2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十三离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十三离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）理北师大版

核心素养测评七十三 离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）‎ ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为 (　　)‎ A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 ‎【解析】选C.A、B中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都不是本题涉及试验的结果.D中出现相同点数的种数就是6种,不是变量.C整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这十一种结果,但每掷一次前,无法预见是十一种中的哪一个,故是随机变量.‎ ‎2.甲同学骑自行车上学的路上经过5个设有红绿灯的路口,记他遇到红灯的次数为ξ,则 (　　)‎ A.ξ表示他在第一个路口遇到红灯 B.ξ表示他在最后一个路口遇到红灯 C.ξ的取值为0,1,2,3,4,5‎ D.ξ的取值为1,2,3,4,5‎ ‎【解析】选C.因为他遇到红灯的次数为ξ,所以ξ=1表示他遇到红灯的次数为1,可能是第一个路口,有可能是其他的路口,所以A错误; ξ=5表示他遇到红灯的次数为5,也就是在5个路口都遇到了红灯,所以B错误;因为他遇到红灯的次数可能是5,4,3,2,1,0,所以C正确;因为ξ=0表示5个路口都是绿灯,所以D错误.‎ ‎3.甲乙两个同学在篮球场上练习定点投篮,甲先投,乙接着投,再由甲投,而后乙投,依次轮流下去,直到有人投中为止,设两个人投篮的总的次数为ξ,则事件“乙投篮的次数为5”可以表示为 (　　)‎ A.ξ=5 B.ξ=10‎ C.ξ=10或ξ=11 D.ξ=11或ξ=12‎ ‎【解析】选C.由题意,ξ=10表示乙第5次投篮,且乙投中,练习结束,ξ=11表示乙第5次投篮,且乙没有投中,由甲投中,练习结束.所以事件“乙投篮的次数为5”可以表示为 ξ=10或ξ=11.‎ ‎4.有20件产品,其中15件合格品,5件次品.现从中任意选取10件产品,用X表示这10件产品中的次品的件数,下列概率中等于的是 (　　)‎ - 6 -‎ A.P(X≤3) B.P(X=3)‎ C.P(X=7) D.P(X≤7)‎ ‎【解析】选B.B中P(X=3)=,因为X≤5,所以C中P(X=7)=0,D中P(X≤7)=1.A中P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3),所以只有B正确.‎ ‎5.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是 (　　)‎ A.6 B.7 C.10 D.25‎ ‎【解析】选C.X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共计10个.‎ ‎6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中随机地选出3个数,设这三个数的最小值为ξ,则事件“ξ=2”包含的基本事件数有________________个 (　　) ‎ A.21 B.42 C.56 D.84‎ ‎【解析】选A.因为选出3个数的最小值为ξ,所以事件“ξ=2”包含基本事件数等于从3,4,5,6,7,8,9这7个数字中选出2个数字的组合数=21.‎ ‎7.已知一个离散型随机变量X的分布列为 X ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P α β 则+的最小值为 (　　)‎ A.13 B.25 C.50 D.100‎ ‎【解析】选C.由已知和分布列的性质得0<α<1,0<β<1,α+β=,所以=13++≥13+2=25,所以+≥50,当且仅当=,即3α=2β时取等号,又因为α+β=,所以α=,β=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ - 6 -‎ ‎8.随机变量ξ的分布列为 ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.16‎ a2‎ ‎0.3‎ 则常数a=________________. ‎ ‎【解析】由离散型随机变量的分布列的性质有:‎ ‎0.16++a2++0.3=1.‎ 解得a=-(舍)或a=.‎ 答案:‎ ‎9.甲乙两个小朋友玩掷骰子游戏,记他们掷出的点数之差的绝对值为X,若P的值最大,则k的值为________________ ‎ ‎【解析】因为X的取值可以是0,1,2,3,4,5,基本事件空间中有36个基本事件,X=0包含6个基本事件,X=1包含10个基本事件,X=2包含8个基本事件,X=3包含6个基本事件,X=4包含4个基本事件,X=5包含2个基本事件,所以P的值最大时,X=1,即k的值为1.‎ 答案:1‎ ‎10.设随机变量ξ的概率分布为P=,k=1,2,3,4,则常数a=________________. ‎ ‎【解析】因为+++=1,‎ 所以=1,所以a=.‎ - 6 -‎ 答案: ‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为的事件是 (　　)‎ A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球 ‎【解析】选B.为只有一个白球的概率, 为有两个白球的概率.‎ ‎2.(5分)若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P a2‎ 则事件“ξ<7”的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.由分布列的性质可得+a2++=1,即5a2+a-4=0,解得a=-1,,因为≥0,所以a=,所以P=P+P=+=.‎ ‎3.(5分)若离散型随机变量X的分布列如表,则常数c的值为 (　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c2-c ‎3-8c A.或 B. C. D.1‎ ‎【解析】选C.由分布列的性质得 - 6 -‎ 由①得c=或c=,‎ 把c=代入②得9c2-c=,‎ 把c=代入②得9c2-c=>1,不合题意,舍去.‎ 把c=代入③得3-8c=,所以c=.‎ ‎4.(10分)有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法. ‎ ‎(1)求n的值.‎ ‎(2)求随机变量X的分布列.‎ ‎【解析】(1)因为当X=2时,有种坐法,‎ 所以=6,即=6,‎ n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.‎ ‎(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0,2,3,4,‎ 所以P(X=0)==,‎ P(X=2)===,‎ P(X=3)===,‎ P(X=4)=1---=,‎ - 6 -‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎5.(10分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. ‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列.‎ ‎【解析】(1)由题得:P(A)==.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)==,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P - 6 -‎