数学理卷·2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试（2017

数学理卷·2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试（2017

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 ‎ 数学试卷（理工类） 2017.11‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知实数满足条件则的最大值为 ‎ A. 12 B. 10 C. 8 D. 6‎ ‎3.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点 A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 ‎ B. 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 ‎ D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 ‎4. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：‎ ‎①数列中的最大项为 ②数列的公差 ‎③ ④‎ 其中正确的序号是（ ）‎ A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④‎ ‎6. 如图，在直角梯形中，，,是的中点,,则 A. B. C. D. ‎ ‎（‎ ‎7. 袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. ‎ 甲说：“我无法确定.”‎ 乙说：“我也无法确定.”‎ 甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” ‎ 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 ‎ A．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 ‎8. 已知函数与函数在区间都为减函数，设，且，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. ‎ ‎9. 执行如下图所示的程序框图，则输出的值为 .‎ 开始 i=1，S=2‎ 结束 i=i+1‎ S>14?‎ 输出i 是 否 S=S+2i ‎ （第9题图） ‎ ‎10. 已知，且，则的最小值是 . ‎ ‎11. 已知函数若的图象与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 .‎ ‎12. 已知函数同时满足以下条件：‎ ‎ ① 定义域为； ‎ ‎ ② 值域为；‎ ‎ ③ .‎ 试写出一个函数解析式 . ‎ ‎13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S. 若罐头盒的底面半径为，则罐头盒的体积与的函数关系式为 ；当 时，罐头盒的体积最大. ‎ ‎14. 将集合表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合的5个三元子集 . （只写出一组）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 已知数列的前项和为( )，满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎16. (本小题满分13分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 在中，，.‎ ‎ （Ⅰ）试求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，试求的面积. ‎ ‎ ‎ ‎18. (本小题满分14分)‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设，其中为函数的导函数.判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.‎ ‎19. (本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：‎ ①；②当时，().‎ 记这样的数列个数为.‎ ‎（I）写出的值；‎ ‎（II）证明不能被4整除. ‎ 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试 数学答案（理工类）2017.11‎ 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B C A B D D C 二、 填空题： ‎ ‎9. 5 10. 3 11. ‎ ‎12. 或或（答案不唯一）‎ ‎13. ； ‎ ‎14. 24;, ,,,（答案不唯一）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 解：（Ⅰ）当时，.‎ 当时，,‎ ‎，即 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.‎ 故, . ┈┈ 8分 ‎（Ⅱ）由已知得.‎ ‎ 因为， ‎ 所以是首项为0，公差为的等差数列.‎ 故的前项和. ┈┈ 13分 ‎16. (本小题满分13分)‎ 解：因为，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅰ）函数的最小正周期为. ┈┈ 8分 ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以. ┈┈ 13分 ‎17. (本小题满分13分) ‎ 解：（Ⅰ）因为，，所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以.‎ 所以. ┈┈ 7分 ‎（Ⅱ）因为，，，由余弦定理得 ‎ .‎ 所以，.‎ 所以△的面积. ┈┈ 13分 ‎18. (本小题满分14分)‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为..‎ ① 当时，令，解得：或，为减函数；‎ 令，解得：，为增函数.‎ ② 当时，恒成立，函数为减函数；‎ ③ 当时，令，解得：或，函数为减函数；‎ 令，解得：，函数为增函数.‎ 综上，‎ 当时，的单调递减区间为；单调递增区间为；‎ 当时， 的单调递减区间为 ；‎ 当时，的单调递减区间为；单调递增区间为. ‎ ‎┈┈ 8分 ‎（Ⅱ）在定义域内不为单调函数，以下说明：‎ ‎.‎ 记，则函数为开口向上的二次函数.‎ 方程的判别式 恒成立.‎ 所以，有正有负. 从而有正有负.‎ 故在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分 ‎19. (本小题满分14分)‎ 解：函数的定义域为，‎ ‎（Ⅰ），又，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎.‎ 即. ┈┈ 4分 ‎（Ⅱ）“要证明”等价于“”.‎ 设函数.‎ 令，解得.‎ ‎ ‎ 因此，函数的最小值为.故.‎ 即. ┈┈ 9分 ‎（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：‎ 由（Ⅱ）可知，所以.‎ 设，则.‎ 令得；令得.‎ 所以在上为增函数，上为减函数.‎ 所以当时，恒成立,当且仅当时，.‎ 又因为， 所以恒成立. ‎ 故曲线位于轴下方. ┈┈ 14分 ‎20. (本小题满分13分)‎ ‎（Ⅰ）解：. ┈┈ 3分 ‎（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的首项最小数列.‎ 对于个数的首项最小数列，由于，故或3.‎ ‎（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；‎ ‎（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；‎ ‎（3）若则或. 设是这数列中第一个出现的偶数，则前项应该是，是或，即与是相邻整数.‎ 由条件②，这数列在后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在之后，故后的各项都小于它.‎ 这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.‎ 综上，有递推关系：，.‎ 由此递推关系和（I）可得，各数被4除的余数依次为：‎ ‎1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…‎ 它们构成14为周期的数列，又，‎ 所以被4除的余数与被4除的余数相同，都是1，‎ 故不能被4整除. ┈┈ 13分