2019届二轮复习（理）专题一第二讲函数的图象与性质学案
第二讲 函数的图象与性质
年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅱ卷
函数图象的识别·T3
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
函数奇偶性、周期性的应用·T11
Ⅲ卷
函数图象的识别·T7
2017
Ⅰ卷
函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5
Ⅲ卷
分段函数与不等式解法·T15
2016
Ⅰ卷
函数的图象判断·T7
Ⅱ卷
函数图象的对称性·T12
函数及其表示
授课提示：对应学生用书第5页
[悟通——方法结论]
求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．
[全练——快速解答]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y＝ 的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
答案：D
2．(2018·浙江名校联考)已知函数f(x)＝则f(－2 017)＝( )
A．1 B．e
C． D．e2
解析：由题意f(－2 017)＝f(2 017)，当x＞2时，4是函数f(x)的周期，所以f(2 017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＝e.
答案：B
3．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：由函数解析式可知，x需满足，
解得1
1的x的取值范围是__________．
解析： 当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，
解得x>－，
∴－1，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是.
答案：
1.函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．
2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数图象及应用
授课提示：对应学生用书第5页
[悟通——方法结论]
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
解析：令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝
＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝>0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C.
答案：C
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为( )
解析：法一：易知函数g(x)＝x＋是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y＝1＋x＋的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.
法二：当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.当00，故排除选项A、C.选D.
答案：D
由函数解析式识别函数图象的策略
[练通——即学即用]
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：法一：ƒ′(x)＝－4x3＋2x，则ƒ′(x)＞0的解集为∪，ƒ(x)单调递增；ƒ′(x)＜0的解集为∪，ƒ(x)单调递减．
故选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2＞2，所以排除C选项．
故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是( )
解析：∵f(x)＝cos x，∴f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cos x>0，∴f(x)<0，可排除选项D，故选B.
答案：B
3．(2018·惠州调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析：由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，排除B、C.若函数为f(x)＝x－，则当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
答案：A
函数的性质及应用
授课提示：对应学生用书第6页
[悟通——方法结论]
1．判断函数单调性的一般规律
对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．
2．函数的奇偶性
(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．记住几个周期性结论
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝(a>0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
答案：D
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
答案：D
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数ƒ(x)＝ln(－x)＋1，ƒ(a)＝4，则ƒ(－a)＝________.
解析：∵ƒ(x)＋ƒ(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴ƒ(a)＋ƒ(－a)＝2，∴ƒ(－a)＝－2.
答案：－2
1．掌握判断函数单调性的常用方法
数形结合法、结论法(“增＋增”得增、“减＋减”得减及复合函数的“同增异减”)、定义法和导数法．
2．熟知函数奇偶性的3个特点
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
4．注意数形结合思想的应用．
[练通——即学即用]
1．(2018·长春模拟)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
解析：选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)
上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
答案：D
2．(2018·衡阳八中摸底)函数y＝f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)3>，
所以f0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①y＝3－x的定义域和值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)
，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
答案：B
2．设定义在R上的奇函数y＝f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x)＝f(1－x)，且当x∈[0，]时，f(x)＝ (x＋1)，则f(3)＋f(－)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：由于函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝f(1－x)⇒f(x)＝－f(x＋1)⇒f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(－)＝f()＝ ＝－1.所以f(3)＋f(－)＝－1.
答案：C
3．函数f(x)＝1＋ln的图象大致是( )
解析：因为f(0)＝1＋ln 2>0，即函数f(x)的图象过点(0，ln 2)，所以排除A、B、C，选D.
答案：D
4．(2017·高考天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0时，f(x)>f(0)＝0，当x1>x2>0时，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，∴a＝g(－log2 5.1)＝g(log2 5.1)．易知20，f(x)单调递增．又当x<0时，f(x)<0，故选B.
答案：B
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)0，g(1)＝ln 1－＝－1<0，g(2)＝ln 2－＝ln >ln 1＝0.又f(x1)＝g(x2)＝0，所以0f(1)>0，g(x1)f(x)，则x的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－2,1)
D．(1,2)
解析：因为g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，所以当x>0时，－x<0，g(－x)＝－ln(1＋x)，即当x>0时，g(x)＝ln(1＋x)，则函数f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图：
由图象可知f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增．
因为f(2－x2)>f(x)，所以2－x2>x，解得－20的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：由<1，
可得<0.
令F(x)＝f(x)－x，由题意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令F(x)>0，得x<－2或01)，都有f(x－2)≤g(x)，则m的取值范围是( )
A．(1,2＋ln 2) B.
C．(ln 2,2] D.
解析：作出函数y1＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g(1)，又当x＝4时，y1＝e24时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1
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