【数学】2018届一轮复习人教A版1-2命题及其关系充分条件与必要条件学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版1-2命题及其关系充分条件与必要条件学案

‎§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲展示► 1.理解命题的概念.‎ ‎2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.‎ ‎3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.‎ 考点1 命题及其相互关系 ‎1.命题 ‎ 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断________的陈述句 特点 ‎(1)能判断真假;(2)陈述句 分类 ‎________命题、________命题 答案:真假 真 假 ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系:‎ ‎(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于________,原命题的否命题等价于________.在四种形式的命题中真命题的个数只能是________.‎ 答案:(1)若q,则p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p ‎(2)逆否命题 逆命题 0,2,4‎ ‎(1)[教材习题改编]命题“若m<0,则方程x2+x-‎2m=0有实根”的否命题是_______________________________________________.‎ 答案:若m≥0,则方程x2+x-‎2m=0无实根 ‎(2)[教材习题改编]“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________.‎ 答案:若ab不是偶数,则a,b不都是偶数 命题中的易错点:对条件、结论的否定不当.‎ ‎“单调函数不是周期函数”的逆否命题是__________________‎ ‎_________________________________________________________.‎ 答案:周期函数不是单调函数 解析:原命题可改写为“若函数是单调函数,则函数不是周期函数”,故其逆否命题是“若函数是周期函数,则函数不是单调函数”,简化为“周期函数不是单调函数”.‎ ‎[典题1] (1)命题“若a>b,则a-1>b-‎1”‎的否命题是(  )‎ A.若a>b,则a-1≤b-1‎ B.若a>b,则a-1b,则a-1>b-‎1”‎的否命题应为“若a≤b,则a-1≤b-‎1”‎.‎ ‎(2)[2017·宁夏银川模拟]命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=‎0”‎的逆否命题是(  )‎ A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0‎ B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0‎ C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0‎ D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0‎ ‎[答案] D ‎[解析] 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.‎ ‎(3)已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤‎‎1”‎ ‎,则下列结论正确的是(  )‎ A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>‎1”‎,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 ‎[答案] D ‎[解析] 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.‎ ‎∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤‎1”‎是真命题,‎ ‎∴其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.‎ ‎[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:‎ ‎(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.‎ ‎3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.考点2 充分条件、必要条件的判定 充要条件 答案:充分 必要 充分不必要 真子集 必要不充分 真子集 充要 A=B 既不充分也不必要 包含 ‎ ‎1.充要条件的易混点:混淆条件的充分性和必要性.‎ ‎“x(x-1)=‎0”‎是“x=‎1”‎的________条件.‎ 答案:必要不充分 解析:x(x-1)=0⇒x=0或x=1;反之,由x=1可得x(x-1)=0.故“x(x-1)=‎0”‎是“x=1”的必要不充分条件.‎ ‎2.充要条件的易错点:否定形式下充分条件、必要条件判断错误.‎ ‎“a≠b”是“a2≠b‎2”‎的________条件.‎ 答案:必要不充分 解析:由a≠b不能得到a2≠b2,但由a2≠b2一定得出a≠b,故为必要不充分条件.‎ ‎1.充分、必要条件的判断方法:定义判断法;集合判断法.‎ ‎(1)[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.‎ 答案:充分不必要 解析:若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定为菱形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.‎ ‎(2)[2015·安徽卷改编]设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的________条件.‎ 答案:必要不充分 解析:因为p:x<3,q:-1<x<3,所以q⇒p,但pq,所以p是q成立的必要不充分条件.‎ ‎2.充要条件的两个结论:传递性;等价性.‎ ‎(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的________条件.‎ 答案:充分不必要 解析:根据充分条件的概念可知,p⇒q,q⇒r,则p⇒r.又因为qp,rq,则rp,所以p是r的充分不必要条件.‎ ‎(2)若p是q的充分不必要条件,则綈q是綈p的________条件 答案:充分不必要 解析:因为原命题和它的逆否命题是等价命题,所以綈q是綈p的充分不必要条件.‎ ‎[典题2] (1)设x∈R,则“|x-2|<‎1”‎是“x2+x-2>‎0”‎的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] A ‎[解析] |x-2|<1⇔10⇔x>1或x<-2.‎ 由于{x|11或x<-2}的真子集,‎ 所以“|x-2|<‎1”‎是“x2+x-2>‎0”‎的充分不必要条件.‎ ‎(2)若p是綈q的充分不必要条件,则綈p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[答案] B ‎[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件,‎ ‎∴綈q是p的必要不充分条件.‎ ‎∴綈p是q的必要不充分条件,故选B.‎ ‎(3)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的必要不充分的条件是(  )‎ A.a>b-1 B.a>b+1‎ C.|a|>|b| D.‎2a>2b ‎[答案] A ‎[解析] 因为a>b⇒a>b-1,但a>b-1⇒/ a>b,故A是a>b的必要不充分条件;B是a>b的充分不必要条件;C是a>b的既不充分也不必要条件;D是a>b的充要条件.‎ ‎[点石成金] 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,常用的是逆否等价法.如“xy≠‎1”‎是“x≠1或y≠‎1”‎的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=‎1”‎是“xy=‎1”‎的某种条件.‎ ‎①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;‎ ‎②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;‎ ‎③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.‎ ‎1.[2017·山东淄博模拟]“a=‎2”‎是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)上为增函数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析: “a=2”⇒“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)上为增函数”,但反之不成立.‎ ‎2.[2017·河北武邑中学高三上期中]设a,b∈R,则“(a-b)a2≥‎0”‎是“a≥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:若“(a-b)a2≥‎0”‎,则“a≥b”不成立,故“(a-b)a2≥‎0”‎不是“a≥b”的充分条件;若“a≥b”,则“(a-b)a2≥‎0”‎成立,故“(a-b)a2≥‎0”‎是“a≥b”的必要条件,故选B.‎ 考点3 充分条件、必要条件的应用 ‎[典题3] (1)[2017·江西南昌模拟]已知条件p:|x-4|≤6;条件q:(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(  )‎ A.[21,+∞) B.[9,+∞)‎ C.[19,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎[答案] B ‎[解析] 条件p:-2≤x≤10,条件q:1-m≤x≤m+1,‎ 又因为p是q的充分不必要条件,‎ 所以有解得m≥9.‎ ‎(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________.‎ ‎[答案] [0,3]‎ ‎[解析] 由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,‎ ‎∴P={x|-2≤x≤10},‎ 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.‎ 则∴0≤m≤3.‎ 所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].‎ ‎[题点发散1] 本例(2)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.‎ 解:若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎∴∴ 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.‎ ‎[题点发散2] 本例(2)条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.‎ 解:由例题知P={x|-2≤x≤10},‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件,‎ ‎∴P⇒S且SP.‎ ‎∴[-2,10][1-m,1+m],‎ ‎∴或 ‎∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).‎ ‎[点石成金] 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎1.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,+∞) B.(-∞,1]‎ C.[-3,+∞) D.(-∞,-3)‎ 答案:A 解析:解法一:设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a},因为q是p的充分不必要条件,所以QP,因此a≥1.‎ 解法二:令a=-3,则q:x>-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B,C;同理,取a=-4,排除D.故选A.‎ ‎2.已知不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(  )‎ A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0‎ B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0‎ C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0‎ D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0‎ 答案:D 解析:根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤‎0”‎.故选D. ‎ ‎2.[2015·北京卷]设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β Dα∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.‎ ‎3.[2015·重庆卷]“x>‎1”‎是“log(x+2)<‎0”‎的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:∵ x>1⇒log(x+2)<0,log(x+2)<0⇒x+2>1⇒x>-1,∴ x>1是log(x+2)<0的充分而不必要条件.‎ ‎4.[2016·四川卷]设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的(  )‎ A.必要不充分条件 ‎ B.充分不必要条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:取x=y=0满足条件p,但不满足条件q,反之,对于任意的x,y满足条件q,显然必满足条件p,所以p是q的必要不充分条件,故选A.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 根据充要条件求参数取值范围的方法 ‎1.解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.‎ ‎2.在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解.‎ ‎[典例] 已知p:≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.‎ ‎[答案] [9,+∞)‎ ‎[解析] 解法一:由≤2,得 ‎-2≤x≤10,‎ ‎∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},‎ 设A={x|x>10或x<-2}.‎ 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),‎ 得1-m≤x≤1+m(m>0),‎ ‎∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},‎ 设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.‎ ‎∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,‎ ‎∴且不能同时取得等号,‎ 解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).‎ 解法二:∵綈p是綈q的必要而不充分条件,‎ ‎∴q是p的必要而不充分条件,‎ 即p是q的充分而不必要条件.‎ 由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得 ‎1-m≤x≤1+m(m>0).‎ ‎∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},‎ 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},‎ 又由≤2,得-2≤x≤10,‎ ‎∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10},‎ 设N={x|-2≤x≤10}.‎ 由p是q的充分而不必要条件知NM,‎ ‎∴且不能同时取等号,解得m≥9.‎ ‎∴实数m的取值范围为[9,+∞).‎ 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.‎ 方法点睛
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