【数学】2018届一轮复习人教A版1-2命题及其关系充分条件与必要条件学案
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲展示► 1.理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
考点1 命题及其相互关系
1.命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断________的陈述句
特点
(1)能判断真假；(2)陈述句
分类
________命题、________命题
答案：真假 真 假
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于________，原命题的否命题等价于________．在四种形式的命题中真命题的个数只能是________．
答案：(1)若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
(2)逆否命题 逆命题 0,2,4
(1)[教材习题改编]命题“若m＜0，则方程x2＋x－2m＝0有实根”的否命题是_______________________________________________．
答案：若m≥0，则方程x2＋x－2m＝0无实根
(2)[教材习题改编]“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________．
答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
命题中的易错点：对条件、结论的否定不当．
“单调函数不是周期函数”的逆否命题是__________________
_________________________________________________________.
答案：周期函数不是单调函数
解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．
[典题1] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )
A．若a>b，则a－1≤b－1
B．若a>b，则a－1
b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
(2)[2017·宁夏银川模拟]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
[答案] D
[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
(3)已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”
，则下列结论正确的是( )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
[答案] D
[解析] 由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，
∴其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充分条件、必要条件的判定
充要条件
答案：充分 必要 充分不必要 真子集 必要不充分 真子集 充要 A＝B 既不充分也不必要 包含
1.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．
“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．
答案：必要不充分
解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．
2．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．
“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．
答案：必要不充分
解析：由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．
1.充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法．
(1)[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．
答案：充分不必要
解析：若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(2)[2015·安徽卷改编]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．
答案：必要不充分
解析：因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但pq，所以p是q成立的必要不充分条件．
2．充要条件的两个结论：传递性；等价性．
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．
答案：充分不必要
解析：根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为qp，rq，则rp，所以p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的________条件
答案：充分不必要
解析：因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以綈q是綈p的充分不必要条件．
[典题2] (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] |x－2|<1⇔10⇔x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．
(2)若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件，
∴綈q是p的必要不充分条件．
∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.
(3)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是( )
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．2a>2b
[答案] A
[解析] 因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1⇒/ a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．
[点石成金] 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.
1.[2017·山东淄博模拟]“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析： “a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．
2．[2017·河北武邑中学高三上期中]设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若“(a－b)a2≥0”，则“a≥b”不成立，故“(a－b)a2≥0”不是“a≥b”的充分条件；若“a≥b”，则“(a－b)a2≥0”成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件，故选B.
考点3 充分条件、必要条件的应用
[典题3] (1)[2017·江西南昌模拟]已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案] B
[解析] 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，
又因为p是q的充分不必要条件，
所以有解得m≥9.
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[答案] [0,3]
[解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[题点发散1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[题点发散2] 本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且SP.
∴[－2,10][1－m,1＋m]，
∴或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
[点石成金] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验.
1.已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
答案：A
解析：解法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
解法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C；同理，取a＝－4，排除D.故选A.
2．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
答案：D
解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β Dα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
3．[2015·重庆卷]“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵ x＞1⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴ x＞1是log(x＋2)＜0的充分而不必要条件．
4．[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，故选A.
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根据充要条件求参数取值范围的方法
1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．
2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．
[典例] 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[答案] [9，＋∞)
[解析] 解法一：由≤2，得
－2≤x≤10，
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，
得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件，∴BA，
∴且不能同时取得等号，
解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
解法二：∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件，
即p是q的充分而不必要条件．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得
1－m≤x≤1＋m(m>0)．
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分而不必要条件知NM，
∴且不能同时取等号，解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
方法点睛
