云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

1 2π 3- π 3 xO y 峨山一中 2019-2020 学年下学期期中考试 高二数学（文科）试卷 命题：李志新 审题：柏为发 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 要求。 1.若 ， 则 ( ) A. B. C. D. 2.函数 的定义域是 （ ） A. B. C. D. 3．若函数 的图象（部分）如图所 示， 则 的取值是（ ） A. B. C. D. 4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内 部 随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于(　 　) A. B. C. D. 5.已知数列 满足: ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 设命题 ，则 为（ ） A． B． (0, 2) [1,2)A B= = A B = (0,1) (0,2) [1, 2) [1,2) lg( 2 8 2)y x= − − [4, )+∞ (6, )+∞ [4,6) [6, )+∞ )sin()( ϕω += xxf ϕω和 3,1 πϕω == 3,1 πϕω −== 6,2 1 πϕω == 6,2 1 πϕω −== 1 4 1 3 1 2 2 3 { }na * 1 11, 2 3 ( )n na a a n N+= = + ∈ 10a = 112 3− 102 3− 122 3− 132 3− 2: , 2np n N n∃ ∈ > p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ > C． D． 7. 已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线 段 AB 的中点纵坐标为 2，则该该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9.已知点 F,A 分别为双曲线 C: 的左焦点和右顶点，点 B（0，b） 满足 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 10.若直线 有两个公共点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.函数 的导数为（ ） A . B. C. D. 12.设直线 的一条切线，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知 F 是抛物线 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长 线交 y 轴于 N，若 M 为 FN 的中点，则 =_______ 14.如图,正六边形 的边长为 1,则 ＝______ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ x y 3, 3.5x y= = ^ 0.4 2.3y x= + ^ 2 9.5y x= − + ^ 2 2.4y x= − ^ 0.4 4.4y x= − + 2 2 ( 0)y px p= > 2 4y x= − 2 4y x= 2 4x y= 2 4x y= − 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 0FB AB =  2 3 1 3 2 + 1 5 2 + 2 2 2 13 x yy x m = + + =与椭圆 m 1m > 1 3m m> ≠且 3m > 0 3m m> ≠且 2 cosy x x= 22 cos siny x x x x′ = − 22 cos siny x x x x′ = + 2 cos 2 siny x x x x′ = − 2cos siny x x x x′ = − 1 ln ( 0)2y x b y x x= + = >是曲线 b ln 2 1− ln 2 2− 2ln 2 1− 2ln 2 2− 2: 8C y x= FN ABCDEF AD DB•  15. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_______ 16.已知命题 都是假命题，则 _______ 三、解答题：共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（满分 12 分）已知数列 的首项 ，通项 ，且 成等差数列。求： （1） 的值； （2）数列 前 项和 18. （ 满 分 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 (1)求 (2)若 ， 面积为 2，求 ． 19.（满分 12 分）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是 菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 1 0 3 0 3 0 x y x y x − + ≥  + − ≥  − ≤ nS 2z x y= − 2: 6, ; : ,p x x q x N p q q− ≠ ∈ ∧ ¬若 和 x = { }na 1 3a = 2 , ,n na p nq p q∗= + ∈（ N 为常数） 1 4 5, ,a a a ,p q { }na n ABC∆ A B C a b c 2sin( ) 8sin 2 BA C+ = cos B 6a c+ = ABC∆ b 20. （满分 12 分）如图，直线 l：与抛物线 相切于点 (1)求实数 b 的值； (2)求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程． 21. （满分 12 分）若函数 ，当 时，函数 有极值 ， （1）求函数 的解析式； （2）若函数 有 3 个解，求实数 的取值范围． 22.（满分 10 分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否 与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查， 得到了如下列联表： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 5 女性 10 总计 50 已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是3 5 (1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人； (3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明 你的理由． 下面的临界值表仅供参考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d) :l y x b= + 2: 4C x y= A A C 4)( 3 +−= bxaxxf 2=x )(xf 4 3 − ( )f x kxf =)( k 1 2π 3- π 3 xO y 峨山一中 2019 至 2020 学年下学期期中考试 高二数学（文科）参考答案 命题：李志新 审题：柏为发 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 要求。 1.若 ， 则 ( C ) . . . . 2.函数 的定义域是 （ B ） . . . . 3．若函数 的部分图像如图所示，则 的取值是（ C ） . . . . 4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 (　 C 　) A. B. C. D. 5.已知数列 满足: ，则 （ A ） 6. 设命题 ，则 为（ C ） A． B． C． D． 7. 已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算 (0, 2) [1,2)A B= = A B = A (0,1) B (0,2) C [1, 2) D [1,2) lg( 2 8 2)y x= − − A [4, )+∞ B (6, )+∞ C [4,6) D [6, )+∞ )sin()( ϕω += xxf ϕω和 A 3,1 πϕω == B 3,1 πϕω −== C 6,2 1 πϕω == D 6,2 1 πϕω −== 1 4 1 3 1 2 2 3 { }na * 1 11, 2 3 ( )n na a a n N+= = + ∈ 10a = A 112 3− B 102 3− C 122 3− D 132 3− 2: , 2np n N n∃ ∈ > p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ > 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ x y 3, 3.5x y= = 得的线性回归方程可能是（ B ） A. B. C. D. 8.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点纵坐标为 2，则该该抛物线的标准方程为（ B ） 9.已知点 F,A 分别为双曲线 C: 的左焦点和右顶点，点 B（0，b）满 足 ，则双曲线 C 的离心率为（ D ） . . . . 10.若直线 有两个公共点，则 m 的取值范围是（ B ） . . . . 11.函数 的导数为（ A ） . . . . 12.设直线 的一条切线，则实数 b 的值为（ A ） . . . . 第 II 卷 二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知 F 是抛物线 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于 N，若 M 为 FN 的中点，则 =_______6 14.如图,正六边形 的边长为 1,则 ＝______-3 ^ 0.4 2.3y x= + ^ 2 9.5y x= − + ^ 2 2.4y x= − ^ 0.4 4.4y x= − + 2 2 ( 0)y px p= > A 2 4y x= − B 2 4y x= C 2 4x y= D 2 4x y= − 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 0FB AB =   A 2 B 3 C 1 3 2 + D 1 5 2 + 2 2 2 13 x yy x m = + + =与椭圆 A 1m > B 1 3m m> ≠且 C 3m > D 0 3m m> ≠且 2 cosy x x= A 22 cos siny x x x x′ = − B 22 cos siny x x x x′ = + C 2 cos 2 siny x x x x′ = − D 2cos siny x x x x′ = − 1 ln ( 0)2y x b y x x= + = >是曲线 A ln 2 1− B ln 2 2− C 2ln 2 1− D 2ln 2 2− 2: 8C y x= FN 15. 若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最小值为_______-5 16.已知命题 都是假命题，则 _______3 三、解答题：共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（满分 12 分）已知数列 的首项 ，通项 ，且 成等差数列。求： （1） 的值； （2）数列 前 项和 解:（1）由 得 （2） 18. （ 满 分 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． (1)求 (2)若 ， 面积为 2，求 ． 解：由题设及 得 ， 故 ． 上式两边平方，得 整理得 ， 解得 （舍去）， . 1 0 3 0 3 0 x y x y x − + ≥  + − ≥  − ≤ nS 2 3,p q+ = 5 53 2 5 2 8 ,p q p q⇒ + + = + 1, 1p q⇒ = = 2 1 ( 1)(2 2 2 ) (1 2 ) 2 2 .2 n n n n nS n + += + + + + + + + = − +  2: 6, ; : ,p x x q x N p q q− ≠ ∈ ∧ ¬若 和 x = { }na 1 3a = 2 , ,n na p nq p q∗= + ∈（ N 为常数） 1 4 5, ,a a a ,p q { }na n 1 3a = 4 5 4 5 1 5 42 4 2 5 2a p q a p q a a a= + = + + =又 ， ，且 ABC∆ A B C a b c 2sin( ) 8sin 2 BA C+ = cos B 6a c+ = ABC∆ b A B C π+ + = 2sin 8sin 2 BB = sin 4(1 cos )B B= − 2 2sin 16 32cos 16cosB B B= − + 2 2 2sin cos 15 32cos 16cosB B B B= + + − + 217cos 32cos 15 0B B− + = cos 1B = 15cos 17B = （2）由 得 ，故 ． 又 ，则 ． 由余弦定理及 得 ． 所以 ． 19.（满分 12 分）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 解：（1 ）连结 . 因为M ，E 分别为 的中点，所 以 ，且 .又因为N为 的中点， 所以 . 由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边 形MNDE为平行四边形， .又 平面 ，所以MN∥平 面 . （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得 ， ，所以DE⊥平面 ，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离， 由已知可得CE=1，C1C=4，所以 ，故 . 从而点C到平面 的距离为 . 20.（满分 12 分）如图，直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A. 15cos 17B = 8sin 17B = 1 4sin2 17ABCS ac B ac∆ = = 2ABCS∆ = 17 2ac = 6a c+ = 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )b a c ac B a c ac B= + − = + − + 17 1536 2 (1 ) 42 17 = − × × + = 2b = 1 ,B C ME 1,BB BC 1ME B C∥ 1 1 2ME B C= 1A D 1 1 2ND A D= 1 1 =A B DC∥ 1 1=B C A D∥ =ME ND∥ MN ED∥ MN ⊄ 1C DE 1C DE DE BC⊥ 1DE C C⊥ 1C CE 1C DE 1C DE 1 17C E = 4 17 17CH = 1C DE 4 17 17 (1)求实数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方 程． 解　(1)由Error!得 x2－4x－4b＝0，(*) 因为直线 l 与抛物线 C 相切， 所以 Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1. (2)由(1)可知 b＝－1，故方程(*)即为 x2－4x＋4＝0， 解得 x＝2，代入 x2＝4y，得 y＝1. 故点 A(2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切， 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y＝－1 的距离， 即 r＝|1－(－1)|＝2， 所以圆 A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 21.（满分 12 分）若函数 ，当 时，函数 有极值 ， （1）求函数 的解析式； （2）若函数 有 3 个解，求实数 的取值范围． 解：求导得 ， （1）由题意 ，得 所求解析式为 （2）由（1）可得： 令 ，得 或 又因为 的定义域为 R，当 变化时， 、 的变化情况如下表： — 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 因此，当 时， 有极大值 当 时， 有极小值 4)( 3 +−= bxaxxf 2=x )(xf 3 4− ( )f x kxf =)( k ( ) baxxf −=′ 23 4(2) 3 '(2) 0 f f  = −  = 1 3 4 a b  =  = ∴ ( ) 443 1 3 +−= xxxf ( ) ( )( )2242 +−=−=′ xxxxf ( ) 0=′ xf 2=x 2−=x 4)( 3 +−= bxaxxf x ( )xf ′ ( )xf x ( )2,−∞− 2− ( )2,2− 2 ( )+∞,2 ( )xf ′ + 0 0 + ( )xf 3 28 3 4− 2−=x ( )xf 3 28 2=x ( )xf 3 4− 3 28 y 函数 的图象大致如图： 由图可知： 22（满分 10 分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运 动是否与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人 进行问卷调查，得到了如下列联表： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 5 女性 10 总计 50 已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是3 5. (1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人； (3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？ 并说明你的理由． 下面的临界值表仅供参考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d) 解:(1)因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是3 5 ， 所以喜欢户外运动的男女员工共 30 人，其中男员工 20 人，列联表补充如下： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 总计 30 20 50 (2)该公司男员工人数为 25÷50×650＝325(人)，则女员工有 325 人． ∴ ( ) 443 1 3 +−= xxxf 3 28 3 4 <<− k 3 4− 2− 2 x 0 (3)K2 的观测值 k＝50 × (20 × 15－10 × 5)2 30 × 20 × 25 × 25 ≈8.333>7.879，所以在犯错误的 概率不超过 0.005 的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．