2018-2019学年江西省上饶市高二上学期期末统考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市高二上学期期末统考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市高二上学期期末统考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，不等式等价于，即可求解不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式等价于，解得，‎ 即不等式的解集为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的求解，其中熟记不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎2．若且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ；；c=0时；因为 所以，选D.‎ ‎3．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．222石 B．224石 C．230石 D．232石 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率，进而可计算这批米内夹谷的数量，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为，‎ 所以2018石米中夹谷约为石，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的实际应用，其中解答中认真审题，得到抽样中这批米内夹谷所占的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法错误的是（ ）‎ A．甲投篮命中次数的众数比乙的小 B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小 C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大 D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定 ‎【答案】B ‎【解析】由折线图得到甲乙投篮5次命中次数的数据，再根据众数、中位数、平均数和方差，逐项判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为，‎ 乙投篮5轮，命中的次数分别为，‎ 则甲投篮命中次数的众数为，乙投篮命中的众数为7，所以A正确；‎ 甲投篮命中次数的平均数为，乙投篮命中的众数为，所以B不正确；‎ 甲投篮命中次数的中位数为，乙投篮命中的众数为，所以C正确；‎ 甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中的次数数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以D正确，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布折线图的应用问题，其中解答中根据频率分布折线图得到甲乙投篮5轮命中次数的数据，再根据众数、中位数、平均数和方差进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。‎ ‎6．执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的值满足（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当时，，不满足；‎ ‎，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选C.‎ ‎【考点】程序框图与算法案例 ‎【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解此类问题只需按照程序逐步列出运行结果.‎ ‎7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程.‎ 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）‎ A．55 B．55.8 C．59 D．51‎ ‎【答案】D ‎【解析】设表中模糊的数据为，由表中的数据可得，，代入回归直线的方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设表中模糊的数据为，‎ 由表中的数据可得，，‎ 又由回归直线的方程为，‎ 所以，解得，‎ 即表中模糊的数据为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线的方程的基本特征——回归直线方程必经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，随机变量服从得正态分布曲线关于对称，根据正态分布曲线的对称性，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，随机变量服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，‎ 又由，根据正态分布曲线的对称性，‎ 可得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布中概率的计算问题，其中解答中熟记正态分布曲线的性质，合理应用其对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，可得基本事件的总数为，‎ 只有图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，如图所示，图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，可得基本事件的总数为，‎ 又由图1中的正方形放在图2中的①处时，所以组成的图形不能围成正方体；‎ 图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，‎ 所以将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，‎ 所组成的图形能围成正方体的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中利用列举法得出只有将图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，再利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．已知，且，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据，得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，且，则，‎ 则，‎ 当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中根据题设条件，代入化简，根据“一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎11．已知满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A．0 B．2 C．1 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出不等式组所表示的平面区域，设，即，结合图象目标函数取得最大值和最小值，进而求解目标函数的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 设，即，‎ 结合图象可知当直线平移到A点是目标函数取得最小值，‎ 当直线平移到B点时，目标函数取得最大值，‎ 由，解得，，‎ 所以目标函数的最大值为，最小值为，‎ 所以目标函数的最小值为1，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，对任意的，存在，使得，等价于对任意的时，的最小值大于等于时，的最小值，利用二次函数和一次函数的单调性，求得函数的最小值，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对任意的，存在，使得，‎ 等价于对任意的时，的最小值大于等于时，的最小值，‎ 当时，，即函数最小值为，‎ 当时，为单调递增函数，所以函数的最小值，‎ 则，解得，即实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据含有量词的命题求解参数问题，同时考查了二次函数与一次函数的性质的应用，其中解答中不等式的成立，再利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知随机变量的分布列如表，又随机变量，则的期望是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，根据随机变量的分布列的性质，求得，利用数学期望的公式，求得，再由，得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据随机变量的分布列的性质，可知，解得，‎ 由期望的公式，可得随机变量X的期望,‎ 又由，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了随机变量的性质，以及数学期望的计算及应用，其中解答中熟记随机变量的性质和数学期望的计算公式和应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14．若，则____．（用数字作答）‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】由题意，根据二项式的展开式，令和可得，进而得 ‎，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知，‎ 令，可得，‎ 令，可得，‎ 所以 ‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15．已知，若恒成立，则的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，画出约束条件所表示的平面区域，设，结合平面区域确定目标函数的最大值，进而根据恒成立，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，可得，即，‎ 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ 设，即，将直线平移到点A时，此时目标函数取得最大值，‎ 由，即的，‎ 此时目标函数的最大值为，‎ 又由恒成立，所以，即的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中关键是“一画二移三求”，准确作出可行域，理解目标函数的意义，同时注意不等式恒成立问题点求解方法的合理转化，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题．‎ ‎16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，进行两次操作后，得出的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：‎ 当，其出现的概率为，‎ 当，其出现的概率为，‎ 当，其出现的概率为，‎ 当其出现的概率为，‎ ‎∵甲获胜的概率为，即的概率为，‎ 则满足整理得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大211.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中所有有理项.‎ ‎【答案】（1）5（2），，‎ ‎【解析】（1）由题意，二项展开式的各项系数和比二项式系数和大211，得出可得，即可求解； ‎ ‎（2）由题意，得出展开式的通项，确定的取值，即可得到展开式中的有理项，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，二项式的展开式的各项系数和比二项式系数和大211，‎ 可得，解得.‎ ‎（2）展开式的通项为，‎ 当时 是整数. ‎ 故展开式中所有有理项为:，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18．（1）当时，求的最小值.‎ ‎（2）用数学归纳法证明： .‎ ‎【答案】（1）4（2）见证明 ‎【解析】（1）由题意，化简函数的解析式为，利用基本不等式，即求解其最小值； ‎ ‎（2）利用数学归纳证明方法，即可作出证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当且仅当时等号成立，故的最小值为.‎ ‎⑵证明:①当时，左边，‎ 所以当时，命题成立； ‎ ‎②假设当时，命题成立 则有 ，‎ 则当时，左边 ‎ ，‎ 所以当时，命题也成立，‎ 综上①②可知原命题成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及数学归纳证明不等式，其中解答中合理化简、构造 “一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解，以及熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4人，（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置差异）.‎ ‎（1）共有多少种不同的乘坐方式？‎ ‎（2）若户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有多少种？‎ ‎【答案】（1）70（2）见解析 ‎【解析】(1) 由题意，从8个小孩中选取4人，可得，即可得到不同的乘车方式； ‎ ‎（2）由题意，根据A户家庭的孪生姐妹在甲车上和A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，两种情况求解，再用分类计数原理求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，从8个小孩中选取4人，可得，即共有70中不同的乘车方式；‎ ‎（2）①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，可以在剩下的3个家庭中任选2个家庭，再从每个家庭的2个小孩中任选一个来乘坐甲车，有种乘坐方式；‎ ‎②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的3个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选1个，来乘坐甲车，有种乘坐方式；‎ 则共有种乘坐方式.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．‎ ‎20．某理财公司有两种理财产品和，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：‎ ‎（1）已知甲、乙两人分别选择了产品和产品投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪家产品投资较理想？‎ ‎【答案】（Ⅰ）.所以；（Ⅱ）应选B．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合各个事件之间的关系可得.‎ ‎(2)计算数学期望. ‎ ‎. ‎ 则当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品； ‎ 当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品. ‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）记事件为 “甲选择产品且盈利”，事件为“乙选择产品且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，，‎ 所以 ，所以. ‎ 又因为，所以.所以. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：‎ ‎4‎ ‎0‎ 则. ‎ 假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：‎ Y ‎2‎ ‎0‎ 则. ‎ 当时，，选择产品和产品一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品和产品中任选一个；‎ 当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品； ‎ 当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品. ‎ ‎21．基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点，为了解学生对基因编辑婴儿的看法，某中学随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，抽取的45女生中赞成基因编辑婴儿的占，而55名男生中有10人表示赞成基因编辑婴儿.‎ ‎（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性别有关”？‎ ‎（2）现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中，采用分层抽样的方法抽取7名学生，再从被抽取的7名学生中任取3人，记被抽取的3名学生女生的人数为，求的分布列和期望.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）根据已知数据得到的列联表，利用公式求得的值，再根据附表，即可作出结论；‎ ‎（2）用分层抽样的方法，得到从不赞成基因编辑婴儿的男生抽取人，女生抽取人，根据超几何分布，求得其分布列，利用期望的公式，求解数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据已知数据得到如下列联表 不赞成 赞成 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据，得到，‎ 所以有90%的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性别有关”. ‎ ‎（2）用分层抽样的方法抽出7人，其中从不赞成基因编辑婴儿的男生抽取人，‎ 从不赞成基因编辑婴儿的女生抽取人.‎ 由题意知X服从超几何分布.‎ ‎，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的实际应用，以及随机变量的分布列与期望的求解，其中解答中对于随机变量的分布列及数学期望的求解时，要认真审题，得出随机变量的可能取值，准确求解每个取值对应的概率，得出分布列是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎22．设函数. ‎ ‎（1）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.‎ ‎（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意知，对于，有恒成立，‎ ‎ 即恒成立，因此 ，‎ 设，所以，‎ 函数在区间上是单调递减的，‎ ‎ ， ‎ ‎（2）由对于一切实数恒成立，可得， ‎ 由存在，使得成立可得，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎