中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义25 锐角三角形（学生版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义25 锐角三角形（学生版）

专题 25 锐角三角形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 锐角三角形 锐角三角函数：如下图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B) 定 义 表达式 取值范围 关 系 正 弦 斜边 的对边AA sin c aA sin 1sin0  A (∠A 为锐角) BA cossin  BA sincos  1cossin 22  AA余 弦 斜边 的邻边AA cos c bA cos 1cos0  A (∠A 为锐角) 正 切 的邻边 的对边 Atan   AA b aA tan 0tan A (∠A 为锐角) 对 边 b ac 【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA 是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60° sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A 为锐角））： 1、 sin A=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。 2、 cos A=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。 正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。 正切的增减性：当 0°< <90°时，tan 随 的增大而增大， 【考查题型汇总】 考查题型一 利用锐角三角函数概念求三角函数值 1．（2018·南开大学附属中学中考模拟）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ） A． 3 3 B． 5 5 C． 2 3 3 D． 2 5 5 2．（2019·福建中考模拟）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ∠ ， 10AB  ， 8AC  ，则 sin A 等于（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3．（2017·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1），则 tanα的值是( ) A．2 B． 1 2 C． 5 5 D． 2 5 5 4．（2019·天津市红光中学中考模拟）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinB= 5 13 ，则 tanA 的值为（ ） A． 5 13 B． 12 13 C． 5 12 D．12 5 5．（2019·湖南中考模拟） Rt ABC 中， C 90   ，若 BC 2 ，AC 3 ，下列各式中正确的是 ( ) A． 2sinA 3  B． 2cosA 3  C． 2tanA 3  D． 2cotA 3  考查题型二 利用锐角三角函数概念求线段的长 1．（2018·辽宁中考模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝ 2 3 ，则 BC 的长为_____． 2．（2019·江苏中考真题）如图，在 ABC△ 中， 6 2BC   ， 45C  ， 2AB AC ，则 AC 的长 为________． 3．（2015·上海中考模拟）在 Rt ABC 中， 90C   ，如果 6AB  ， 2cos 3A  ，那么 AC  ； 4．（2019·广西中考模拟）Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ 3 5 ，AC＝6cm，那么 BC 等于_____． 考查题型三 通过特殊角的三角函数值进行计算 1．（2019·四川中考模拟）在△ABC 中，（cosA﹣ 1 2 ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝_____． 2．（2019·湖北中考真题）计算 31 27sin30 82 3       ___________． 3．（2019·湖北中考真题）计算： 0( 2019) 2cos60    ______． 4．（2019·湖北中考模拟）2﹣1﹣ 3 tan60°+（π﹣2011）0+ 1 2 - ＝_____． 5．（2018·四川中考真题）已知|sinA﹣ 1 2 |+ 2( 3 tan )B =0，那么∠A+∠B= ． 6.（2018·湖北中考真题）计算：  22 ×2﹣2﹣| 3 tan30°﹣3|+20180=_____． 考查题型四 等角代换法求锐角三角函数 1．（2019·浙江中考模拟）如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱 形的一个角（如∠O）为 60°，A，B，C，D 都在格点上，且线段 AB、CD 相交于点 P，则∠APC 的正切值 为_____． 2．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这 些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值为______. 考查题型五 通过参数法求锐角三角函数值 1．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE⊥BD，垂足为 F，则 tan∠BDE 的值是（ ） A． 2 4 B． 1 4 C． 1 3 D． 2 3 2．（2019·山西中考模拟）在 Rt ABC 中，∠C=90°， 3sin 5A  ，则 tan B 的值为（ ） A． 4 5 B． 3 5 C． 3 4 D． 4 3 3．（2016·湖南中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 4 5 ，AC＝6cm，则 BC 的长度为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 4．（2019·四川中考模拟）已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 3 5 ，则 tanB 的值为( ) A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 考查题型六 构造直角三角形求锐角三角函数值 1．（2019·广西中考模拟）∠BAC 放在正方形网格纸的位置如图，则 tan∠BAC 的值为（ ） A． 1 6 B． 1 5 C． 1 3 D． 1 2 2．（2019·湖北中考真题）如图，在5 4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， ABC 的顶点都在 这些小正方形的顶点上，则sin BAC 的值为（ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 4 5 3．（2019·浙江中考模拟）如图所示， ABC△ 的顶点是正方形网格的格点，则 sin A 的值为（ ） A． 1 2 B． 5 5 C． 2 5 5 D． 10 10 4．（2018·江西中考真题）如图，反比例函数   0ky kx   的图象与正比例函数 2y x 的图象相交于 A (1, a ), B 两点，点 C 在第四象限，CA ∥ y 轴， 90ABC   . (1)求 k 的值及点 B 的坐标； (2)求tanC 的值. 知识点二 解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（ a 2 + b 2 = c 2 ） 2. ∠A+∠B=90° 3. sin A= ∠A 所对的边 斜边 = a c4. cos A= ∠A 所邻的边 斜边 = b c5. tan A= ∠A 所对的边 邻边 = a b【考查题型汇总】 考查题型七 解直角三角形的方法 1．（2018·甘肃中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 BC 边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB ＝ 3 4 . (1)求 AC 和 AB 的长； (2)求 sin∠BAD 的值． 2．（2018·广水市广办中心中学中考模拟）已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，a+b=2+2 3 ，c=4，求锐角 A 的度 数． 考查题型八 解斜三角形方法 1．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC 中，BC＝12，tanA＝ 3 4 ，∠B＝30°；求 AC 和 AB 的长． 2．（2013·湖南中考真题）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= 1 3 ， AD=1． （1）求 BC 的长； （2）求 tan∠DAE 的值． 3．（2012·上海中考模拟）已知：如图，在 ABC 中， 6AB  ， 8BC  ， 60B   ．求： （1） ABC 的面积； （2） C 的余弦值． 考查题型九 利用解直角三角形相关知识解决视角相关问题 1．（2019·四川中考真题）2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都 市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD 的顶部C 的俯角为 35 ， 底部 D 的俯角为 45，如果 A 处离地面的高度 20AB  米，求起点拱门 CD 的高度.（结果精确到1米；参 考数据： sin35 0.57  ， cos35 0.82  ， tan35 0.70  ） 2．（2019·天津中考模拟）北京时间 2019 年 3 月 10 日 0 时 28 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运 载火箭，成功将中星 6C 卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C 处发射，当火箭达到 A 点 时，从位于地面雷达站 D 处测得 DA 的距离是 6km ，仰角为 42.4；1 秒后火箭到达 B 点，测得 DB的仰 角为 45.5.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70， tan45.5°≈1.02) (Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离 CD ； (Ⅱ)求这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是多少(结果精确到 0.01)？ 3．（2019·合肥市第四十二中学中考模拟）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60°．沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45°，已知山坡 AB 的坡度 i=1： 3 ，AB=10 米，AE=15 米．（i=1： 3 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比） （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求广告牌 CD 的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据： 3  1.414， 1.732） 4．（2019·辽宁中考模拟）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30°，测得大楼顶端 A 的仰角为 45°（点 B，C，E 在同一水平直线上）.已 知 AB=80m，DE=20m，求障碍物 B，C 两点间的距离.（结果保留根号） 考查题型十 利用解直角三角形相关知识解决方向角相关问题 1．（2019·河南中考模拟）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路．甲 勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45°，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7°，测得 AC=840m， BC=500m．请求出点 O 到 BC 的距离．参考数据：sin73.7°≈ 24 25 ，cos73.7°≈ 7 25 ，tan73.7°≈ 24 7 2．（2019·四川中考模拟）某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°，又继续航行 7 海 里后，在 B 处测得小岛 P 的方位是北偏东 60°，求此时轮船与小岛 P 的距离． 3．（2019·安徽中考模拟）如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60°的方向，轮船从 B 处继续向正东方向航行 20 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30°的方向.(参考数据： 3 ≈1.732.) (1)若小岛 A 到这艘轮船航行路线 BC 的距离是 AD，求 AD 的长； (2)已知在小岛周围 17 海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险? 考查题型十一 利用解直角三角形相关知识解决坡角、坡度相关问题 1．（2015·湖南中考模拟）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 ： ，堤高 BC=10m，则坡面 AB 的长 度是（ ） A．15m B． 2 C．20m D． 2．（2019·湖北中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形 , 3ABCD AD m ，坝高 6mAE DF  ，坡角 45  ， 30   ，求 BC 的长． 3．（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行 健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜坡 200AB  米，坡度为 1: 3 ；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 20AC  米后，斜坡 AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1: 4．求斜坡 CD 的长．（结果保留根号） 考查题型十二 利用解直角三角形相关知识解决高度问题 1．（2019·吉林中考模拟）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 22°，他正对着城楼前进 21 米到达 C 处，再登上 3 米高的楼台 D 处，并测得此时楼顶 A 的仰角 为 45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在 A，B 之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出 A， B 之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈ 3 8 ，cos22°≈ 15 16 ，tan22°≈ 2 5 ） 2．（2015·湖南中考真题）如图 1 是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图 2 所示的数学模 型，已知：A、B、D 三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m． （1）求点 B 到 AC 的距离； （2）求线段 CD 的长度． 3．（2019·浙江中考模拟）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将 绳子拉直钉在地上，末端恰好在 C 处且与地面成 60°角，小明拿起绳子末端，后退至 E 处，拉直绳子，此时 绳子末端 D 距离地面 1.6m 且绳子与水平方向成 45°角． （1）填空：AD________AC（填“＞”，“＜”，“=”）． （2）求旗杆 AB 的高度． （参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73，结果精确到 0.1m）． 4．（2019·天津中考模拟）如图，高楼顶部有一信号发射塔（ FM ），在矩形建筑物 ABCD 的 D C、 两点测 得该塔顶端 F 的仰角分别为 45 64.5 、 ，矩形建筑物高度 DC 为 22 米.求该信号发射塔顶端到地面的距离 FG .（精确到 1m）（参考数据：sin64.5 0.90 cos64.5 0.43   ， ，tan64.5 2.1  ） 5．（2019·天津中考模拟）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 49，测得底部 C 处的俯角为58 ，求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC (结果取整数). 参考数据： tan 49 1.15  ， tan58 1.60  . 6．（2019·四川中考真题）如图，为了测得某建筑物的高度 AB ，在 C 处用高为 1 米的测角仪CF ，测得该 建筑物顶端 A 的仰角为 45°，再向建筑物方向前进 40 米，又测得该建筑物顶端 A 的仰角为 60°．求该建筑 物的高度 AB ．（结果保留根号） 7．（2019·湖北中考真题）如图，为了测量一栋楼的高度 OE ，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后 退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E ；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到 楼的顶部 E（O A B C D, , , , 在同一条直线上），测得 2 2.1AC m BD m ， ，如果小明眼睛距地面髙度 BF ， DG 为1.6m ，试确定楼的高度 OE ．