- 2021-04-18 发布 |
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文档介绍
高考双曲线单元测试题
2019高考双曲线单元测试题 1.双曲线的渐近线为( ) A. B. C. D. 2.A已知双曲线的中心为原点,点是双曲线的一个焦点,点到渐近线的距离为1,则的方程为( ) A. B. C. D. 3.双曲线的渐近线方程为,则的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 4.已知双曲线,则双曲线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6.斜率为 的直线与双曲线恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. D. 7.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,焦距为(),抛物线的准线交双曲线左支于,两点,且(为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 8.若双曲线与双曲线的焦距相等,则实数的值为( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 9.已知点是双曲线(, )右支上一点, 是右焦点,若(是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率为( ) A. B. C. D. 10.已知双曲线,的左焦点为F,离心率为,若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线方程为,它的一条渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 12.已知双曲线的离心率为2,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、 填空题 13. 已知方程表示双曲线,则实数的取值范围为___________. 14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________. 15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 16.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是________. 三、解答题 17.已知三点P、 、 . (1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程; (2)求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程. 18.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 ,在坐标轴上,离心率为,且过点. (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若点在第一象限且是渐近线上的点,当时,求点的坐标. 19.已知双曲线:的一条渐近线为,右焦点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点,已知,若证明:过、、三点的圆与轴相切. 20.已知双曲线的焦点是椭圆: 的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)设动点, 在椭圆上,且,记直线在轴上的截距为,求的最大值. 21.已知双曲线的左右两个顶点是, ,曲线上的动点关于轴对称,直线 与交于点, (1)求动点的轨迹的方程; (2)点,轨迹上的点满足,求实数的取值范围. 22.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明; (Ⅲ)探究是否是个定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 1.双曲线的渐近线为( ) A. B. C. D. 【答案】A 2.A已知双曲线的中心为原点,点是双曲线的一个焦点,点到渐近线的距离为1,则的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为点到渐近线的距离为1,所以b=1,因为c=,所以a=1,因此的方程为,选A. 3.双曲线的渐近线方程为,则的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】C 4.已知双曲线,则双曲线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由方程表示双曲线,焦点坐标在y轴上,可知, 则c2=a2+b2=25,即, 故双曲线的焦点坐标为:, 故选:C. 5.已知双曲线的离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 6.斜率为 的直线与双曲线恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. D. 【答案】D 【解析】∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点,∴ >, ∴e== >. ∴双曲线离心率的取值范围是(,+∞). 故选:D. 7.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,焦距为(),抛物线的准线交双曲线左支于,两点,且(为坐标原点),则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 8.若双曲线与双曲线的焦距相等,则实数的值为( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由题意得,选C. 9.已知点是双曲线(, )右支上一点, 是右焦点,若(是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c), 代入双曲线方程, 可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1, 故选:D. 10.已知双曲线,的左焦点为F,离心率为,若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 11已知双曲线方程为,它的一条渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 方法一:双曲线的渐近线方程为,则,圆的方程,圆心为,所以,化简可得,则离心率. 方法二:因为焦点到渐近线的距离为,则有平行线的对应成比例可得知,即则离心率为. 选A. 12.已知双曲线的离心率为2,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 二、填空题 13. 已知方程表示双曲线,则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 因为方程表示双曲线, 所以,即. 14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________. 【答案】 15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________ 【答案】4 【解析】 由题意,双曲线的一个焦点坐标为,一条渐近线的方程为, 由点到直线的距离公式得, 即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为. 16.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是________. 【答案】2 三、解答题 17.已知三点P、 、 . (1)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程; (2)求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程. 【答案】(1) ;(2) -. (2)∵双曲线焦点在轴上,故设所求双曲线的标准方程为- ,由双曲线的定义知, , ∴, , 故所求双曲线的标准方程为-. 18.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 ,在坐标轴上,离心率为,且过点. (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若点在第一象限且是渐近线上的点,当时,求点的坐标. 【答案】(1);(2) (2)因为等轴双曲线的渐近线方程为, 点在第一象限且是渐近线上的点, ∴设点坐标为, ∵等轴双曲线,所以, 不妨设), 所以,, 又因为,所以, 所以, 解得(舍去负值), 所以点的坐标为. 19.已知双曲线:的一条渐近线为,右焦点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点,已知,若证明:过、、三点的圆与轴相切. 【答案】(1);(2)证明见解析. (2)设直线的方程为,则,,的中点为 由 得 ∴, ∵,即 ∴(舍)或 ∴, 点的横坐标为 20.已知双曲线的焦点是椭圆: 的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)设动点, 在椭圆上,且,记直线在轴上的截距为,求的最大值. 【答案】(1) .(2) . 【解析】 (Ⅰ)双曲线的焦点坐标为,离心率为. 因为双曲线的焦点是椭圆: ()的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以,且,解得. 故椭圆的方程为. 设, , 根据根与系数的关系得, . 则 . 因为,即 . 整理得. 令,则. 所以 . 等号成立的条件是,此时, 满足,符合题意. 故的最大值为. 21.已知双曲线的左右两个顶点是, ,曲线上的动点关于轴对称,直线 与交于点, (1)求动点的轨迹的方程; (2)点,轨迹上的点满足,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) . (2)过的直线若斜率不存在则或3, 设直线斜率存在, , 则 22.如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明; (Ⅲ)探究是否是个定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ);(Ⅲ). (Ⅱ)设P(), 则=,. 因为点P在双曲线上,所以. 因此,即 (Ⅲ)设A(,),B(),由于的方程为,将其代入椭圆方程得 所以,所以 故恒成立. 查看更多