2018-2019学年浙江省“温州十校联合体”高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省“温州十校联合体”高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省“温州十校联合体”高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 根据特殊角的三角函数值，可知.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.‎ ‎2．已知函数，则的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据的范围，求得的范围，由此求得的值域.‎ ‎【详解】‎ 由于，，所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查具体函数值域的求法，属于基础题.‎ ‎3．为了得到的图象，只需将的图象（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 ‎【答案】A ‎【解析】利用，可知向左平移个长度单位.‎ ‎【详解】‎ 由于可化简为，故只需将向左平移个长度单位得到，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.在平移变换的过程中，要注意一个是“左加右减”，另一个是要注意的系数的影响.‎ ‎4．函数的部分图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由奇偶性排除，由特殊点排除，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以是偶函数，图象关于轴对称，‎ 可排除选项；‎ 取，则，可排除，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎5．已知，则（ ）‎ A．7 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式化简题目所求表达式，然后分子分母同时除以，转化为的式子，再将代入，求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，原式，分子分母同时除以得.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数诱导公式，考查利用齐次方程三角函数式的值，属于基础题.对于或者的化简，要用到诱导公式，口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.奇变的意思是若为奇数，化简时函数名称要改变；若为偶数，化简时函数名称不用改变.符号是将看成锐角时，所在的象限，原函数的正负.‎ ‎6．在中，，，，则在方向上的投影是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将转化为，将两边平方，证得，在直角三角形中，求得夹角的余弦值，以及 ，代入公式求得题目所求在 方向上的投影.‎ ‎【详解】‎ ‎，两边平方并化简得，即，故三角形为直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题.‎ ‎7．若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数，则整数的值是（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】出现三次最大值，即为两个周期，由此得到.根据函数在上是单调函数，得到.解两个关于的不等式，由此求得的取值范围，进而确定整数的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数“在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3”，即为两个周期，由此得到，即.根据函数在上是单调函数，由于函数是奇函数，图像关于原点对称，即函数在上是单调函数，故，即.由得，解得.由于为整数，故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的周期性与最大值，考查三角函数的单调性，属于中档题.‎ ‎8．设定义在上的函数，对于给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”.关于函数的“2界函数”，则下列等式不成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得函数的“界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令，解得或，根据“界函数”的定义，有.所以，，故A选项成立.，，故B选项不成立.，，故C选项成立.，，故D选项成立.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于，或者函数值小于或等于，也就是先要求得函数值等于时对应的值，由此写出分段函数“界函数”.‎ ‎9．已知函数在上有两个不同的零点，则的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二次函数零点的分布，列出关于的不等式组，将分别看作，画出不等式组对应的可行域.取可行域内的点代入进行验证，利用排除法得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据二次函数零点的分布，列出关于的不等式组，即.将分别看作，画出不等式组对应的可行域如下图所示.取可行域内点代入得到结果是排除选项.取可行域内点代入，得到结果是，排除A,B两个选项，故本小题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次函数零点分布问题的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎10．已知，集合，，则__________，__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】利用交集的知识求得两个集合的交集，先求得集合的补集，然后求这个补集和集合的并集.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知,，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个集合交集的运算，考查集合补集的概念及运算，考查并集的运算，属于基础题.‎ ‎11．已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先求得的坐标，然后求它的模.用求得的坐标.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故.与方向相反的单位向量为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查平面向量模的坐标表示，考查相反的向量，考查单位向量等知识，属于基础题.对于两个向量，，也即是两个向量加法的结果还是一个向量.向量方向上的单位向量的求法是.‎ ‎12．（1）计算__________，（2）若，则__________．‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】（1）利用指数和对数运算公式，求得运算结果.（2）先求得的值，代入所求表达式，利用对数运算公式化简，求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式.（2）依题意，故 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13．已知扇形的周长为8，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设出扇形的半径，求得扇形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值，及此时扇形的半径和对应圆心角.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，则对应的弧长为，扇形的面积为，当且仅当时等号成立，此时弧长为，对应的圆心角为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查扇形的周长、面积公式，考查利用基本不等式求面积的最大值，考查基本不等式等号成立的条件，还考查了弧长与圆心角弧度数的对应关系，属于基础题.对于基本不等式，它可以变形为，也可以变形为，具体选择哪一个，要看题目所给条件来决定.‎ ‎14．已知函数，当时，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等价为函数是减函数，根据指数函数、对数函数的单调性，列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于等价为函数是减函数，故，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数单调性的识别，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，属于基础题.‎ ‎15．已知平面向量与的夹角为锐角，，，且的最小值为，若向量满足，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的最小值为可知的夹角为，画出向量对应的平面图形，建立平面直角坐标系，求得两点的坐标，设出的坐标，代入，求得坐标满足的方程，根据这个方程对应的曲线是圆，由圆上的点和原点的距离的最大值和最小值，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，其中，设.由于的最小值为，根据向量加法的几何意义可知,而，故，.以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，，设.由于，即，化简得，即对应的点在以为圆心，半径为的圆上，而表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量加法的几何意义，考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题的关键点在于将的坐标满足的方程转化为圆的方程，将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.‎ 三、解答题 ‎16．已知平面上三点，，. ‎ ‎（1）若，求实数的值.‎ ‎（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据模的运算公式列方程，解方程求得的值.（2）先求得的坐标，根据题意,利用列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于，则，‎ 解得.‎ ‎（2）‎ 由题意得为直角，则.‎ 即，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量模的运算，考查向量加法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎17．已知函数，的部分图像如图所示，函数图像与轴的交点为，并且与轴交于两点，点是函数的最高点，且是等腰直角三角形.‎ ‎（1）求函数的解析式.‎ ‎（2）若函数在上有两个不同的解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据是等腰直角三角形求得的长，也即是半周期的值，由此求得周期并求得的值.代入点求得的值，由此求得函数的解析式.（2）求得函数在区间上的值域，根据有两个交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是函数的最高点，所以.‎ 又为等腰直角三角形，‎ ‎.‎ ‎，，.‎ 又因为过点，所以.‎ ‎，.‎ 所以.‎ ‎（2），.‎ 因为有两个交点，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数的值域的求法，属于中档题.‎ ‎18．已知函数，为常数. ‎ ‎（1）若，求证为奇函数；并指出的单调区间.‎ ‎（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）当时，先求出函数的定义域，然后证明，由此证得函数是奇函数.由于，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上为增函数.（2）将原不等式分离常数得到，利用单调性求得左边函数的最小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ 的定义域为.‎ 当时，‎ ‎.‎ 是奇函数.‎ 的单调增区间为.‎ ‎（2）由 ‎.‎ 令，只需要.‎ 由（1）知在上是增函数，‎ 所以.‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查函数单调性的识别以及应用，考查复合函数的单调性，考查分离常数法解不等式恒成问题.要证明一个函数是奇函数，首先要求得函数的定义域，然后根据奇函数的定义，证明来证明.不等式恒成立问题，一个重要的解题策略就是分离常数法.‎ ‎19．若函数，为常数. ‎ ‎（1）若在上的最大值为3，求的值.‎ ‎（2）已知，若存在实数，使得函数有三个零点，求 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）利用零点分段法去绝对值，将原函数表示为分段函数的形式，对分成两类讨论函数的最大值，由此求得的取值范围.（2）将函数有三个零点的问题，转化为函数与直线有三个不同交点，构造函数，将其表示为分段函数的形式，对分成，，两类，结合函数的图像，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，，.‎ 当时，，.‎ 综上，或.‎ ‎（2）‎ 有三个零点有三个不同实根 函数与直线有三个不同交点.‎ 令，则.‎ ‎①当时，在上单增，在上单减，在上单增.‎ ‎，即.‎ ‎，.‎ ‎②当时，在上单增，在上单减，在上单增.‎ ‎，即.‎ ‎，.‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有绝对值符合的函数的解题策略，考查零点问题，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎