问题 新趋势:从中国古代数学名著,如《九章算术》《算法统宗》《律学新说》等世界数学 名著中挖掘素材,也可从古代诗歌、传说中进行提炼 学 解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列 - 7 - 霸 好 方 法 问题,是求 an 还是 Sn,特别是要弄清项数. 等差数列模型 【典例】《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分五 钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为:已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱, 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列, 问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,丙所得为 ( ) A. 钱 B. 钱 C. 钱 D.1 钱 【解析】选 D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列,设每人所得依次为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得 a=1,即丙所得为 1 钱. 等比数列模型 【典例】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下 一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 【解析】选 B.设塔的顶层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个首项为 x,公比为 2 的等比数列, 结合等比数列的求和公式有 =381,解得 x=3,即塔的顶层共有灯 3 盏. 如何建立该题的数学模型? 提示:建立等比数列模型,设顶层灯盏数 x 为数列首项,数列的公比 q=2,7 层塔的总灯数为等比 数列的前 7 项和. 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数 列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是 - 8 - 解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题还是最值问题,然后将经过数 学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论. 递推关系模型 【典例】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的数 列:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:从第 3 个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们 把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则 是斐波那契数列中的第________项. 【解析】(方法一:分析分子和式的通项,求和化简) 依题意得 a1=a2=1,an+2=an+1+an, an+1·an+2= +an·an+1, 所以 =an+1·an+2-an·an+1, 则 =a2 019a2 020-a2 018a2 019, =a2 018a2 019-a2 017a2 018, =a2 017a2 018-a2 016a2 017,…… =a2a3-a1a2,又 =a1a2, 因此 + + +…+ + =a2 020a2 019, 即 =a2 020, 故 是斐波那契数列中的第 2 020 项. (方法二:归纳法) = =2=a3, - 9 - = =3=a4, = =5=a5,猜测 = an+1.由此可知, =a2 020. 答案:2 020 1.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把 100 个面包 分给 5 个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问最小的 一份为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.由 100 个面包分给 5 个人,每个人所得成等差数列,可知中间一人得 20 块面包, 设较大的两份为 20+d,20+2d,较小的两份为 20-d,20-2d,由已知条件可得 (20+20+d+20+2d)=20-d+20-2d,解得 d= ,所以最小的一份为 20-2d=20- 2× = . 2.中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚 痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走 378 里 路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地, 请问第二天走了 ( ) A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 - 10 - 【思路分析】读懂题意,将古代实际问题转化为现代数学问题,本题相当于:已知等比数列{an} 中,公比 q= ,前 6 项和 S6=378,求 a2. 【解析】选 B.依题意,每天走的路程构成等比数列{an},且 n=6,公比 q= ,S6=378, 设等比数列{an}的首项为 a1, 依题意有 =378, 解得 a1=192. 所以 a2=192× =96.即第二天走了 96 里. 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今 有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形茭草束数,等价于层数)几 何?”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上 1 束,下一层 3 束,再下一层 6 束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中 三角垛底层茭草总束数为________. 【思路分析】阅读理解,将其转化为数列问题.本题实质是一个数列求和问题,为此要分析通项 的特点,根据通项特点选择求和方法. 【解析】设自上而下每一层茭草束数构造的数列为{an},则 a1=1,a2=1+2,a3= 1+2+3,…, 所以 an=1+2+…+n= = (n2+n), - 11 - 所以 Sn=1+3+6+…+ (n2+n) = [(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)] = [ n(n+1)(2n+1)+ n(n+1)]= n(n+1)(n+2). 由条件 n(n+1)(n+2)=680, 即有 n(n+1)(n+2)=15×16×17=680×6, 所以 n=15,所以 a15= =120. 即三角垛底层茭草总束数为 120. 答案:120 【数学经典简介】 1.《九章算术》:《九章算术》大约成书于公元 1 世纪,是中国古代第一部数学著作.《九章算 术》共收有 246 个与生产实践有联系的应用题,包括问、答和术三部分,并配有插图,分为方田、 粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.《九章算术》是世界上最早系统 叙述了分数运算的著作,其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,“方程”章还在世界数 学史上首次阐述了负数及其加减运算法则. 2.《算法统宗》:《算法统宗》是由明代数学家程大位(公元 1533—公元 1606 年)经过数十年 的努力,于公元 1592 年 60 岁时写成的数学巨著.《算法统宗》是一部应用数学书,以珠算为主 要的计算工具,共 17 卷,有 595 个应用题. 3.《四元玉鉴》:《四元玉鉴》成书于 1303 年由我国元代数学家朱世杰所著.全书共 3 卷,24 门,288 问,主要论述高次方程组的解法、高阶等差级数求和以及高次内插法等内容.注:中华文 明源远流长,发展进程波澜壮阔,中国古代为世界数学做出了杰出的贡献.为了弘扬中华优秀 传统文化,特在[数学经典简介]这一栏目中,简单介绍一些数学名著或数学家.