2020-2021年新高三数学一轮复习训练：函数的图象
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：函数的图象
作函数的图象
1.分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解 (1)先作出函数 y＝lg x 的图象，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得函数 y＝|lg x|
的图象，如图①实线部分.
(2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝sin|x|为偶函数，图象关于 y 轴对
称，其图象如图②.
2.若函数 y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数 y＝f(4－x)的图象一定经过点________.
解析 由于函数 y＝f(4－x)的图象可以看作 y＝f(x)的图象先关于 y 轴对称，再向右平移 4 个单
位长度得到.点(1，1)关于 y 轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移 4 个单位长度.
所 以函数 y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).
答案 (3，1)
函数图象的辨识
1.(2018·浙江卷)函数 y＝2|x|·sin 2x 的图象可能是( )
解析 设 f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为 R 且关于坐标原点对称，又 f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－
f(x)，所以 y＝f(x)是奇函数，故排除选项 A，B；令 f(x)＝0，所以 sin 2x＝0，所以 2x＝
kπ(k∈Z)，即 x＝kπ
2 (k∈Z)，故排除选项 C.故选 D.
答案 D
2.(1)函数 f (x)＝
2
1＋ex－1 ·sin x 的图象的大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f (x)＝
2
1＋ex－1 ·sin x，
∴f (－x)＝
2
1＋e－x－1 ·sin(－x)
＝－
2ex
1＋ex－1 sin x＝
2
1＋ex－1 ·sin x＝f (x)，
且 f (x)的定义域为 R，
∴函数 f (x)为偶函数，故排除 C，D；
当 x＝2 时，f (2)＝
2
1＋e2－1 ·sin 2<0，故排除 B，只有 A 符合．
(2)已知函数 f (x)的图象如图所示，则 f (x)的解析式可以是( )
A．f (x)＝ln|x|
x B．f (x)＝ex
x
C．f (x)＝1
x2－1 D．f (x)＝x－1
x
答案 A
解析 由函数图象可知，函数 f (x)为奇函数，应排除 B，C.若函数为 f (x)＝x－1
x，则 x→＋∞时，f (x)→＋
∞，排除 D，故选 A.
3.(1)已知 f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|
0 时，设解析式为 y＝a(x－2)2－1(a≠0).
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得 a＝1
4.
答案 f(x)＝
x＋1，－1≤x≤0，
1
4（x－2）2－1，x>0
3.若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是________.
解析 在同一个坐标系中画出函数 y＝|x|与 y＝a－x 的图象，如图所示.由图象知当 a>0 时，方
程|x|＝a－x 只有一个解.
答案 (0，＋∞)
1.下列图象是函数 y＝
x2，x<0，
x－1，x≥0
的图象的是( )
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速
度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
3．已知函数 f (x－1)是定义在 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数 f (x)的图象可能是( )
4.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，则 f(x)的解析
式为( )
A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
5.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的图象关于直线 x＝1 对称的
是( )
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
6.函数 y＝ln|x|
x2 ＋1
x2在[－2，0]∪(0，2]上的大致图象为( )
7.(多选题)对于函数 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A.f(x＋2)是偶函数
B.f(x＋2)是奇函数
C.f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数
D.f(x)没有最小值
8.若直角坐标系内 A，B 两点满足：
(1)点 A，B 都在 f(x)图象上；(2)点 A，B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和
谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x)＝
x2＋2x（x<0），
2
ex （x≥0）， 则 f(x)
的“和谐点对”有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9.已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足 f(－x)＝f(x)，且在(0，＋∞)上单调递减，g(1－x)＝g(1
＋x)，且在(1，＋∞)上单调递减，设函数 F(x)＝1
2[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意 x∈R，
均有( )
A.F(1－x)≥F(1＋x) B.F(1－x)≤F(1＋x)
C.F(1－x2)≥F(1＋x2) D.F(1－x2)≤F(1＋x2)
10.函数 f(x)＝x＋1
x 的图象与直线 y＝kx＋1 交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＋y2＝
________.
11.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝log 2f(x)的定义域是________.
12．已知函数 f (x)的定义域为 R，且 f (x)＝
2－x－1，x≤0，
f x－1，x>0， 若方程 f (x)＝x＋a 有两个不同实根，则实数 a
的取值范围为________．
13．(2020·广州月考)函数 y＝f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点 P(x，y)满足x2－y2
＝1，则给出以下四个命题：
①函数 y＝f (x)一定是偶函数；
②函数 y＝f (x)可能是奇函数；
③函数 y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增；
④若 y＝f (x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)．
其中正确的序号为________．
1．函数 y＝log2|x|的图象大致是( )
2．已知函数 f (x)＝
3x，x≤1，
1
3
lo g x ，x>1， 则函数 y＝f (1－x)的大致图象是( )
3．将函数 f (x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，则 f (x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
4．为了得到函数 y＝lg x＋3
10 的图象，只需把函数 y＝lg x 的图象上所有的点( )
A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
5．(2020·佛山质检)已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f (x)＝1－2－x，则不等式 f (x)<－1
2的
解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
6．函数 f (x)＝ ax＋b
x＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
7．(多选)关于函数 f (x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有( )
A．函数 f (x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数 y＝f (x)的图象关于直线 x＝2 对称
C．若 x1≠x2，但 f (x1)＝f (x2)，则 x1＋x2＝4
D．函数 f (x)有且仅有两个零点
8．(多选)将函数 f (x)的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得到奇函数 g(x)的图象，则下列函数 f (x)不能满
足条件的是( )
A．f (x)＝ 1
x＋1 B．f (x)＝ex－1－e1－x
C．f (x)＝x＋2
x D．f (x)＝log2(x＋1)＋1
9．已知函数 f (x)＝
sin πx，0≤x≤1，
log2 020x，x>1， 若实数 a，b，c 互不相等，且 f (a)＝f (b)＝f (c)，则 a＋b＋c 的取值
范围是__________．
10．已知 f (x)是以 2 为周期的偶函数，当 x∈[0,1]时，f (x)＝x，且在[－1,3]内，关于 x 的方程 f (x)＝kx＋k＋
1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则 k 的取值范围是__________．
11．(2020·济南模拟)设 a 为实数，且 10 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
13．已知函数 f (x)＝
－x2＋x，x≤1，
1
3
lo g x ，x>1， g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的 x1，x2∈R，都有 f (x1)≤g(x2)成
立，求实数 k 的取值范围．
拓展练
1.答案 C
解析 其图象是由 y＝x2 图象中x<0 的部分和 y＝x－1 图象中 x≥0 的部分组成.
2.答案 C
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条线段，且距离学校越来越近，排除 A；因交通堵塞
停留了一段时间，与学校的距离不变，排除 D；后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.只有
C 满足题意.
3.答案 B
解析 函数 f (x－1)的图象向左平移 1 个单位长度，即可得到函数 f (x)的图象；
∵函数 f (x－1)是定义在 R 上的奇函数，
∴函数 f (x－1)的图象关于原点对称，
∴函数 f (x)的图象关于点(－1,0)对称，排除 A，C，D，选 B.
4.答案 D
解析 依题意，与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线是 y＝e－x，于是 f(x)相当于 y＝e－x 向左平移 1
个单位的结果，∴f(x)＝e －(x＋1)＝e－x－1.
5.答案 B
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x＝1 的对称点的坐标
为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ln x 的图象上，所以 y＝ln(2－x).
法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数 y＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入
选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B.
6.答案 B
解析 当 x∈(0，2]时，函数 y＝ln|x|＋1
x2 ＝ln x＋1
x2 ，当 x＝1
e时，y＝0，当 x∈
0，1
e 时，y＝
ln x＋1
x2 <0；x∈
1
e，2 时，y＝ln x＋1
x2 >0，所以函数 y＝ln x＋1
x2 在(0，2]上只有零点1
e，又函数 y
＝ln|x|
x2 ＋1
x2在[－2，0)∪(0，2]上是偶函数.
7.答案 AC
解析 作出 f(x)的图象，可知 f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可
知函数存在最小值 0.所以 A，C 正确.
8.答案 B
解析 作出函数 y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数
y＝2
ex(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2
个.
9.答案 C
解析 因为 F(x)＝
f(x)(f(x)≥g(x))，
g(x)(f(x)0 时，函数 g(x)＝log 2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 时，x∈(2，
8].
12.答案 (－∞，1)
解析 当 x≤0 时，f (x)＝2－x－1,00 时，f (x)是周期函数，
如图所示．
若方程 f (x)＝x＋a 有两个不同的实数根，则函数 f (x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同交点，故 a<1，即 a
的取值范围是(－∞，1)．
13.答案 ②
解析 由题意可得，函数 y＝f (x)的图象是双曲线 x2－y2＝1 的一部分．
由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．
其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；
由图(2)(4)可知函数 y＝f (x)可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；
由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．
综上可知，填②.
模拟练
1.答案 C
解析 函数 y＝log2|x|为偶函数，作出 x>0 时 y＝log2x 的图象，再作其关于 y 轴对称的图象即得，故选 C.
2.答案 D
解析 方法一 先画出函数 f (x)＝
3x，x≤1，
1
3
lo g x ，x>1 的草图，令函数 f (x)的图象关于 y 轴对称，得函数 f (－
x)的图象，再把所得的函数 f (－x)的图象，向右平移 1 个单位，得到函数 y＝f (1－x)的图象(图略)，故选 D.
方法二 由已知函数 f (x)的解析式，得 y＝f (1－x)＝
31－x，x≥0，
1
3
log(1) x ，x<0， 故该函数过点(0,3)，排除 A；
过点(1,1)，排除 B；在(－∞，0)上单调递增，排除 C.选 D.
3.答案 D
解析 与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的图象对应的函数为 y＝e－x，将函数 y＝e－x 的图象向左平移 1 个单位长度
即得 y＝f (x)的图象，∴y＝f (x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
4.答案 C
解析 ∵y＝lg x＋3
10 ＝lg(x＋3)－1.∴选 C
5.答案 A
解析 当 x>0 时，f (x)＝1－2－x>0.
又 f (x)是定义在 R 上的奇函数，
所以 f (x)<－1
2的解集和 f (x)>1
2的解集关于原点对称，由 1－2－x>1
2得 2－x<1
2＝2－1，
即 x>1，则 f (x)<－1
2的解集是(－∞，－1)．故选 A.
6.答案 C
解析 由 f (x)＝ ax＋b
x＋c2及图象可知，x≠－c，－c>0，则 c<0.
当 x＝0 时，f (0)＝b
c2>0，所以 b>0，
当 y＝0 时，ax＋b＝0⇒x＝－b
a>0.
所以 a<0，选 C.
7.答案 ABD
解析 函数 f (x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，
由图可得，
函数 f (x)在区间(1,2)上单调递增，A 正确；
函数 y＝f (x)的图象关于直线 x＝2 对称，B 正确；
若 x1≠x2，但 f (x1)＝f (x2)，则 x1＋x2 的值不一定等于 4，C 错误；
函数 f (x)有且仅有两个零点，D 正确．
8.答案 ACD
解析 由题意知，f (x)必须满足两个条件：
①f (1)＝0，②f (1＋x)＝－f (1－x)．
对于选项 A，C，D，f (1)均不为 0，不满足条件；
对于选项 B，f (1)＝e0－e0＝0，f (1＋x)＝ex－e－x，
f (1－x)＝e－x－ex＝－f (1＋x)．
9.答案 (2,2 021)
解析 函数 f (x)＝
sin πx，0≤x≤1，
log2 020x，x>1
的图象如图所示，不妨令 a13
4 或 a≤1 时，原方程的实数解的个数为
0；
当 a＝13
4 或 113
4 或 a≤1 时有 0 个解；a＝13
4 或 10)，H(t)＝t2＋t，t>0，
因为 H(t)＝ t＋1
2
2－1
4在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以 H(t)>H(0)＝0.
因此要使 t2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有 m≤0，即所求 m 的取值范围为(－∞，0]．
13.解 对任意的 x1，x2∈R，都有 f (x1)≤g(x2)成立，即 f (x)max≤g(x)min.
观察 f (x)＝
－x2＋x，x≤1，
1
3
lo g x ，x>1 的图象可知，
当 x＝1
2时，函数 f (x)max＝1
4.
因为 g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以 g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥1
4，
解得 k≤7
4或 k≥9
4.
故实数 k 的取值范围是 －∞，7
4 ∪ 9
4，＋∞ .
