高中数学第一讲坐标系二极坐标系成长训练新人教A版选修4-41

高中数学第一讲坐标系二极坐标系成长训练新人教A版选修4-41

二 极坐标系 主动成长 夯基达标 1.点 P 的直角坐标为(- 2 , 2 )，那么它的极坐标可表示为( ) A.(2, 4 π ) B.(2, 4 3π ) C.(2, 4 5π ) D.(2, 4 7π ) 解析:因为点 P(- 2 , 2 )在第二象限,与原点的距离为 2,且 OP 的倾斜角为 4 3π ,故选 B.这 种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B 2.点 P(ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π) 解析:由ρ取负值时点的确定方法即可. 答案:A 3.方程ρ2cos2θ=c2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:方程ρ2cos2θ=c2  ρ2(cos2θ-sin2θ)=c2  x2-y2=c2. 答案:C 4.曲线的极坐标方程为 aρcos2θ+bcosθ-sinθ=0(a≠0),则曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解 析 : 将 方 程 aρcos2θ+bcosθ-sinθ=0 各 项 都 乘 以 ρ,aρ2cos2θ+bρcosθ-ρsinθ=0 ax2+bx-y=0 y=ax2+bx,是抛物线. 答案:D 5.点 P1(2, 4 π ),P2(-3,- 4 π ),则|P1P2|的值为( ) A. 13 B.5 C. 2613 D. 2613 解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P1P2|= )-θ(θρρ-+ρρ 1221 2 2 2 1 cos2 (ρ1、ρ2≥0). 其中 P2(3, 4 3π ),代入可得. 答案:A 6.已知点 A(-2,- 2 π ),B(2, 4 3π ),O(0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.锐角等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:点 A(-2,- 2 π )即为 A(2, 2 π ), ∴∠AOB= 4 π ,且|OB|=2,|OA|=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D 7.直线 l 过点 A(3, 3 π )、B(3, 6 π ),则直线 l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线 l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据 点 A、B 的位置分析夹角的大小. ∵|AO|=|BO|=3,∠AOB= 3 π - 6 π = 6 π , ∴∠OAB= 2 6 π-π = 12 5π . ∴∠ACO=π- 3 π - 12 5π = 4 π . 答案： 4 π 8.极坐标方程ρ=   sin cos22  所对应的直角坐标方程为________. 解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,    θy=ρ θx=ρ sin ,cos ,      ,0,tan ,222 xx y= yxρ  将ρ、θ 消去,换成字母 x、y 即可. 因为ρ=   2sin cos22  可化为ρ=   2cos1 )cos1(2   ,即ρ= cos1 2  , 去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得 x2+y2=(2+x)2,整理可得. 答案：y2=4(x+1) 说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与 恒等变换等知识相结合. 9.已知下列各点的极坐标为 A(5, 3 π ),B(2,0),C(6,- 6 5 π),D(-4, 6 π ),E(0, 3 π ),画出这些点, 并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图. 利 用 公 式    θy=ρ θx=ρ sin ,cos 即 可 求 出 它 们 的 直 角 坐 标 为 A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0). 10.在极轴上求与点 A(4 2 , 4 π )距离为 5 的点 M 的坐标. 解析:题目要求是点在极轴上,可设点 M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M 两点 之间的距离为 5,所以可以根据余弦定理求出点 M 的坐标来. 解:设 M(r,0), ∵A(4 2 , 4 π ), ∴ 4 πcos28)24( 22 rr  =5, 即 r2-8r+7=0. 解得 r=1 或 r=7. ∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0). 在极坐标系下,任意两点 P1(ρ1,θ1),P2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P1P2|= )-θ(θρρ-+ρρ 2121 2 2 2 1 cos2 ,此式可直接利用余弦定理得证. 11.舰 A 在舰 B 的正东 6 km 处，舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 km 处，它们围捕海 洋动物.某时刻 A 发现动物信号，4 秒后 B、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动 物均为静止的,动物信号的传播速度是 1 km/s,炮弹运行的初速度是 3 320 g km/s，其中 g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰 A 所在地为极点建立极坐标系，求舰 A 发 射炮弹的极坐标. 解析:先建立直角坐标系,分析出点 P 在双曲线上,又在线段 BC 的垂直平分线上,求出交点 P 的坐标,然后求出 P、A 两点之间的距离和 PA 与 x 轴正向所成的角,即可确定点 P 的极坐标. 解:对舰 B 而言,A、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取 B 所在直线为 x 轴,AB 的中点 O 为原 点建立直角坐标系,则 A、B、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ). 由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为 P,则|PB|=|PC|. 于是 P 在 BC 的中垂线 l 上,易求得其方程为 3 x-3y+7 3 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,于是知 P 应在双曲线 54 22 yx  =1 的右支上. 直线 l 与双曲线的交点 P(8,5 3 )即为动物的位置,至此问题便可获解. 据已知两点的斜率公式,得直线 PA 的倾斜角为 60°.于是舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东 30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=10. 所以,以舰 A 所在地为极点,舰 A 发射炮弹的极坐标为(10, 3 π ). 走近高考 1.(经典回放)极坐标方程 4ρsin2 2  =5 表示的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解 析 : 利 用 半 角 公 式 把 原 方 程 化 为 4ρ 2 cos1  =5, 即 4ρ-4ρcosθ=10,∴4ρ=4x+10.∵ρ= ,22 yx  ∴16(x2+y2)=(4x+10)2. 整 理 , 得 4y2-20x-25=0.∴为抛物线. 答案:D 2.(经典回放)极坐标方程 4sin2θ=3 表示的曲线是( ) A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线 解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得 4ρ2sin2θ=3ρ2,即 4y2=3(x2+y2),即 y=± 3 x. ∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B 3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos( 4 π -θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos 4 π cosθ+sin 4 π sinθ. 两边同乘以ρ,得ρ2= 2 2 ρcosθ+ 2 2 ρsinθ, 即 x2+y2= 2 2 x+ 2 2 y, 即为 x2+y2- 2 2 x- 2 2 y=0 表示圆. 答案:D 4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+ 4 π )= 2 2 ,则极点到该直线的距离是 ________. 解析:∵ρsin(θ+ 4 π )= 2 2 ,∴ρsinθcos 4 π +ρcosθsin 4 π = 2 2 ,即 x+y=1.∴原点到直 线 x+y=1 的距离为 d= 2 2 2 1  . 答案: 2 2 5.在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, 3 π ),B(5,- 6 5π ),则△OAB 的面积是________. 解析:如图,|OA|=4,|OB|=5,∠AOB=2π- 3 π - 6 5π = 6 5π . ∴S△OAB= 2 1 ×4×5×sin 6 5π =5. 答案:5