2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科) (1)

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文档介绍

2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科) (1)

‎2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设U=R,已知集合A={x|x≥1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎2.(5分)若复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=1﹣2i,则复数在复平面内对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.(5分)已知向量=(m﹣1,1),=(m,﹣2),则“m=2”是“⊥”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.(5分)若,则sin2α的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎6.(5分)已知曲线﹣=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为(  )‎ A. B.x2﹣y2=1 C. D.x2﹣y2=2‎ ‎7.(5分)我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.(5分)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架,一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)已知函数,若函数F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3,…,xn,且x1<x2<x3<…<xn,则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=(  )‎ A. B.445π C.455π D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7‎ 的系数之和等于   .‎ ‎14.(5分)设x,y满足约束条件,且x,y∈Z,则z=3x+5y的最大值为   .‎ ‎15.(5分)设f(x)=,且f(f(a))=2,则满足条件的a的值有   个.‎ ‎16.(5分)一个棱长为5的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c.‎ ‎18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.‎ ‎19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.‎ ‎(Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关?‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:‎ ‎(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望和方差.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率,其“准圆”的方程为x2+y2=4.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.‎ ‎(1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2;‎ ‎(2)求证:线段MN的长为定值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex.‎ ‎(Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围.‎ ‎ ‎ 选修4-4:极坐标与参数方程 ‎22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0.‎ ‎(Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}.‎ ‎(I)求实数m、n的值;‎ ‎(II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2018年河南省开封市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设U=R,已知集合A={x|x≥1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎【解答】解:∵U=R,集合A={x|x≥1}=[1,+∞),‎ B={x|x>a}=(a,+∞),‎ ‎∴∁UA=(﹣∞,1),‎ 又(∁UA)∪B=R,‎ ‎∴实数a的取值范围是(﹣∞,1).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)若复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=1﹣2i,则复数在复平面内对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵z1=1﹣2i,且复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,‎ ‎∴z2=﹣1﹣2i,‎ 则=,‎ ‎∴复数在复平面内对应的点的坐标为(),在第四象限.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知向量=(m﹣1,1),=(m,﹣2),则“m=2”是“⊥”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解答】解:∵=(m﹣1,1),=(m,﹣2),‎ ‎∴⇔m(m﹣1)﹣2=0.‎ 由m(m﹣1)﹣2=0,解得m=﹣1或m=2.‎ ‎∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若,则sin2α的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:若,即2(cos2α﹣sin2α)=cosα﹣sinα,‎ 则2(cosα+sinα)=,即cosα+sinα=,∴1+2sinαcosα=,即sin2α=2sinαcosα=﹣,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q≠1,∵9S3=S6,a2=1,‎ ‎∴=,a1q=1.‎ 则q=2,a1=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知曲线﹣=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为(  )‎ A. B.x2﹣y2=1 C. D.x2﹣y2=2‎ ‎【解答】解:根据题意,若曲线﹣=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,则a2=b2,‎ c==a,即焦点的坐标为(±a,0);‎ 其渐近线方程为x±y=0,‎ 若焦点到渐近线的距离为,则有=a=,‎ 则双曲线的标准方程为﹣=1,即x2﹣y2=2;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解答】解:由题意可得:由图可知第一次剩下,第二次剩下,…由此得出第7次剩下,‎ 可得①为i≤7?‎ ‎②s=‎ ‎③i=i+1‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C、D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球不等,所以排除A;B正确;‎ 故选B ‎ ‎ ‎9.(5分)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架,一个建筑工人欲从 A处沿脚手架攀登至 B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据题意,最近路线,那就是不能走回头路,不能走重复的路,‎ ‎∴一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次,‎ ‎∴最近的行走路线共有:n=A=5040,‎ ‎∵不能连续向上,∴先把不向上的次数排列起来,也就是2次向右和2次向前全排列,‎ 接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中,5个位置排三个元素,也就是A53,‎ 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种,‎ ‎∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p===.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:当x>0时,y=xlnx,y′=1+lnx,‎ 即0<x<时,函数y单调递减,当x>,函数y单调递增,‎ 因为函数y为偶函数,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎11.(5分)抛物线M:y2=4x的准线与x轴交于点A,点F为焦点,若抛物线M上一点P满足PA⊥PF,则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为(参考数据:≈2.24)(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意,A(﹣1,0),F(1,0),‎ 点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上.‎ 设点P的横坐标为m,联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0,‎ ‎∵m>0,∴m=﹣2+,‎ ‎∴点P的横坐标为﹣2+,‎ ‎∴|PF|=m+1=﹣1+,‎ ‎∴圆F的方程为(x﹣1)2+y2=(﹣1)2,‎ 令x=0,可得y=±,‎ ‎∴|EF|=2=2=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知函数,若函数F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3,…,xn,且x1<x2<x3<…<xn,则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=(  )‎ A. B.445π C.455π D.‎ ‎【解答】解:函数,‎ 令2x﹣=+kπ得x=+,k∈Z,即f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.‎ ‎∵f(x)的最小正周期为T=π,0≤x≤,‎ 当k=30时,可得x=,‎ ‎∴f(x)在[0,]上有30条对称轴,‎ 根据正弦函数的性质可知:函数与y=3的交点x1,x2关于对称,x2,x3关于对称,…,‎ 即x1+x2=×2,x2+x3=×2,…,xn﹣1+xn=2×()‎ 将以上各式相加得:x1+2x2+2x3+…+2x28+x29=2(++…+)=(2+5+8+…+89)×=455π 则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=(x1+x2)+(x2+x3)+x3+…+xn﹣1+(xn﹣1+xn)=2()=455π,‎ 故选:C ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)(x﹣y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 .‎ ‎【解答】解:因为(x﹣y)10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3(﹣1)3=﹣C103x7y3,‎ 含x3y7的项为C107x10﹣7y7(﹣1)7=﹣C107x3y7.‎ 由C103=C107=120知,x7y3与x3y7的系数之和为﹣240.‎ 故答案为﹣240.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)设x,y满足约束条件,且x,y∈Z,则z=3x+5y的最大值为 13 .‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 作出直线3x+5y=0,‎ ‎∵x,y∈Z,‎ ‎∴平移直线3x+5y=0至(1,2)时,目标函数z=3x+5y的最大值为13.‎ 故答案为:13.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)设f(x)=,且f(f(a))=2,则满足条件的a的值有 4 个.‎ ‎【解答】解:f(x)=,且f(f(a))=2‎ ‎∴当a<2时,f(a)=2ea﹣1,‎ 若2ea﹣1<2,则f(f(a))=﹣1=2,解得a=1﹣ln2;‎ 若2ea﹣1≥2,则f(f(a))==2,解得a=ln+1,成立;‎ 当a≥2时,f(a)=log3(a2﹣1),‎ 若log3(a2﹣1)<2,则f(f(a))=﹣1=2,解得a=2,或a=﹣2,与a≥2不符,‎ 若log3(a2﹣1)≥2,则f(f(a))=log3[(log3(a2﹣1)]=2,解得a2=310+1,‎ ‎∴a=或a=﹣与a≥2不符.‎ 由此得到满足条件的a的值有1﹣ln2和ln+1和2和,共4个.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)一个棱长为5的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为  .‎ ‎【解答】解:∵在此纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,‎ ‎∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球,‎ 设正四面体的棱长为a,则内切球的半径为a,外接球的半径是a,‎ ‎∴纸盒的内切球半径是=,‎ 设小正四面体的棱长是x,则=x,解得x=,‎ ‎∴小正四面体的棱长的最大值为,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△‎ ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,‎ 且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ 则:2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0,‎ 整理得:2cosBsin(A+C)=﹣sinB,‎ 由于:0<B<π,‎ 则:sinB≠0,‎ 解得:,‎ 所以:B=.‎ ‎(Ⅱ)点D在AC边上且BD⊥AC,‎ 在直角△BCD中,若a=3,BD=,‎ 解得:,‎ 解得:,‎ 则:,,‎ 所以:cos∠ABD===,‎ 则:在Rt△ABD中,,‎ ‎=.‎ 故:c=5.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵AD=2AB,E为线段AD的中点,‎ ‎∴AB=AE,‎ 取BE中点O,连接PO,则PO⊥BE,‎ 又平面PEB⊥平面BCDE,平面PEB∩平面BCDE=BE,‎ ‎∴PO⊥平面BCDE,则PO⊥EC,‎ 在矩形ABCD中,∴AD=2AB,E为AD的中点,‎ ‎∴BE⊥EC,则EC⊥平面PBE,‎ ‎∴EC⊥PB,‎ 又PB⊥PE,且PE∩EC=E,‎ ‎∴PB⊥平面PEC,而PB⊂平面PBC,‎ ‎∴平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)解:以OB所在直线为x轴,以平行于EC所在直线为y轴,以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎∵PB=PE=2,则B(,0,0),E(﹣,0,0),P(0,0,),D(﹣2,,0),‎ ‎∴,,=(,,﹣).‎ 设平面PED的一个法向量为,‎ 由,令z=﹣1,则,‎ 又平面PBE的一个法向量为,‎ 则cos<>==.‎ ‎∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.‎ ‎(Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关?‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:‎ ‎(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望和方差.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎5.024‎ ‎10.828‎ ‎(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下:‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2=≈11.111>6.635,‎ 故有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关.‎ ‎(Ⅱ)(1)每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为,且X的取值可以是0,1,2,3.‎ 其中P(X=0)=()3=,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)==,‎ X的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)∵X~B(3,),‎ ‎∴E(X)=,‎ D(X)=3×=.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率 ‎,其“准圆”的方程为x2+y2=4.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.‎ ‎(1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2;‎ ‎(2)求证:线段MN的长为定值.‎ ‎【解答】解:(I)由准圆方程为x2+y2=4,则a2+b2=4,椭圆的离心率e===,‎ 解得:a=,b=1,‎ ‎∴椭圆的标准方程:;‎ ‎(Ⅱ)证明:(1)∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),‎ 设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2,‎ 联立,整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0.‎ ‎∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9(1+3k2)=0,解得k=±1,‎ ‎∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2.∵=1,=﹣1,‎ ‎∴•=﹣1,则l1⊥l2.‎ ‎(2)①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,‎ 则l1:x=±,‎ 当l1:x=时,l1与准圆交于点(,1)(,﹣1),‎ 此时l2为y=1(或y=﹣1),显然直线l1,l2垂直;‎ 同理可证当l1:x=时,直线l1,l2垂直.‎ ‎②当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4.‎ 设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为y=t(x﹣x0)+y0,‎ ‎∴由得 (1+3t2)x2+6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0)2﹣3=0.‎ 由△=0化简整理得 (3﹣x02)t2+2x0y0t+1﹣y02=0,‎ ‎∵x02+y02=4.,∴有(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0.‎ 设l1,l2的斜率分别为t1,t2,‎ ‎∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0,‎ ‎∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直.‎ 综合①②知:∵l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直.‎ ‎∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径,|MN|=4,‎ ‎∴线段MN的长为定值.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex.‎ ‎(Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=(t﹣1)xex,得f′(x)=(t﹣1)(x+1)ex,‎ 若t>1,则x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,x>﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,‎ 若t<1,则x<﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,x>﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ 故t>1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增,‎ t<1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,+∞)递减;‎ ‎(2)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,‎ 即(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立,‎ 设h(x)=(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex,‎ h(0)=0,h′(x)=(t﹣1)(x+1)ex﹣t+ex,h′(0)=0,‎ h″(x)=ex[(t﹣1)x+2t﹣1],‎ t=1时,h″(x)=ex≥0,h′(x)在[0,+∞)递增,‎ ‎∴h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增,‎ 故h(x)≥h(0)=0,显然不成立,‎ ‎∴t≠1,则h″(x)=ex(x+)(t﹣1),‎ 令h″(x)=0,则x=﹣,‎ ‎①当﹣≤0即t<或t>1时,‎ 若t≤,则h″(x)在[0,+∞)为负,h′(x)递减,‎ 故有h′(x)≤h′(0)=0,h(x)在[0,+∞)递减,‎ ‎∴h(x)≤h(0)=0成立,‎ 若t≥1,则h″(x)在[0,+∞)上为正,h′(x)递增,‎ 故有h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增,‎ 故h(x)≥h(0)=0,不成立,‎ ‎②﹣≥0即≤t≤1时,‎ h″(x)在[0,﹣)内有h′(x)≥h′(0)=0,h(x)递增,‎ 故h(x)在[0,﹣)内有h(x)≥h(0)=0不成立,‎ 综上,t的范围是(﹣∞,].‎ ‎ ‎ 选修4-4:极坐标与参数方程 ‎22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0.‎ ‎(Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)直线l:3x﹣y﹣6=0,转化为直角坐标方程为:(t为参数),‎ 曲线C:ρ﹣4sinθ=0.转化为直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=0.‎ ‎(Ⅱ)首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为:x2+(y﹣2)2=4,‎ 所以经过圆心,且倾斜角为30°的直线方程为:,‎ 则:,‎ 解得:,‎ 则:=,‎ 则:|AP|的最大值为:,‎ ‎|AP|的最小值为:.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}.‎ ‎(I)求实数m、n的值;‎ ‎(II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵|x+1|+|2x﹣1|≤3,‎ ‎∴或或,‎ 解得:﹣1≤x≤1,‎ 故m=﹣1,n=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=2,‎ 则++‎ ‎=(++)(a+b+c)‎ ‎=[1+1+1+(+)+(+)+(+)]‎ ‎≥+(2+2+2)‎ ‎=+3=,‎ 当且仅当a=b=c=时“=”成立.‎ ‎ ‎
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