江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第15次周考数学（文）试题

江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第15次周考数学（文）试题

石城中学2020届高三下学期第15次周考 数学（文）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下列命题中真命题的是 ‎ A．若为假命题，则p，q均为假命题 B．“”是“”的充要条件 C．命题：若，则或的逆否命题为：若或，则 D．对于实数x，y，p：，q：或，则p是q的充分不必要条件 ‎2．设复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）‎ A．8 B．‎4 C．2 D．1‎ ‎6．函数（）的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知曲线(，且a为常数)在点与处的切线互相平行，则直线恒过定点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎9．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎10．设数列的前项和为，且，（），则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，给出下面三个结论：‎ ‎① 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；‎ ‎② 函数没有最大值，而有最小值；‎ ‎③ 函数在区间上不存在零点，也不存在极值点．‎ 其中，所有正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎12．已知函数，定义域为，且对，，当时都有恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13．等比数列中，,函数，则__________．‎ ‎14．若变量满足约束条件，且的最小值为，则__________．‎ ‎15．给出以下四个命题：‎ ‎①设是空间中的三条直线,若,,则.‎ ‎②在面积为的的边上任取一点,则的面积大于的概率为.‎ ‎③已知一个回归直线方程为,则.‎ ‎④数列为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数.‎ 其中正确命题的充号为________.（把所有正确命题的序号都填上）‎ ‎16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为‎6cm，高为‎18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_____cm2.‎ 三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.‎ ‎(一)必答题（每题12分，共60分）‎ ‎17．如图，在直三棱柱中，，是的中点，. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积。‎ ‎18．已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数．‎ ‎（1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值；‎ ‎（2）若，(，)，，(0，)，求的值．‎ ‎19．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：‎ ‎（I）根据散点图判断在推广期内，与（c，d为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（I）的判断结果求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.‎ 参考数据：‎ 其中，‎ ‎4‎ ‎62‎ ‎1.54‎ ‎2535‎ ‎50.12‎ ‎140‎ ‎3.47‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，。‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎20．已知椭圆：（）．下面表格所确定的点中，恰有三个点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为坐标原点，点，分别为的上､下顶点，直线经过的右顶点，且与的另一个公共点为，直线，相交于点，若与轴的交点异于，，证明为定值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝axex，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．‎ ‎（Ⅰ）求切线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）过曲线上一点作直线与曲线交于两点，中点为，，求的最小值.‎ ‎23．已知，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.‎ 数学（文）答案 一、单选题 ‎ D ， A ， A　， C B，A ， B ， B， D ， B， D， A ‎ 二、 填空题 或， －2，②③，‎ ‎.三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）连结，交于点，连结.‎ 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，‎ 所以为的中点，又为的中点，所以，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为，为锐角，‎ 所以为异面直线和所成的角，所以由条件知，‎ 在中，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 又平面，平面，，所以，‎ ‎， ，‎ 所以.‎ ‎18．（1）因为向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，－sinx)，‎ 所以f(x)＝·＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋．‎ 因为f()＝1，所以cosx＋＝1，即cosx＝．又因为x∈(0，π) ，所以x＝，所以tan(x＋)＝tan(＋)＝＝－2－． ‎ ‎（2）若f(α)＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－．‎ 因为α∈(，)，所以2α∈(π，)，所以sin2α＝－＝－． ‎ 因为sinβ＝，β∈(0，)，所以cosβ＝＝， ‎ 所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－)×－(－)×＝． ‎ 又因为2α∈(π，)，β∈(0，)，所以2α＋β∈(π，2π)，‎ 所以2α＋β的值为．‎ ‎19．解：（I）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型.‎ ‎（Ⅱ）因为，两边取常用对数得：,‎ 设 ‎ ‎ ,‎ 把样本数据中心点代入得：，‎ ‎ ，‎ 则所以y关于x的回归方程为，‎ 把代入上式得：，‎ 故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347.‎ ‎20.解：（1）点和点关于原点对称，此两点必在椭圆上，‎ 故有①， 将点代入中得，，解得：，再将代入①中得：，解得：；‎ 再将点代入中得，②，联立①②得：，显然无解；‎ 综上，，，所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）由题意作图如下：‎ 设直线l的方程为：，由条件知：，点，点，点，‎ 则点，向量，‎ 设点，‎ 联立直线l与椭圆E的方程，消去y得：，所以，‎ 直线AC的方程为：③，直线BD的方程为：④，‎ 设点，由③④，得：，又点在直线l上，所以：‎ ‎，‎ 则向量，所以，‎ 故为定值.‎ ‎21．解：（Ⅰ）∵f′（x）＝aex（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得，‎ 即，解得a，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率g′（1）＝4，‎ ‎∴切线l的方程为y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝2xex﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝2kxex﹣（x2+2x﹣1），‎ 即h（x）≥0，对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h（x）min≥0，‎ ‎∴h′（x）＝2k（x+1）ex﹣2（x+1）＝2（x+1）（kex﹣1），‎ ‎①当k≤0时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2ke﹣2＜0，显然h（x）≥0不恒成立，‎ ‎②当k＞0时，h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣lnk，‎ ‎（i）当﹣lnk＜﹣1时，即k＞e时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，‎ 又h（x）min＝h（﹣1）20，显然h（x）≥0不恒成立，‎ ‎（ii）当﹣lnk＝﹣1时，即k＝e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，‎ ‎∴h（x）min＝h（﹣1）20，即h（x）≥0恒成立，‎ ‎（iii）当﹣lnk＞﹣1时，即0＜k＜e时，‎ 当x∈[﹣1，﹣lnk）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，‎ ‎∴h（x）min＝h（﹣lnk）＝-2lnk﹣（ln2k﹣2lnk﹣1）＝1﹣ln2k≥0，解得k≤e，∴k＜e，‎ 综上所述得：k≤e．‎ ‎22．解：（1）已知曲线的参数方程：（为参数），‎ 由，得，‎ 即，又，两式相除得：，整理得，‎ 代入，得，‎ 整理得，即为曲线的普通方程.‎ ‎（2）设圆心到直线的距离为，‎ 则，∴.由于，‎ 当最小时，最小，因为的最小值为圆心到直线的距离，‎ 所以，所以.‎ ‎23．解:（1），，‎ 当时，不成立，即；‎ 当时，，解得，即；‎ 当时，恒成立，即.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎，成立，‎ ‎，是开口向上的抛物线，其在端点处取得最大值，‎ ‎，解得，‎ 故的取值范围.‎