上海市民进自强高复学校2020届高三下学期二模考试数学试题

上海市民进自强高复学校2020届高三下学期二模考试数学试题

‎2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷 一、填空题（1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，满分54分）‎ ‎1、设,则不等式的解集为______________________‎ ‎2、设，其中为虚数单位，则=______________________‎ ‎3、计算： ‎ ‎4、集合，，且，则 ‎ ‎5、已知点在函数的图像上，则的反函数 ‎ ‎6、在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于____ _‎ ‎7、在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的体积____________‎ ‎8、某微信群中四人同时抢个红包（金额不同），假设每人抢到的红包的概率相同且每人最多抢 一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 ‎ ‎9、如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为 ‎ ‎10、设，满足，向量，，则满足的实数的最 小值为 ‎ ‎11、已知等差数列的公差，，则使得集合，恰好有两个元素的的值为_______‎ ‎12、函数，若函数与 的图像相交于两点，且两点的横坐标分别记为，则的取值范围是 ‎ 二、选择题（本大题满分20分）‎ ‎13、已知，则“”是“”的（ ）‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件 ‎14、已知数列是首项为，公差为的等差数列，则方程组的解的 情况为（ ）‎ 无解； 有无数组解； 有唯一解； 无法确定 ‎15、已知线段上有动点（异于、），线段，且满足 ‎，则点的运动轨迹为（ ）‎ 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 ‎16、已知与皆是定义域、值域均为的函数，若对任意，恒成立，且与的反函数、均存在，命题：“对任意，恒成立”，命题：“函数的反函数一定存在”，以 下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ）‎ ‎ 命题真，命题真 命题真，命题假 命题假，命题真 命题假，命题假 三、解答题（本大题满分76分）‎ ‎17、（6+8=14分）长方体中，底面是正方形，，是 上的一点．‎ ‎（1）若为中点，求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）若平面，求直线与平面所成的 ‎ 角的大小；‎ ‎18、（6+8=14分）在中, ,其中角的 对边分别为；‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎19、（7+7=14分）设，函数为奇函数．‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20、（4+7+5=16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于轴上方一点，以为边作矩形 ‎，其中直线过原点．当点为椭圆的上顶点时，的面积为，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求矩形面积的最大值；‎ ‎（3）矩形能否为正方形？请说明理由．‎ ‎.‎ ‎21、（4+6+8=18分）已知数列、、满足，．‎ ‎（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）若恰好是一个等差数列的前项和，求证：数列是等差数列；‎ ‎（3）若数列是正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．‎ ‎2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷答案 一、填空题：1、； 2、； 3、； 4、； 5、；‎ ‎ 6、； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、 ； 12、 ‎ 二、选择题： ‎ ‎17、解：（1）以为轴建立坐标系 依题意，，，，‎ ‎ 2分 所以， 1分 异面直线与所成的角为，则 2分 所以异面直线所成角的大小为 1分 ‎（2）设，则 1分 ‎ 因为平面，平面，所以 所以，所以， 2分 ‎，,平面的一个法向量 2分 直线与平面所成的角为，则 2分 所以，直线与平面所成的角的大小为 1分 ‎ ‎18、解:(1)由已知得： 2分 ‎,即 2分 又,所以 2分 ‎(3)由正弦定理,有 ,所以, 2分 由题知,则 ,故. 2分 根据余弦定理,有 , ‎ 解得 或 (负值舍去), 2分 向量在方向上的投影为 2分 ‎19、解：（1）函数为奇函数，，解得， 2分 此时，为奇函数， 2分 ‎，‎ 解得，或（舍去）， 2分 ‎，函数的零点为； 1分 ‎（2）令，， 2分 不等式在区间上恒成立，即，恒成立， 2分 恒成立，故， 2分 ‎，所以实数的取值范围是 1分 ‎20、解：（1）由题意：，解得，， 3分 所以椭圆的标准方程为； 1分 ‎（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线为： 1分 联立得，‎ 解得，，‎ 所以， 2分 直线的方程为，即，所以 1分 所以矩形面积 2分 所以当且仅当时，矩形面积取最大值为； 1分 ‎（3）若矩形为正方形，则，即， ‎ 则， 2分 令，因为， 2分 又的图像不间断，‎ 所以有零点，所以存在矩形为正方形. 1分 ‎21、解：（1）设等比数列的公比为，则 1分 当时，，数列不是等比数列； 1分 当时，因为，所以，所以数列是等比数列； 1分 ‎（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为 因为，所以，‎ 两式相减得，因为， 3分 所以，‎ 所以数列是等差数列； 3分 ‎（3）因为数列是等差数列，所以，‎ 又因为，所以，‎ 即 ，则， 3分 又因为数列是等比数列，所以，则，‎ 即，因为数列各项均为正数，所以， 2分 则，即，‎ 又因为数列是等差数列，所以，‎ 即，化简得，‎ 将代入得，‎ 化简得，所以数列是等差数列． 3分