数学文卷·2017届北京市石景山区高三3月统一练习（2017

数学文卷·2017届北京市石景山区高三3月统一练习（2017

石景山区2017年高三统一练习 数学（文）试卷 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，那么等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．以为圆心且与直线相切的圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．下列函数中，偶函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎4．设，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．‎ 例如，可将3次多项式改写为：然后进行求值．‎ 运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎7．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎8．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（ ）‎ A．19 B．38 C．51 D．57‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．若复数是纯虚数，则实数 ．‎ ‎10．已知实数满足，那么的最大值是 ．‎ ‎11．若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则 ． ‎ ‎12．已知函数．若，则的取值范围是 ．‎ ‎13．若函数的部分图象如图所示，则 ．‎ ‎14．在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，某14座城市在74城的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为某三座城市．‎ 从排名情况看，‎ ‎① 在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是 ；‎ ‎②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． ‎ ‎15．数列中，，（是常数，），且，，成公比不为1的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式．‎ ‎16．已知分别是的三个内角的三条对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值． ‎ ‎17．“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：‎ 累积净化量（克）‎ ‎12以上 等级 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ 为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中．按照，，，，均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？‎ ‎（Ⅲ）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．‎ ‎18．如图，在中，为直角，．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）过原点作曲线的切线，求切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论曲线与曲线公共点的个数．‎ ‎20．已知椭圆过点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形．记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：DABAA 6-8：CCD ‎ 二、填空题 ‎9．1 10．3 11．4 12． 13．3 14．乙，二月份 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，．‎ 依题意，，，成公比不为1 的等比数列，‎ ‎∴，即：，‎ 化简，得：，‎ 解得，或．‎ 由于公比不为1，因此，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．‎ 因此，‎ ‎，（，且）‎ ‎“叠加”：（，且）．‎ ‎∵∴时也满足．‎ 故，数列的通项公式为：（）．‎ ‎16．解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 又因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，‎ 所以且，‎ 故 ‎．‎ 又，，‎ 所以当即时，的最大值为1．‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为之间的数据一共有6个，‎ 再由频率分布直方图可知：落在之间的频率为．‎ 因此，．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在之间共：台，‎ 又因为在之间共4台，‎ ‎∴落在之间共28台，‎ 故，这批空气净化器等级为的空气净化器共有560台．‎ ‎（Ⅲ）设“恰好有1台等级为”为事件 依题意，落在之间共有6台．记为：，属于国标级有4台，我们记为：，‎ 则从中随机抽取2个，所有可能的结果有15种，它们是：，‎ 而事件的结果有8种，它们是：‎ ‎．‎ 因此事件的概率为．‎ ‎18．（Ⅰ）证明：因为，且，‎ 所以，同时，‎ 又，所以面．‎ 又因为，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：平面，又平面，‎ 所以，‎ 又因为，所以．‎ 又因为，所以平面．‎ 所以，．‎ 依题意，．‎ 所以，．‎ ‎（Ⅲ）分别取的中点，并连接，‎ 因为平面平面，所以平面与平面的交线平行于，因为是中点，所以平面与平面的交线是的中位线．同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面．‎ 即：．‎ 由（Ⅰ）可知：平面，所以，‎ 又∵，∴．‎ ‎∴四边形是直角梯形．‎ 在中，∴．‎ ‎，，．‎ ‎∴．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意，设切点为，由题意可得 ‎，即，解得，即切点．‎ 所以，所以切线方程为．‎ ‎（Ⅱ）当，时，曲线与曲线的公共点个数 即方程根的个数．‎ 由得．‎ 令，则，令，解得．‎ 随变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎2‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 其中．所以为在的最小值．‎ 所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：‎ 当时，有0个公共点；当时，有1个公共点；当时，有2个公共点．‎ ‎20．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．‎ 因为点在椭圆上，所以．故．‎ 又因为，所以，．‎ 所以椭圆的标准方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设，，线段中点为．‎ 联立和，得：．‎ 由，可得 所以，．‎ 所以中点为．‎ 弦长，‎ 又直线与轴的交点，‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以、两点间距离为定值．‎ ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎