北京市通州区2020届高三一模数学试题

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通州区高三年级一模考试 数学试卷 ‎2020年4月 考生须知 ‎1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．‎ ‎2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．‎ ‎3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．‎ ‎4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数 （i是虚数单位），则 A. 1 B. 2 C. D. 3‎ ‎3. 函数的最小正周期是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎4. 已知为定义在R上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是 A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1）‎ ‎5. 已知a，3，b，9，c成等比数列，且a>0，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 在的展开式中，常数项是 A. -160 B. -20 C. 20 D. 160‎ ‎8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，.‎ 则 A.1 B. C. 2 D. 与有关 ‎9. 若a>0，b>0，则“ab≥1”是 “a+b≥2”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：‎ 的位数 一位数 一位数 一位数 两位数 两位数 两位数 三位数 三位数 三位数 四位数 试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）‎ A. 101 B. 50 C. 31 D. 30‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11. 已知向量，，其中．若共线 ，则m等于 ___________.‎ ‎12. 圆的圆心到直线的距离为 . ‎ ‎13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 . ‎ ‎14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ； . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）‎ ‎15.给出下列四个函数，①；②；③；④‎ 其中值域为的函数的序号是 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16.（本小题14分）已知△ABC，满足，， ，判断△ABC的面积是否成立？说明理由. ‎ ‎ 从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.‎ ‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：‎ ‎ 专项 员工 人数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 老员工 ‎4‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎3‎ 中年员工 ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ 青年员工 ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；‎ ‎（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望.‎ ‎18. （本小题15分）‎ 如图，已知四边形ABCD为菱形，且，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎ (Ⅱ)求二面角A-GH-B的余弦值；‎ EB GB H B A E C D B A ‎(Ⅲ)若点F满足，当平面时，求的值.‎ ‎19．（本小题14分）‎ 已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问： y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由． ‎ ‎20．（本小题14分）已知函数，设.‎ ‎（Ⅰ）求的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求a的取值范围.‎ ‎21．（本小题14分）‎ 用[x]表示一个小于或等于x的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i满足，其中是任意一个非零实数.‎ ‎(Ⅰ) 若，写出a1,a2,a3； ‎ ‎ (Ⅱ)若，求数列的最小值；‎ ‎ (Ⅲ)证明：存在非负整数k，使得当时，.‎ 通州区高三年级一模考试 ‎ 数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月 ‎ ‎ 一、选择题：（每小题4分，共40分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D C B B A D A B ‎ A C 二、填空题（每道小题5分，共25分）‎ ‎11． ； 12. ；13．； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分）‎ ‎ 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．（本小题14分） ‎ 解：选，△ABC的面积成立，理由如下: ‎ 当时，， …………… 4分 所以，所以， …………… 6分 则△ABC的面积.…………… 10分 因为， …………… 12分 所以成立. ……………14分 ‎ 选，△ABC的面积不成立，理由如下：‎ 当时，，…………… 4分 即 整理得，，所以. …………… 6分 因， …………… 8分 所以△ABC是A为直角的三角形， …………… 10分 所以△ABC的面积，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分 ‎17. （本小题14分） ‎ 解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，‎ 抽取的老年员工人，‎ 中年员工人，‎ 青年员工人 ……………… 4分 ‎（Ⅱ）X的可取值为0,1,2 ……………… 5分 ‎，， ……………… 11分 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ . ……………… 14分 ‎18. （本小题15分）‎ ‎(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点 ‎ 所以BE⊥AD， ……………… 2分 所以BE⊥AE ‎ 因为，‎ 所以GE⊥AE. ……………… 3分 ‎ 因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE=E ‎ 所以平面. ……………… 4分 ‎(Ⅱ) 设菱形ABCD的边长为2，‎ 由(Ⅰ)可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE. ‎ 所以以E为原点，EA,EB,EG所在直线分别为x,y,z轴，‎ 建立如图空间坐标系 ‎ 可得，，，.……………… 6分 ‎， ‎ 设平面AGH的法向量为 ‎ 所以 ，即. ‎ ‎ 令x=1，则 ………………8分 平面EBHG的法向量为 ……………… 9分 ‎ 设二面角A-GH-B的大小为 ‎ ……………… 11分 ‎(Ⅲ) 由，则 所以 ……………… 12分 因为平面，则 ……………… 13分 ‎ 即 ……………… 14分 所以 ……………… 15分 ‎19. （本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得， ………………1分 b=1,‎ 又 解得 ……………… 4分 所以椭圆方程为 ……………… 5分 ‎（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分 则直线AM的方程为 ……………… 7分 直线AN的方程为 ……………… 8分 则E点坐标为，F点坐标为 ……………… 10分 假设存在定点G（0，n）使得∠OGE=∠OFG， ‎ 即tan∠OGE=tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即 即 ……………… 12分 即 ‎ 所以 ……………… 13分 所以存在点坐标为满足条件. ……………… 14分 ‎20. （本小题14分）‎ 解：（Ⅰ） ……………… 1分 由题意可知， ‎ 所以 ……………… 2分 当时，在上单调递增；……………… 3分 当时，在上单调递减……………… 4分 所以在处取得极小值，为……………… 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 当时， ……………… 6分 所以在单调递增，所以 ……………… 7分 即时在恒成立. ……………… 8分 当时， ………………9分 又， ……………… 10分 又由于在上单调递增；在上单调递减；‎ 所以在上一定存在使得， ……………… 11分 所以在递减，在递增， ‎ 所以 ……………… 12分 所以在存在，使得， ……………… 13分 所以当时，在上不恒成立 所以a的取值范围为. ………………14分 ‎21. （本小题14分）‎ 解：(Ⅰ) 、、. ……………… 3分 ‎（Ⅱ）因，则，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 所以.‎ ‎ 又因，‎ 则，则. ……………… 4分 ‎ ‎ 假设成立，‎ 则，‎ 则，即，……………… 5分 则，‎ 则当时，，‎ 这与假设矛盾，所以不成立，………………6分 即存在,.‎ 从而的最小值为0. ……………… 7分 ‎（Ⅲ）当时，由（2）知，存在,，‎ 所以所以 所以，成立. ……………… 8分 ‎ 当时，若存在,,则，得证；……………… 9分 若，则，‎ 则，‎ 则，‎ 所以数列单调不减. ‎ 由于是负整数，‎ 所以存在整数m和负整数c，使得当时，.‎ 所以，当时，，‎ 则，令， ‎ 即. ‎ 当=0时，则，则，得证. ………………11分 当时，，，‎ 因当时，，则，则有界，‎ 所以，所以负整数. ……………… 12分 ‎， ‎ 则 ……………… 13分 令k=m，满足当时，.‎ 综上，存在非负整数k，使得当时， .………………14分