专题04 函数的应用-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

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专题04 函数的应用-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

专题04 函数的应用 ‎2017年高考数学(文)备考学易黄金易错点 ‎1.(2016·天津)已知函数f(x)=sin2+sinωx- (ω>0,x∈R).若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  )‎ A. B.∪ C. D.∪ 答案 D 解析 f(x)=+sinωx- ‎=(sinωx-cosωx)=sin.‎ 因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,‎ 所以>2π-π,所以>π,所以0<ω<1.‎ 当x∈(π,2π)时,ωx-∈,若函数f(x)在区间(π,2π)内有零点,则ωπ-0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C.∪ D.∪ 答案 C 如图所示,在同一坐标系中作出函数y=|f(x)|和y=2-x的图象.‎ 由图象可知,在0,+∞)上,|f(x)|=2-x有且仅有一个解.故在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x同样有且仅有一个解.当3a>2,即a>时,由x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中x<0),得x2+(4a-2)x+3a-2=0(其中x<0),则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,‎ 解得a=或a=1(舍去);‎ 当1≤3a≤2,即≤a≤时,由图象可知,符合条件.‎ 综上所述,a∈∪.‎ 故选C.‎ ‎3.(2016·山东)已知函数f(x)=其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.‎ 答案 (3,+∞)‎ 解析 如图,‎ 当x≤m时,f(x)=|x|;当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)为增函数,若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.‎ ‎4.(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.‎ 答案  解析 由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h=1,‎ 则体积V=Sh=××1=.‎ ‎5.已知定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实根x1,x2,x3,则x+x+x等于(  )‎ A.13 B. C.5 D. 答案 C 解析 作出f(x)的图象,如图所示.‎ 由图象知,只有当f(x)=1时有3个不同的实根;‎ ‎∵关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实根x1,x2,x3,‎ ‎∴必有f(x)=1,从而x1=1,x2=2,x3=0,‎ 故可得x+x+x=5,故选C.‎ ‎6.已知定义在R上的函数f(x)满足:①图象关于(1,0)点对称;②f(-1+x)=f(-1-x);③当x∈-1,1]时,f(x)=则函数y=f(x)-|x|在区间-3,3]上的零点的个数为(  )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ 答案 A ‎7.若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (0,1]‎ 解析 当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.‎ 因为函数f(x)有两个不同的零点,‎ 则当x≤0时,‎ 函数f(x)=2x-a有一个零点,‎ 令f(x)=0得a=2x,‎ 因为0<2x≤20=1,所以00,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称为“囧函数”,若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|的交点个数为n,则n=________.‎ 答案 4‎ 解析 由题意知,当a=1,b=1时,‎ y== 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.‎ ‎9.某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车.(不足1小时部分算1小时,结果精确到1小时)‎ 答案 4‎ ‎10.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?‎ 解 设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则 y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx ‎=-x2-2(a-70)x]+2ab.‎ 依题意得2a-x≥·2a,‎ 所以0,即1401,01,00,‎ 由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.‎ ‎(2)当x>2时,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2;‎ 当0≤x≤2时,g(x)=3-x,f(x)=2-x;‎ 当x<0时,g(x)=3-x2,f(x)=2+x.‎ 由于函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)-g(x)=0的根的个数.‎ 当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+5=0,其根为x=或x=(舍去);‎ 当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=3-x,无解;‎ 当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x-1=0,其根为x=或x=(舍去).‎ 所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.‎ ‎【变式探究】(1)函数f(x)=lgx-的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,10)‎ ‎(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案 (1)C (2)B ‎【名师点睛】‎ 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有:(1)函数零点值大致存在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.‎ ‎2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.‎ 易错起源2、函数的零点与参数的范围 例2、(1)对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=设f(x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则k的取值范围是(  )‎ A.(-2,1) B.0,1]‎ C.-2,0) D.-2,1)‎ 答案 D 解析 解不等式x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3,‎ 所以f(x)= 函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y=f(x)的图象和直线y=-k恰有三个不同的交点.‎ 如图,所以-1<-k≤2,故-2≤k<1.‎ ‎(2)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).‎ ‎①若g(x)=m有零点,求m的取值范围;‎ ‎②确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.‎ 解 ①∵g(x)=x+≥2=2e(x>0),当且仅当x=时取等号,∴当x=e时,g(x)有最小值2e.‎ ‎∴g(x)=m有零点,只需m≥2e.‎ ‎∴当m∈2e,+∞)时,g(x)=m有零点.‎ ‎②若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.‎ 如图,作出函数g(x)=x+(x>0)的大致图象.‎ ‎∵f(x)=-x2+2ex+m-1‎ ‎=-(x-e)2+m-1+e2,‎ ‎∴其对称轴为x=e,f(x)max=m-1+e2.‎ 若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,则m-1+e2>2e,即当m>-e2+2e+1时,g(x)-f(x)=0有两个相异实根.‎ ‎∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).‎ ‎【变式探究】(1)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是_________________.‎ ‎(2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.‎ 答案 (1)(-∞,2ln2-2] (2)(0,2)‎ 解析 (1)f′(x)=ex-2,当x∈(-∞,ln2)时,f′(x)<0;当x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)min=f(ln2)=2-2ln2+a.由于所以f(x)有零点当且仅当2-2ln2+a≤0,所以a≤2ln2-2.‎ ‎(2)将函数f(x)=|2x-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2x-2|的图象与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.‎ 由f(x)=|2x-2|-b=0,‎ 得|2x-2|=b.‎ 在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.‎ 则当00)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过20,则q(x)=;若x大于或等于180,则销售量为零;当200,f(x)单调递增,‎ 当80180时,f(x)=0.‎ 答 当x等于80元时,总利润取得最大值240000元.‎ ‎【变式探究】(1)国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,则他的稿费为(  )‎ A.3000元 B.3800元 C.3818元 D.5600元 ‎(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元.‎ 答案 (1)B (2)4050‎ ‎(2)设每辆车的月租金为x(x>3000)元,则租赁公司月收益为y= (100-)·(x-150)-×50,整理得y=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050.‎ 所以当x=4050时,y取最大值为307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.‎ ‎(2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.‎ ‎1.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点可能落在的区间为(  )‎ A.(0,1) B.(2,3)‎ C.(3,4) D.(4,5)‎ 解析:∵函数f(x)=|x-2|-lnx,‎ ‎∴f(1)=1>0,f(2)=-ln2<0,f(3)=1-ln3<0,f(4)=2-ln4>0,f(5)=3-ln5>0,∴f(1)·f(2)<0,f(3)f(4)<0.∴函数的零点在(1,2),(3,4)上,故选C.‎ 答案:C ‎2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在区间为(  )‎ A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)‎ C.(1.5,2) D.不能确定 解析:∵函数f(1.5)·f(1.25)<0,由零点存在定理,方程的根落在区间(1.25,1.5).故选B.‎ 答案:B ‎3.(2016·黑龙江哈师大附中期中)关于x的方程|x|-a-1=0有解,则a的取值范围是(  )‎ A.(0,1] B.(-1,0]‎ C.1,+∞) D.(0,+∞)‎ 解析:∵关于x的方程|x|-a-1=0有解,∴函数y=|x|的图象与直线y=a+1有交点,根据指数函数的单调性可知:0<|x|≤1,∴方程有解只需00.∴f(0)f(1)<0,‎ ‎∴函数f(x)=2ex+3x-a的零点所在的区间是(0,1).故选C.‎ 答案:C ‎6.设函数f(x)=ex+x-2的零点为x1,函数g(x)=lnx+x2-3的零点为x2,则(  )‎ A.g(x1)<0,f(x2)>0‎ B.g(x1)>0, f(x2)<0‎ C.g(x1)>0,f(x2)>0‎ D.g(x1)<0,f(x2)<0‎ 答案:A ‎7.已知函数f(x)=-x-+2e有且只有一个零点,则k的值为(  )‎ A.e+ B.e2+ C.1 D.e 解析:函数的定义域为(0,+∞),令-x-+2e=0,即方程-x2+2ex=k只有一个解,设g(x)=-x2+2ex,则g′(x)=+2(e-x),当x>e时,g′(x)<0;当00,故当x=e时,g(x)取得最大值g(e)=+e2,又-x2+2ex=k只有一个解,故k=+e2,故选B.‎ 答案:B ‎8.已知函数f(x)=关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的解,则b,c满足的条件是(  )‎ A.b<0,c<0 B.b<0,c=0‎ C.b>0,c=0 D.b>0,c<0‎ 解析:作出函数f(x)的图象如图所示,设f(x)=t,当t=0时,方程有3个根;当t>0时,方程有4个根,当t<0时,方程无解.∴要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解,关于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+c=0等价为t2+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根.∴c=0,此时t2+bt=t(t+b)=0,则另外一个根为t=-b,即f(x)=-b>0,即b<0,c=0.故选B.‎ 答案:B ‎9.已知f(x)=kx-|x-1|有两个不同的零点,则实数k的取值范围是__________.‎ 答案:(0,1)‎ ‎10.函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为__________.‎ 解析:函数f(x)=2sinxsin-x2‎ 的零点个数等价于方程2sinxsin-x2=0的根的个数,即函数g(x)=2sinxsin=2sinxcosx=sin2x与h(x)=x2的图象交点个数.于是,分别画出其函数图象如下图所示,由图可知,函数g(x)与h(x)的图象有2个交点.‎ 答案:2‎ ‎11.已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)在x=0处的切线过点(1,0),求a的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在(-1,+∞)上不存在零点,求a的取值范围;‎ ‎(3)若a=1,设函数g(x)=+,求证:当x≥0时,g(x)≥1.‎ 解:(1)f(x)=ex-ax的导数为f′(x)=ex-a,函数f(x)在x=0处的切线斜率为1-a,又切线过点(0,1),则切线方程为y-1=(1-a)x,又切线过点(1,0),可得1-a=-1,解得a=2.‎ ‎(2)函数f(x)在(-1,+∞)上不存在零点,则方程ex-ax=0无实根,即a=在x>-1时无解,设h(x)=,即有h′(x)=,当-11时,h′(x)>0,h(x)单调递增.则x>0时,在x=1处,h(x)取得最小值h(1)=e,-10,则G(x)在0,+∞)上单调递增,即G(x)≥G(0)=0,即F′(x)≥0,即F(x)在0,+∞)上单调递增,则F(x)≥F(0)=0,即ex(3x-4)+x+4≥0,故当x≥0时,g(x)≥1.‎ ‎12.已知函数f(x)=ex-1-ax,a∈R.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的单调区间;‎ ‎(2)试探究函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.‎ ‎(3)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,且f(g(x))0,∴函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增;②当a>0时,f ′(x)>0⇒x>lna,f ′(x)<0⇒x0时,函数f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),单调递减区间为(-∞,lna).‎ ‎(2)函数F(x)=f(x)-xlnx的定义域为(0,+∞),由F(x)=0,得a=-lnx,x>0.令h(x)=-lnx,x>0,则h′(x)=,x>0,∴h′(x)>0⇒x>1,h′(x)<0⇒00,有f(x)>f(lna)=0,即ex-1>x⇔>1.∴当x>0且x趋向0时,h(x)趋向+∞.随着x>0的增长,y=ex-1的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x2的增长速度,而y=lnx的增长速度则会越来越慢.故当x>0且x趋向+∞时,h(x)趋向+∞.得到函数h(x)的草图如图所示.故①当a>e-1时,函数F(x)有两个不同的零点;②当a=e-1时,函数F(x)有且仅有一个零点;③当a
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