数学理卷·2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

广东惠来一中高二理数试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.集合，，则( )‎ ‎ A. B． C. D.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.当时，的最小值为（ ）‎ ‎ A．9 B．10 C．12 D．13‎ ‎5.已知关于的方程为,若，则方程有实数根的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，AB＝ (　 　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数能取的最大整数为（ ）‎ ‎ A. 1 B. 0 C. -2 D.-1‎ ‎8.已知动点M到椭圆左焦点的距离比到其右焦点的距离大2，则动点M的轨迹方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.已知实数满足，则=的最大值与最小值之差为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知为定义在实数集R上的奇函数，且在区间(0,＋∞)上是增函数，又＝0，则不等式的解集是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11.已知函数=（，，）的最大值为2，周期为，将函数=图象向右平移个单位得到函数=的图象，若函数=是偶函数，则函数的一条对称轴为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数的定义域的R，当时，，且对任意的实数，等式 成立，若数列{an}满足，且，则下 列结论成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13.若命题：“存在，使成立”为假命题，则实数的取值范围为 .‎ ‎14.已知坐标原点到直线（）的距离为，点在以点为圆心的圆上，则圆的最大半径是 .‎ ‎1 15.直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率， 满足 ‎ ，则直线过定点 . ‎ ‎ 16.如图，四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，，‎ 沿将折起，使得平面平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的侧面的面积为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）解不等式|x－1|＋|x－4|≥5；‎ ‎（Ⅱ）求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在中，角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎ （Ⅰ）求角的值；‎ ‎ （Ⅱ）若，边上的中线，求AB．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列{}的各项均不为0，，且满足，数列满足.‎ ‎ （Ⅰ）求证：数列为等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎ ‎ ‎ 如图，是平行四边形，已知，,平面平面.‎ ‎ （Ⅰ）证明：；‎ ‎ （Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.‎ ‎ （Ⅰ）求弦的长；‎ ‎ （Ⅱ） 若直线的斜率为, 且, 求椭圆的长轴长的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知f（x）=loga是奇函数（其中a＞1）.‎ ‎（Ⅰ）求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）判断f（x）在区间（2，+∞）内的单调性，并证明；‎ ‎（Ⅲ）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值域恰为（1，+∞），求实数a与r的值.‎ 参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.B 10.D 11. C 12.D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；‎ 当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈∅；‎ 当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.‎ 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)． …………5分 ‎（Ⅱ）因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，‎ 当且仅当1≤x≤4时取等号；‎ x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．‎ 故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．‎ 所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1. …………10分 ‎ 18.解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，由正弦定理，得， ………………………2分 即，‎ 因为，所以， ………………………5分 因为为三角形内角，所以. ………………………6分 ‎（Ⅱ）在中，，，，‎ 由余弦定理，得，‎ 即， ………………………8分 解得（舍去）， ………………………10分 在中，由余弦定理，得，‎ 所以． ………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）∵，，∴，………………1分 即，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴数列是首项为3，公比为3的等比数列.………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，∴=，‎ ‎∴， ┄5分 ‎∴数列{}的通项公式； ………………6分 ‎=,┄7分 ‎∴=‎ ‎ =，………………8分 设=，①‎ ‎∴=②‎ ‎①－②得，===，‎ ‎∴=，………………………………10分 ‎∵=， ………………11分 ‎∴=.………………12分 ‎ ‎ ‎20.解：（Ⅰ）∵是平行四边形，且 ‎∴，∴，即 , ‎ 取BC的中点F，连接EF，∵，∴ , ………………2分 又∵平面平面，平面平面，∴平面, ‎ ‎∵平面，∴ , ‎ ‎∵平面，∴平面， ‎ ‎∵平面，∴ . ……………………………… 6分 ‎（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得 . ‎ 以B为坐标原点，所在直线分别为轴,以过点B且与FE平行的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图)，‎ 则, ‎ ‎∴……………… 8分 设平面的一个法向量为，则 ‎，即 , ‎ 得平面的一个法向量为, ‎ 由（Ⅰ）知平面，∴可设平面的一个法向量为,……………… 11分 设平面与平面所成二面角为，‎ 则 , ‎ 即平面与平面所成二面角的余弦值为.……………… 12分 ‎21.解：（Ⅰ）设,……………2分 则 所以的长为 .……………………………5分 ‎ ‎ （Ⅱ）设方程为,和椭圆方程联立消元整理得…………………7分 又,则, …………10分 则,长轴长的取值范围是 .……………………12分 ‎ ‎ ‎22.解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，‎ ‎ 即loga+loga=0,‎ ‎ 所以，解得m=±1. ………………………………2分 ‎ 当m=﹣1时，f（x）无意义.‎ ‎ 故m的值为1. ………………………………3分 ‎ （Ⅱ）函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.‎ ‎ 由（Ⅰ）得，.‎ ‎ 设2＜x1＜x2，‎ ‎ 则f（x2）﹣f（x1）=﹣=.………4分 ‎ 因为2＜x1＜x2，‎ ‎ 所以0＜x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣2（x1﹣x2）﹣4，‎ ‎ 因为a＞1，所以f（x2）＜f（x1）.‎ ‎ 所以函数f（x）在区间（2，+∞）内单调递减. ………………………………7分 ‎ （Ⅲ）由（Ⅰ）得，.‎ ‎ 由，得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）.‎ ‎ 又因为，所以f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）. ………………………………8分 ‎ 令f（x）=1，则=a，解得.‎ ‎ 所以f（）=1. ………………………………9分 ‎ 当a＞1时，＞2，此时f（x）在区间（2，+∞）内单调递减.‎ ‎ 所以当x∈（2，）时，f（x）∈(1，+∞）. ………………………………10分 ‎ 由题意,得r=2，a﹣2=，解得a=5.‎ ‎ 所以当x∈（r，a﹣2），f（x）的值域恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2.………12分