专题10-2 排列与组合（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题10-2 排列与组合（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布 第二节 排列与组合 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 排列与组合 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题.‎ ‎2013•浙江理14;‎ ‎2014•浙江理.14; ‎ ‎2017•浙江16.‎ ‎1.考查两个计数原理；‎ ‎2.考查排列组合问题、概率计算中排列组合的应用．‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解排列组合的意义；‎ ‎ (2)掌握排列数、组合数公式.‎ ‎（3）掌握简单排列组合问题的常见类型解法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 排列与组合 ‎1. 排列的相关概念及排列数公式 ‎(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．‎ ‎(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．‎ ‎(3)排列数公式：这里并且 ‎(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.‎ ‎2．组合的相关概念及组合数公式 ‎(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ ‎(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．‎ ‎(3)组合数的计算公式：，由于，所以.‎ ‎(4)组合数的性质：①；②；③.‎ ‎3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．‎ ‎4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 排列与组合 ‎【1-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）‎ A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 ‎【答案】C ‎【1-2】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】660‎ ‎【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种．‎ ‎【1-3】【2017届湖北襄阳五中高三上学期开学】将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 C．32种 D．16种 ‎【答案】D ‎【解析】不同的分法可能是小说每人一本，诗集给其中1人，共有＝4种分法，可能有1人分得两本小说，则有种分法，因此共有4＋12＝16种不同的分法．故选D．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：‎ ‎(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎2. 解答排列、组合问题的角度：‎ 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．‎ ‎(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；‎ ‎(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；‎ ‎(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；‎ ‎(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎3. 有条件的排列问题大致分四种类型．‎ ‎(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．‎ ‎(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．‎ ‎(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．‎ ‎(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．‎ ‎4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届山西省太原市第五中学高三5月模拟】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A. 60 B. 72 C. 84 D. 96‎ ‎【答案】C 有种安排方法，此时有种不同坐法；‎ ‎②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，‎ 将父母及小明看成一个整体，‎ 小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，‎ 此时有种不同坐法；‎ ‎③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，‎ 将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，‎ 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，‎ 此时，共有种不同坐法；‎ 综上所述，共有种不同的坐法，故选C.‎ ‎【变式二】【2017届福建省莆田第六中学高三下二模】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 42‎ ‎【答案】D 考点2 有附加条件的排列组合问题 （1） 相邻问题捆绑法:‎ 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.‎ ‎【2-1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）‎ A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 ‎【答案】D ‎【解析】把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.‎ （2） 相离问题插空排:‎ 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.‎ ‎【2-2】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）‎ A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 ‎【答案】B ‎【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是 种，选.‎ （1） 定序问题缩倍法:‎ 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.‎ ‎【2-3】五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）‎ A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 ‎【答案】B （2） 标号排位问题分步法:‎ 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.‎ ‎【2-4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）‎ A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 ‎【答案】B ‎【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.‎ （3） 有序分配问题逐分法:‎ 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.‎ ‎【2-5】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）‎ A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 ‎【答案】C ‎【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.‎ （4） 全员分配问题分组法:‎ ‎【2-6】4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.‎ 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.‎ （1） 名额分配问题隔板法:‎ ‎【2-7】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？‎ ‎【答案】84‎ （2） 限制条件的分配问题分类法:‎ ‎【2-8】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：‎ ‎①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.‎ ‎（9）多元问题分类法：‎ 元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.‎ ‎【2-9】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）‎ A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 ‎【答案】B ‎【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，‎ 个，合并总计300个,选.‎ ‎（10）交叉问题集合法：‎ 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.‎ ‎【2-10】从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？‎ ‎【答案】252‎ ‎（11）定位问题优先法：‎ 某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.‎ ‎【2-11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种. ‎ ‎（12）多排问题单排法:‎ 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.‎ ‎【2-12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）‎ A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 ‎【答案】C ‎【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.‎ ‎【2-13】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？‎ ‎【答案】5760‎ ‎【解析】看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.‎ ‎（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:‎ ‎【2-14】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）‎ A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎（14）选排问题先取后排:‎ 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.‎ ‎【2-15】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.‎ ‎【2-16】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.‎ ‎（15）部分合条件问题排除法:‎ 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.‎ ‎【2-17】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）‎ A、70种 B、64种 C、58种 D、52种 ‎【答案】58‎ ‎【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶 点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.‎ ‎【2-18】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）‎ A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 ‎【答案】D ‎（16）复杂排列组合问题构造模型法:‎ ‎【2-19】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.‎ 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. ‎ ‎（17）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:‎ ‎【2-20】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎（18）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:‎ ‎【2-21】30030能被多少个不同偶数整除？‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 个.‎ ‎【2-22】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？‎ ‎【答案】174‎ ‎（19）利用对应思想转化法:‎ 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.‎ ‎【2-23】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.‎ ‎【2-24】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？‎ A B ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ 排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排 列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．‎ ‎6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届浙江省台州市高三4月调研】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种.（结果用数字表示）‎ ‎【答案】1296‎ ‎【解析】若第8节课选修课，则第一节有3种方法，第7节有4种方法，两节自修课有6种方法，其余3节课有种方法，所以共有种方法，若第8节是自修课，那排列方法在432的基础上再乘以，结果为种方法，所以共有，故填：1296.‎ ‎【变式二】【2017届山东省德州市高三4月二模】现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．‎ ‎【答案】189‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例： 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？‎ 易错分析：实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误，本题第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．按分步原理，第一步确保1个一等品，有C种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C种不同的取法，故共有CC＝2 736种取法．‎ 正确解析：法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：CC＋CC＋C＝1 136(种)．‎ 法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136(种)．‎ 温馨提醒： 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解 ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 排列组合中的“分组分配”问题　‎ 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．‎ ‎【典例】1.5名志愿者分到了3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(　　)‎ A．150种 B．180种 C．200种 D．280种 ‎ 【答案】A ‎ 【解析】依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1,2,2与1,1,3两种，当人数是1,2,2时有×A＝90(种)．当人数是1,1,3时，则有×A＝60(种)，‎ 在此共有90＋60＝150(种)．‎ ‎【典例】2.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法有________种．(用数字作答)‎ ‎【答案】1560‎ 温馨提醒：　‎ ‎ (1)类型一：整体均匀分组 在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ ‎(2)类型二：部分均匀分组 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．‎ ‎(3)类型三：不均匀分组 解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ ‎ ‎