【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第1讲平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第四章第1讲平面向量的概念及线性运算学案

知识点 考纲下载 平面向量的实际背景 及基本概念 1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几 何表示． 向量的线性运算 1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 平面向量的基本定理 及坐标表示 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 平面向量的数量积及 向量的应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a 的积 的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时， λa 与 a 的方向相同； 当λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0 时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b＝λa． 1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由 减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系 A，P，B 三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→ ＝(1－t)·OA→ ＋tOB→ (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ (O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋ y＝1)． 1.教材习题改编 如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( ) A．EF→＝CD→ B．AB→与DE→ 共线 C．BD→ 与CD→ 是相反向量 D．AE→＝1 2|AC→| D [解析] 根据向量的概念可知选 D. 2.教材习题改编 下列结论正确的是( ) A．若|a|＝0，则 a＝0 B．若 a，b 是两个单位向量，则 a＝b C．若 a＝b，b＝c，则 a＝c D．若 AB＝AC，则AB→＝AC→ C [解析] 根据向量的概念可知选 C. 3.教材习题改编 如图，▱ABCD 的对角线交于 M，若AB→＝a，AD→ ＝b，用 a，b 表示MD→ 为 ( ) A．1 2a＋1 2b B．1 2a－1 2b C．－1 2a－1 2b D．－1 2a＋1 2b D [解析] MD→ ＝1 2BD→ ＝1 2(b－a)＝－1 2a＋1 2b，故选 D. 4.教材习题改编 已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [解析] 若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|即 p⇒q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线，即 a＝λb 且λ＞0，故 q ⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A. 5.教材习题改编 向量 e1 与 e2 不共线，若 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共线，则λ的值为 ________． [解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共线，所以存在μ∈R，使 e1 －e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2， 得 1＝－2μ －1＝μλ ，所以λ＝2. [答案] 2 平面向量的有关概念[学生用书 P87] [典例引领] 给出下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量AB→与向量CD→ 共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c. 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不 是向量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一 定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果 b＝0 时，则 a 与 c 不一定平行． 【答案】 D 对于向量的概念的三点注意 (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐 标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向 量则未必是相等向量； (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可 以比较大小． [通关练习] 1．判断下列四个命题： ①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，则|a| ＝|b|.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [解析] 只有④正确． 2．设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 D [解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 平面向量的线性运算(高频考点)[学生用书 P88] 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择 题、填空题的形式出现． 高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求已知向量的和； (2)用已知向量表示未知向量； (3)求参数的值． [典例引领] (1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC→＝3CD→ ，则( ) A．AD→ ＝－1 3AB→＋4 3AC→ B．AD→ ＝1 3AB→－4 3AC→ C．AD→ ＝4 3AB→＋1 3AC→ D．AD→ ＝4 3AB→－1 3AC→ (2)(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足AM→ ＝2MC→ ，BN→＝NC→ .若MN→ ＝xAB→＋yAC→， 则 x＝________；y＝________． 【解析】 (1)AD→ ＝AC→＋CD→ ＝AC→＋1 3BC→＝AC→＋1 3(AC→－AB→)＝4 3AC→－1 3AB→＝－1 3AB→＋4 3AC→. (2)因为 AM→ ＝2MC→ ，所以AM→ ＝2 3AC→. 因为 BN→＝NC→ ，所以AN→＝1 2(AB→＋AC→)， 所以MN→ ＝AN→－AM→ ＝1 2(AB→＋AC→)－2 3AC→ ＝1 2AB→－1 6AC→. 又MN→ ＝xAB→＋yAC→，所以 x＝1 2 ，y＝－1 6. 【答案】 (1)A (2)1 2 －1 6 向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用 平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边 形或三角形中求解． [题点通关] 角度一 求已知向量的和 1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB→＋FC→＝( ) A．AD→ B．1 2AD→ C．BC→ D．1 2BC→ A [解析] EB→＋FC→＝1 2(AB→＋CB→)＋1 2(AC→＋BC→)＝1 2(AB→＋AC→)＝AD→ ，故选 A. 角度二 用已知向量表示未知向量 2．(2017·龙岩模拟) 如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ→ ＝3 2a＋3 2b；②PT→＝3 2a－b；③PS→＝3 2a－1 2b；④PR→＝3 2a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ C [解析] ①根据向量的加法法则，得PQ→ ＝3 2a＋3 2b，故①正确；②根据向量的减法法 则，得PT→＝3 2a－3 2b，故②错误；③PS→＝PQ→ ＋QS→＝3 2a＋3 2b－2b＝3 2a－1 2b，故③正确；④PR→＝ PQ→ ＋QR→ ＝3 2a＋3 2b－b＝3 2a＋1 2b，故④错误．故选 C. 角度三 求参数的值 3．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD→ ＝2DB→ ，CD→ ＝1 3CA→＋λCB→，则λ等于( ) A．2 3 B．1 3 C．－1 3 D．－2 3 A [解析] 如图所示，过点 D 分别作 AC，BC 的平行线，分别交 BC，AC 于点 F，E， 所以CD→ ＝CE→＋CF→. 因为AD→ ＝2DB→ ，所以CE→＝1 3CA→，CF→＝2 3CB→， 故CD→ ＝1 3CA→＋2 3CB→，所以λ＝2 3. 平面向量共线定理的应用[学生用书 P88] [典例引领] 已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→ ＝3(e1－e2)， 求证：A、B、D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． 【解】 (1)证明：因为AB→＝e1＋e2， BD→ ＝BC→＋CD→ ＝2e1＋8e2＋3e1－3e2 ＝5(e1＋e2)＝5AB→， 所以AB→与BD→ 共线， 且有公共点 B， 所以 A、B、D 三点共线． (2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在λ， 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2. 由于 e1 与 e2 不共线， 只能有 k－λ＝0， λk－1＝0， 所以 k＝±1. [通关练习] 1．已知 a，b 是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb，λ，μ∈R，则 A，B，C 三 点共线的充要条件为( ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 D [解析] 因为 A、B、C 三点共线，所以AB→∥AC→， 设AB→＝mAC→(m≠0)，所以 λ＝m， 1＝mμ， 所以λμ＝1，故选 D. 2．已知 a，b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同，若 a，tb，1 3(a＋b)三向量 的终点在同一直线上，则 t＝________． [解析] 因为 a，tb，1 3(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相同． 所以 a－tb 与 a－1 3(a＋b)共线． 即 a－tb 与 2 3a－1 3b 共线． 所以存在实数λ，使 a－tb＝λ 2 3a－1 3b ， 所以 1＝2 3λ， t＝1 3λ， 解得λ＝3 2 ，t＝1 2 ， 即 t＝1 2 时，a，tb，1 3(a＋b)三向量的终点在同一条直线上． [答案] 1 2 , [学生用书 P323(独立成册)]) 1. 如图所示，D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量CD→ ＝( ) A．－BC→＋1 2BA→ B．－BC→＋1 2AB→ C．BC→－1 2BA→ D．BC→＋1 2BA→ A [解析] 因为CD→ ＝CB→＋BD→ ，CB→＝－BC→，BD→ ＝1 2BA→，所以CD→ ＝－BC→＋1 2BA→. 2．在四边形 ABCD 中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→ ＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 C [解析] 由已知，得AD→ ＝AB→＋BC→＋CD→ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，故AD→ ∥BC→. 又因为AB→与CD→ 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形． 3．设 D，E，F 分别是△ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且DC→ ＝2BD→ ，CE→＝2EA→， AF→＝2FB→，则AD→ ＋BE→＋CF→与BC→( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 A [解析] 由题意得AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋1 3BC→， BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋1 3AC→， CF→＝CB→＋BF→＝CB→＋1 3BA→， 因此AD→ ＋BE→＋CF→＝CB→＋1 3(BC→＋AC→－AB→) ＝CB→＋2 3BC→＝－1 3BC→， 故AD→ ＋BE→＋CF→与BC→反向平行． 4．已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，则 向量 a＋b＋c＝( ) A．a B．b C．c D．0 D [解析] 依题意，设 a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即 a－c ＝mc－na.又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0. 5．已知 P 是△ABC 内的一点，AP→＝1 3(AB→ ＋AC→ )，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之 比为( ) A．2 B．3 C．3 2 D．6 B [解析] 由AP→＝1 3(AB→＋AC→)，得 3AP→＝AB→＋AC→， AP→＋(AP→－AB→)＋(AP→－AC→)＝0. 所以PB→＋PC→＋PA→＝0， P 是△ABC 的重心． 所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为 3. 6．如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b， 则AD→ ＝( ) A．a－1 2b B．1 2a－b C．a＋1 2b D．1 2a＋b D [解析] 连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且CD→ ＝1 2AB→＝1 2a， 所以AD→ ＝AC→＋CD→ ＝b＋1 2a. 7．(2017·唐山统考)已知 a 与－b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线， 则λ的值为________． [解析] 因为 a＋λb 与－(b－3a)共线， 所以存在实数μ，使 a＋λb＝μ(3a－b)， 即 1＝3μ， λ＝－μ， 所以 μ＝1 3 ， λ＝－1 3. [答案] －1 3 8．已知 D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下 列命题：①AD→ ＝1 2a－b；②BE→＝a＋1 2b；③CF→＝－1 2a＋1 2b；④AD→ ＋BE→＋CF→＝0. 其中正确命题的个数为________． [解析] BC→ ＝a，CA→＝b，AD→ ＝1 2CB→＋AC→＝－1 2a－b，故①错； BE→＝BC→＋1 2CA→＝a＋1 2b，故②正确； CF→＝1 2(CB→＋CA→)＝1 2(－a＋b)＝－1 2a＋1 2b，故③正确； 所以AD→ ＋BE→＋CF→＝－b－1 2a＋a＋1 2b＋1 2b－1 2a＝0. 所以正确命题为②③④. [答案] 3 9．若|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，则|AB→＋AC→|＝________． [解析] 因为|AB→|＝|AC→|＝|AB→－AC→|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB→＋AC→| 为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|AB→＋AC→|＝2 3. [答案] 2 3 10．在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若AE→＝AD→ ＋μAB→，则μ的取值范围是________． [解析] 由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3， 所以AB→＝2DC→ . 因为点 E 在线段 CD 上， 所以DE→ ＝λDC→ (0≤λ≤1)． 因为AE→＝AD→ ＋DE→ ， 又AE→＝AD→ ＋μAB→＝AD→ ＋2μDC→ ＝AD→ ＋2μ λ DE→ ， 所以2μ λ ＝1，即μ＝λ 2 .因为 0≤λ≤1，所以 0≤μ≤1 2. [答案] 0，1 2 11. 如图，以向量OA→ ＝a，OB→ ＝b 为邻边作▱OADB，BM→ ＝1 3BC→，CN→ ＝1 3CD→ ，用 a，b 表 示OM→ ，ON→ ，MN→ . [解] 因为BA→＝OA→ －OB→ ＝a－b， BM→ ＝1 6BA→＝1 6a－1 6b， 所以OM→ ＝OB→ ＋BM→ ＝1 6a＋5 6b. 因为OD→ ＝a＋b， 所以ON→ ＝OC→ ＋1 3CD→ ＝1 2OD→ ＋1 6OD→ ＝2 3OD→ ＝2 3a＋2 3b，所以MN→ ＝ON→ －OM→ ＝2 3a＋2 3b－1 6a －5 6b＝1 2a－1 6b. 综上，OM→ ＝1 6a＋5 6b，ON→ ＝2 3a＋2 3b，MN→ ＝1 2a－1 6b. 12．设 M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB→ ＋3 2MA→ ＋3 2MC→ ＝0，D 是 AC 的中点，则|MD→ | |BM→ | 的值为( ) A．1 3 B．1 2 C．1 D．2 A [解析] 因为 D 是 AC 的中点，延长 MD 至 E，使得 DE＝MD，所以四边形 MAEC 为平行四边形，所以MD→ ＝1 2ME→ ＝1 2(MA→ ＋MC→ )．因为MB→ ＋3 2MA→ ＋3 2MC→ ＝0，所以MB→ ＝－3 2(MA→ ＋MC→ )＝－3MD→ ，所以|MD→ | |BM→ | ＝ |MD→ | |3MD→ | ＝1 3 ，故选 A. 13. 在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB→，BC→ 分别为 a，b，则AH→ ＝( ) A．2 5a－4 5b B．2 5a＋4 5b C．－2 5a＋4 5b D．－2 5a－4 5b B [解析] 如图，过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且GF→ ＝1 2EC→ ＝1 4BC→，所以GF→ ＝1 4AD→ ，则△AHD∽△FHG， 从而HF→ ＝1 4AH→ ， 所以AH→ ＝4 5AF→，AF→＝AD→ ＋DF→ ＝b＋1 2a， 所以AH→ ＝4 5(b＋1 2a)＝2 5a＋4 5b，故选 B. 14．已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点， 且AM→ ＝xAB→，AN→＝yAC→，求 xy x＋y 的值． [解] 法一：由已知得 M，G，N 三点共线，所以AG→ ＝λAM→ ＋(1－λ)AN→＝λxAB→＋(1－λ)yAC→， 因为点 G 是△ABC 的重心，所以AG→ ＝2 3 ×1 2(AB→＋AC→)＝1 3(AB→＋AC→)，所以 λx＝1 3 （1－λ）y＝1 3 ，即 λ＝ 1 3x 1－λ＝ 1 3y ，得 1 3x ＋ 1 3y ＝1， 即1 x ＋1 y ＝3，通分变形得，x＋y xy ＝3，所以 xy x＋y ＝1 3. 法二：利用等边三角形，过重心作平行于底边 BC 的直线，易得 x＝2 3 ，y＝2 3 ，所以 xy x＋y ＝1 3. 15. 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点，AE→＝2 3AD→ ，AB→＝a，AC→＝b. (1)用 a，b 表示向量AD→ ，AE→，AF→，BE→，BF→； (2)求证：B，E，F 三点共线． [解] (1)延长 AD 到 G，使AD→ ＝1 2AG→ ， 连接 BG，CG，得到平行四边形 ABGC， 所以AG→ ＝a＋b， AD→ ＝1 2AG→ ＝1 2(a＋b)， AE→＝2 3AD→ ＝1 3(a＋b)， AF→＝1 2AC→＝1 2b， BE→＝AE→－AB→＝1 3(a＋b)－a＝1 3(b－2a)， BF→＝AF→－AB→＝1 2b－a＝1 2(b－2a)． (2)证明：由(1)可知BE→＝2 3BF→， 又因为BE→，BF→有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线．