2019届二轮复习解题技巧第2讲　圆锥曲线课件（55张）（全国通用）

2019届二轮复习解题技巧第2讲　圆锥曲线课件（55张）（全国通用）

第 2 讲　圆锥曲线 专题 五 　 解析 几何 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质 ( 特别是离心率 ). 2 . 以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系 ( 弦长、中点等 ). 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 圆锥曲线的定义 (1) 椭圆： | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a (2 a >| F 1 F 2 |). (2) 双曲线： || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (2 a <| F 1 F 2 |). (3) 抛物线： | PF | ＝ | PM | ，点 F 不在直线 l 上， PM ⊥ l 于点 M . 2. 求圆锥曲线标准方程 “ 先定型，后计算 ” 所谓 “ 定型 ” ，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓 “ 计算 ” ，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2 ， b 2 ， p 的值 . 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 解析 答案 √ 由 ①② 解得 b 2 ＝ 2. 解答 (2)(2018· 龙岩质检 ) 已知以圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4 的圆心为焦点的抛物线 C 1 与圆 C 在第一象限交于 A 点， B 点是抛物线 C 2 ： x 2 ＝ 8 y 上任意一点， BM 与直线 y ＝－ 2 垂直，垂足为 M ，则 | BM | － | AB | 的最大值为 A.1 B.2 C. － 1 D.8 解析 答案 √ 解析 　 因为圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4 的圆心为 C (1,0) ， 所以可得以 C (1,0) 为焦点的抛物线方程为 y 2 ＝ 4 x ， 抛物线 C 2 ： x 2 ＝ 8 y 的焦点为 F (0,2) ， 准线方程为 y ＝－ 2 ， 即有 | BM | － | AB | ＝ | BF | － | AB | ≤ | AF | ＝ 1 ， 当且仅当 A ， B ， F ( A 在 B ， F 之间 ) 三点共线时，可得最大值 1. (1) 准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 . (2) 求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定 . 思维升华 解析 答案 √ 解析　 ∵ 点 (3,4) 在以 | F 1 F 2 | 为直径的圆上， ∴ c ＝ 5 ，可得 a 2 ＋ b 2 ＝ 25 . ① ①② 联立，解得 a ＝ 3 且 b ＝ 4 ， 解析 答案 (2) 如图，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ， B ，交其准线于点 C ，若 | BC | ＝ 2| BF | ，且 | AF | ＝ 3 ，则此抛物线方程为 A. y 2 ＝ 9 x B. y 2 ＝ 6 x C. y 2 ＝ 3 x D. y 2 ＝ x √ 解析　 如图分别过点 A ， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E ， D ， 设 准线交 x 轴于点 G . 在 Rt △ ACE 中， 因此抛物线方程为 y 2 ＝ 3 x ，故选 C. 热点二　圆锥曲线的几何性质 1. 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系 解析 答案 √ 解析 　 设 | F 1 B | ＝ k ( k >0) ， 依题意可得 | AF 1 | ＝ 3 k ， | AB | ＝ 4 k ， ∴ | AF 2 | ＝ 2 a － 3 k ， | BF 2 | ＝ 2 a － k . 在 △ ABF 2 中，由余弦定理可得 | AB | 2 ＝ | AF 2 | 2 ＋ | BF 2 | 2 － 2| AF 2 || BF 2 |cos ∠ AF 2 B ， 化简可得 ( a ＋ k )( a － 3 k ) ＝ 0 ， 而 a ＋ k >0 ，故 a － 3 k ＝ 0 ， a ＝ 3 k ， ∴ | AF 2 | ＝ | AF 1 | ＝ 3 k ， | BF 2 | ＝ 5 k ， ∴ | BF 2 | 2 ＝ | AF 2 | 2 ＋ | AB | 2 ， ∴ AF 1 ⊥ AF 2 ， ∴△ AF 1 F 2 是等腰直角三角形 . 解析 答案 √ (1) 明确圆锥曲线中 a ， b ， c ， e 各量之间的关系是求解问题的关键 . (2) 在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c ， a ， b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 . 思维升华 解析 答案 √ 解析　 如图，作 PB ⊥ x 轴于点 B . 由题意可设 | F 1 F 2 | ＝ | PF 2 | ＝ 2 ，则 c ＝ 1 ， 由 ∠ F 1 F 2 P ＝ 120° ， 故 | AB | ＝ a ＋ 1 ＋ 1 ＝ a ＋ 2 ， 解得 a ＝ 4 ， 解析 答案 √ 整理可得 c 4 － 9 a 2 c 2 ＋ 12 a 3 c － 4 a 4 ＝ 0 ， 即 e 4 － 9 e 2 ＋ 12 e － 4 ＝ 0 ， 分解因式得 ( e － 1)( e － 2)( e 2 ＋ 3 e － 2) ＝ 0. 又双曲线的离心率 e >1 ， ∴ c 2 － 3 ac ＋ 2 a 2 ＝ 0 ， 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1) 代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x ， y 的方程组，消去 y ( 或 x ) 得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 . (2) 几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数 . 热点三　直线与圆锥曲线 解　 由题意可知，直线 AB 的方程为 x ＝－ c ， 解答 即 a 2 ＝ 4 b 2 ， 解答 解　 设 F 1 ( － c, 0) ，则直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋ c ， 得 ( a 2 ＋ b 2 ) x 2 ＋ 2 a 2 cx ＋ a 2 c 2 － a 2 b 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 4 a 4 c 2 － 4 a 2 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 － b 2 ) ＝ 8 a 2 b 4 . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用 “ 点差法 ” 求解 . 思维升华 跟踪演练 3 　 如图，过抛物线 M ： y ＝ x 2 上一点 A ( 点 A 不与原点 O 重合 ) 作抛物线 M 的切线 AB 交 y 轴于点 B ，点 C 是抛物线 M 上异于点 A 的点，设 G 为 △ ABC 的重心 ( 三条中线的交点 ) ，直线 CG 交 y 轴于点 D . 设点 A ( x 0 ， )( x 0 ≠ 0). (1) 求直线 AB 的方程； 解答 解　 因为 y ′ ＝ 2 x ， 所以直线 AB 的斜率 k ＝ y ′ ＝ 2 x 0 . 解答 设 C ( x 1 ， y 1 ) ， G ( x 2 ， y 2 ) ， 因为 G 为 △ ABC 的重心，所以 y 1 ＝ 3 y 2 . 真题押题精练 真题体验 解析 2 答案 ∴ 1 ＋ m ＝ 3 ，解得 m ＝ 2. 解析 2 答案 圆的圆心为 (2,0) ，半径为 2 ， 3.(2017· 全国 Ⅱ 改编 ) 过抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点 F ，且斜率 为 的 直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上方 ) ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为 ________. 解析 答案 解析　 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F (1,0) ，准线方程为 x ＝－ 1. ∴△ MNF 是边长为 4 的等边三角形 . 4.(2017· 山东 ) 在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 ( a >0 ， b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p >0) 交于 A ， B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________. 解析 答案 解析 　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 得 a 2 y 2 － 2 pb 2 y ＋ a 2 b 2 ＝ 0 ， 又 ∵ | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ， 押题预测 解析 押题依据 押题依据　 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点 . 答案 √ 押题依据 　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注 . 解答 押题依据 解答 (2) 过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，若 △ AOB 的面积 为 ， 求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程 . 解 　 由 (1) 知 F 1 ( － 1,0) ，设直线 l 的方程为 x ＝ ty － 1 ， 显然 Δ >0 恒成立，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 化简得 18 t 4 － t 2 － 17 ＝ 0 ， 即 (18 t 2 ＋ 17)( t 2 － 1) ＝ 0 ，