广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. ‎ 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，‎ 3. 方程表示的曲线是 A. 一个点 B. 一条直线 C. 两条直线 D. 双曲线 4. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为设，，，则下列向量中与相等的向量是 A. B. C. D. ‎ 5. 曲线与曲线的 A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则 A. B. C. D. ‎ 7. 与圆及圆都外切的圆的圆心在 A. 一个椭圆上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 双曲线的一支上 8. 以点1，，，4，为顶点的三角形是 A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 9. 已知点P在抛物线上，点Q在直线上，则的最小值是 A. B. C. D. ‎ 10. 直三棱柱，，点，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知双曲线的离心率，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为 A. 2 B. ‎3 ‎C. D. ‎ 12. 已知空间直角坐标系中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，，两两垂直，若注：以X表示点X的坐标，则动点Q的轨迹是 A. O为球心，为半径的球面 B. O为球心，为半径的球面 C. P为球心，为半径的球面 D. P为球心，为半径的球面 二、填空题（本大题共3小题）‎ 13. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于______．‎ 14. 已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．‎ 1. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 2. 已知空间三点2，，1，，． Ⅰ求以AB、AC为边的平行四边形的面积； Ⅱ若向量分别与、垂直，且，求的坐标． ‎ 3. 设抛物线上的点M与焦点F的距离为，到y轴的距离为． 求抛物线的方程和点M的坐标； 若点M位于第一象限，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． ‎ 4. 如图，在三棱锥中，G是的重心三条中线的交点，P是空间任意一点． 用向量，，表示，并证明你的结论； 设，x，y，，请写出点P在的内部不包括边界的充分必要条件不必给出证明．‎ ‎ ‎ 5. 已知动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是定值其中，． 求动点M的轨迹方程； 当a，c变化时，指出中轨迹方程表示的曲线形状．‎ ‎ ‎ 1. 如图，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面平面CDEF，，，M为AE的中点． 证明：平面MDF； 求平面MDF与平面BCF的夹角的大小．‎ ‎ ‎ 2. 已知直线l：经过椭圆E：右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为为坐标原点． 求椭圆的方程； 若直线l与圆C：相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求面积的最大值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：整理抛物线方程得 焦点在y轴， 焦点坐标为 故选：D． 先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标． 本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由平面向量基本定理得： 对于A选项，，所以，，三个向量共面； 对于B选项，同理：，，三个向量共面； 对于D选项，，所以三个向量共面； 故选：C． 由平面向量基本定理判断． 本题考查平面向量基本定理，属于基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为：； ，即； 或者； 方程表示的曲线是两条直线． 故选：C． 先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论． 本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意得，平行六面体中， ； 故选：A． 在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可． 本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8． 曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为， 离心率为，焦距为8． 对照选项，则D正确． 故选：D ‎． 分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断． 本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：平面，的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是， 则． 故选：B． 直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可． 本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由，得， 画出圆与的图象如图， 设圆P的半径为r， 圆P与圆O和圆M都外切， ，， 则， 点在以O、M为焦点的双曲线的左支上， 故选：D． 化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：1，，，4，， ，3，，5，， ，，， ，且， 以点1，，，4，为顶点的三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 分别求出，3，，5，，再求出模，由此能求出结果． 本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 联立消去x得，． ． 则的最小值是． 故选：B． 设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则可知的最小值即为两直线的距离．直线方程与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据距离公式求得答案． 本题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系．属于基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：直三棱柱，， 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 点，分别是，的中点，， 设， 则0，，1，，2，，1，， 1，，， 设与所成角为， 则． 与所成角的余弦值为． 故选：B． 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意，设，，则， 则，， 两式相减可得， ． 故选：B． 设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合即可求得结论． 本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由得，，即． 又，，两两垂直， 所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中与顶点P相对的顶点． 由， 得 又，所以， 同理， ． 三式相加，得， 代入式，得，即定值． 所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面． 故选：B． 利用已知条件推出，然后说明结果即可． 本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法．分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案． 13.【答案】17 ‎ ‎【解析】解：将双曲线化成标准形式： ， P到它的一个焦点的距离等于1，设 ‎ 舍负 故答案为：17 首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离． 本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．          过点O作，，因为平面APB，则，． ≌，，≌， 因为，所以点O在的平分线上，即． 设， 在直角中，，，则． 在直角中，，则． 即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是． 过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值． 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得， 则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为， 即这些点均在上， 故答案为： 运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论． 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题． 16.【答案】解：Ⅰ ，分 分 Ⅱ设y，，分 分 1，或分 ‎ ‎【解析】以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择，其中是的夹角． 设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可． 本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件． 17.【答案】解：由抛物线的定义知，点M到准线的距离为． 即有． 解之，得，． 所以，抛物线的方程为， 点M的坐标为或． 证明：联立直线与抛物线的方程，． 解之，得或，即， ‎ 或，． 又，所以． 故． ‎ ‎【解析】由抛物线的定义知解得即可． 联立直线与抛物线的方程，解之得即，或，． 即可得即可证明 本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题． 18.【答案】解：． 证明如下：． ． 设，x，y，，则点P在的内部不包括边界的充分必要条件是：，且，，． ‎ ‎【解析】由题意根据空间向量的加法法则推出向量，使得它用基底表示即可； 设，x，，则点P在直线AB上的充分必要条件是：，且，类比平面向量三点共线的结论写出即可． 本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理能力，属于中档题． 19.【答案】解：设，由已知，得． 所以，两边平方，得， 化简，得动点M的轨迹方程为 因为，，所以 当时，化为，它表示的曲线是直线x轴； 当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上， 长半轴长为a，短半轴长为的椭圆； 当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上， 实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线． ‎ ‎【解析】设出M的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可． 通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可． 本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 20.【答案】证明：法 连结CE与DF相交于N，连结MN． 因为四边形CDEF为矩形， 所以N为CE中点． 又M为AE的中点， 所以，在中，． 平面MDF． 法因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点， 所以 ，从而与，是共面向量． 又平面MDF，所以平面MDF． 解：因为四边形CDEF为矩形，所以． 又平面平面CDEF，平面CDEF ‎， 平面平面， 所以平面ABCD． 而， 所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，如图． 设，由已知，得，，，． 设平面MDF的一个法向量为y，，则，且， 所以，且， 即，取，得，，即1，． 同理，可求得平面BCF的一个法向量为1，． ． 所以，平面MDF与平面BCF的夹角为． ‎ ‎【解析】法连结CE与DF相交于N，连结说明推出平面MDF． 法说明，推出与，是共面向量．即可证明平面MDF． 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF与平面BCF的夹角即可． 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题． 21.【答案】解：设，，则， 两式相减并整理，得， 即． 所以 又直线l：与x轴的交点为， 由已知，得 联立，解得，． 所以，椭圆的方程为． 由直线l：与圆C：相切，得， 所以，圆C：． 又设动切线PQ：， 注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分 由，消去x，得． 所以． 又直线PQ：与圆C：相切， 所以，即，从而． 所以，面积． 令，解得，相应的． 所以，使面积最大的直线PQ 共有四条：和． 故面积的最大值为． ‎ ‎【解析】设，，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果． 由直线l：与圆C：相切，得，求出圆的方程，设动切线PQ：，由，消去x，得利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可． 本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． ‎