湖南省攸县二中2019届高三上学期期中考试(第四次月考)数学(文)试卷

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湖南省攸县二中2019届高三上学期期中考试(第四次月考)数学(文)试卷

攸县二中2019届高三第四次月考数学试题 (文科)‎ 一、 选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合( )‎ A.[1,2] B.(-1,3) C.{1} D.{l,2}‎ ‎2.如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于( )‎ A.-6 B. C. D.2‎ ‎3.实数x,y满足,且,则z的最大值为( )‎ A. -7 B. -1 C.5 D.7‎ ‎4.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是( )‎ ‎ ‎ A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B.支出最高值与支出最低值的比是6:1‎ C.第三季度平均收入为50万元 D.利润最高的月份是2月份 ‎5.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么在空白框中填入及最后输出的值分别是( )‎ A.和6 B.和6 ‎ C.和8 D.和8 ‎ ‎7.过双曲线(a>0,b>0)的左焦点F1(-1,0)作x轴的垂线,垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则双曲线的离心率为( )‎ A. B.4 C.3 D.2‎ ‎8.已知侧棱长为的正四棱锥P—ABCD的五个顶点都在同一个球面上,且球心O在底面正方形ABCD上,则球O的表面积为( )‎ A.4π B. 3π C. 2π D. π ‎9.函数的部分图象大致是( )‎ ‎10.若抛物线x2=y在x=1处的切线的倾斜角为θ,则sin2θ=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.将函数()的图象按向量平移后所得的图象关于点 中心对称,则的值可能为( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1 ‎ ‎12.已知函数,若函数有个零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.已知向量,,若向量与垂直,则m= .‎ ‎14.已知等差数列{an}中,a3+a7=16,S10=85,则等差数列{an}公差为   .‎ ‎ ‎ ‎16.定义在R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥‎ g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.给出如下命题:‎ ‎①函数g(x)=﹣2是函数f(x)=的一个承托函数;‎ ‎②函数g(x)=x﹣1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数;‎ ‎③若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e];‎ ‎④值域是R的函数f(x)不存在承托函数;‎ 其中,所有正确命题的序号是  .‎ 三、解答题 (本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.若数列的前项和满足.‎ ‎(1)求证:数列是等比数列;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18.如图1,是边长为3的等边三角形,在边上,在边上,且.将沿直线折起,得四棱锥,如图2.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若平面底面,‎ 求三棱锥的体积.‎ ‎19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试,从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩x与物理成绩y如下表:‎ 数学成绩x ‎145‎ ‎130‎ ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ 物理成绩y ‎110‎ ‎90‎ ‎102‎ ‎78‎ ‎70‎ 数据表明y与x之间有较强的线性关系.‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)该班一名同学的数学成绩为110分,利用(1)中的回归方程,估计该同学的物理成绩;‎ ‎(3)本次考试中,规定数学成绩达到125分为优秀,物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且除去抽走的5名同学外,剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?‎ 参考数据:回归直线的系数,.‎ ‎,.‎ ‎20.已知圆E:x2+(y﹣)2=经过椭圆C:(a>b>0)的左右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且=λ(λ≠0)‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当三角形AMN的面积取得最大值时,求直线l的方程.‎ ‎ ‎ ‎(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;‎ ‎(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分 ‎22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos(θ﹣).‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;‎ ‎(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.‎ 攸县二中2019届高三第四次月考文科数学试题答案 一、选择题:1--5 ACCDB 6--10 DDADA 11--12 CA 二、填空题 ‎13.1 14.1 15.4 16.②③‎ 三、解答题 ‎ ‎17.(1) 当时,,解得……1分 当时,由题意, ‎ ‎,即……3分 所以,即 ‎ 数列是首项为,公比为2的等比数列……6分 ‎(2)由(1),,所以……8分 ‎……10分 ‎……12分 ‎18.(1)在图1中,由题意知,‎ 在中,由余弦定理知 所以,‎ 所以……3分 在沿直线折起的过程中,与的垂直关系不变,‎ 故在图2中有 又,所以平面,所以 ‎.……5分 ‎(2)如图2,因为平面底面,‎ 由(1)知,且平面底面,‎ 所以底面,‎ 所以为三棱锥的高,且……8分 又因为在图1中,‎ ‎……10分 所以 故三棱锥的体积为.……12分 ‎19.((1)由题意可知,故.……3分 ‎,故回归方程为.……4分 ‎(2)将代入上述方程,得. ……6分 ‎(3)由题意可知,该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. ‎ 抽出的5人中,数学优秀但物理不优秀的共1人,‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.……8分 于是可以得到列联表为:‎ ‎……10分 于是,‎ 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下,可以认为数学优秀与物理优秀有关.……12分 ‎20.解:(1)如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1,F2,‎ ‎∴c2+(0﹣)2=,解得c=,.……1分 ‎∵F1,E,A三点共线,∴F1A为圆E的直径,则|AF1|=3,‎ ‎∴AF2⊥F1F2,∴=﹣=9﹣8=1,‎ ‎∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2.……3分 由a2=b2+c2得,b=,‎ ‎∴椭圆C的方程是;.……5分 ‎(2)由(1)得点A的坐标(,1),‎ ‎∵(λ≠0),∴直线l的斜率为kOA=,.……6分 则设直线l的方程为y=x+m,设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由得,,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=m2﹣2,‎ 且△=2m2﹣4m2+8>0,解得﹣2<m<2,.……8分 ‎∴|MN|=|x2﹣x1|=‎ ‎==,.‎ ‎∵点A到直线l的距离d==,……10分 ‎∴△AMN的面积S==‎ ‎=≤=,‎ 当且仅当4﹣m2=m2,即m=,直线l的方程为.……12分 ‎21.解:(Ⅰ)由已知得f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),‎ ‎∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,‎ ‎∴f′(x)=﹣a+≤0在(1,+∞)上恒成立,‎ ‎﹣a≤﹣=(﹣)2﹣,……2分 令g(x)=(﹣)2﹣,‎ 故当=,即x=e2时,‎ g(x)的最小值为﹣,∴﹣a≤﹣,即a≥‎ ‎∴a的最小值为.……4分 ‎(Ⅱ)命题“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”,‎ 等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”,……6分 由(Ⅰ)知,当x∈[e,e2]时,lnx∈[1,2],∈[,1],‎ f′(x)=﹣a+=﹣(﹣)2+﹣a,‎ f′(x)max+a=,‎ 问题等价于:“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤”,……8分 ‎①当﹣a≤﹣,即a时,由(Ⅰ),f(x)在[e,e2]上为减函数,‎ 则f(x)min=f(e2)=﹣ae2+≤,∴﹣a≤﹣,‎ ‎∴a≥﹣.……10分 ‎②当﹣<﹣a<0,即0<a<时,∵x∈[e,e2],∴lnx∈[,1],‎ ‎∵f′(x)=﹣a+,由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数,‎ ‎∴存在唯一x0∈(e,e2),使f′(x0)=0且满足:‎ f(x)min=f(x0)=﹣ax0+,‎ 要使f(x)min≤,∴﹣a≤﹣<﹣=﹣,‎ 与﹣<﹣a<0矛盾,∴﹣<﹣a<0不合题意.‎ 综上,实数a的取值范围为[﹣,+∞).……12分 ‎(二)选考题:共10分 ‎22.解:(1)对于曲线C2有,即,‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为,其表示一个圆.……4分 ‎(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得:,‎ ‎∴t1+t2=2sinα,t1t2=﹣13……7分 ‎,‎ 因此sinα=0,|AB|的最小值为,sinα=±1,最大值为8.……10分
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