2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（单选题每题5分）‎ ‎1．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）‎ A．=1 B．=1 C． D．=1‎ ‎4．（5分）若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）‎ A．k＞8？ B．k≤8？ C．k＜8？ D．k=9？‎ ‎5．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎6．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（　　）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A是双曲线的左顶点，点P（﹣，yp）在双曲线的一条渐近线上，M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎10．（5分）已知x，y取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从散点图可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则当x=10时，y的预测值为（　　）‎ A．10.8 B．10.95 C．11.15 D．11.3‎ ‎11．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，点N在x轴上且在点F右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135°，O为坐标原点，则直线OM的斜率为（　　）‎ A．3﹣4 B．﹣1 C．2﹣1 D．2﹣2‎ ‎12．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．（5分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点m到一个焦点的距离等于2，则点m到另一个焦点距离为　 　．‎ ‎14．（5分）某路公交车站早上在6：30，7：00，7：30准点发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是　 　．‎ ‎15．（5分）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是　 　．‎ ‎16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，10+12+12+12+12+12）‎ ‎17．（10分）已知命题p：t2﹣t﹣6≤0，命题q：∃x∈R，．‎ ‎（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；‎ ‎（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．‎ ‎18．（12分）华山中学从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，[50，60），[60，70），…[90，100]后得到如下频率分布直方图．50）‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计我校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，a=2‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求sinB的值；‎ ‎（Ⅱ）若b+c=6，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）已知平面上动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1．‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点M形成的曲线为E，过点P（0，﹣1）的直线l交曲线E于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为2（其中O为坐标原点），求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{an}的首项与公差相同，且S4=20‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=a1n+，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．（12分）已知椭圆E：=1与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABM的面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（单选题每题5分）‎ ‎1．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知中抛物线x=﹣2y2，我们可以求出抛物线的标准方程，进而求出p值，根据抛物线的准线方程的定义，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x 故2p=﹣‎ 即p=‎ 则抛物线x=﹣2y2的准线方程是 故选D ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中由已知求出抛物线的标准方程是解答本题的关键，本题易将抛物线错当成焦点在y轴上，p=﹣2的抛物线，而错解为B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．‎ ‎【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；‎ 所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；‎ 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．‎ 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）‎ A．=1 B．=1 C． D．=1‎ ‎【分析】根据抛物线方程，算出其焦点为F（0，5）．由此设双曲线的方程为﹣=1，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，‎ ‎∴抛物线的焦点为F（0，5），‎ 设双曲线的方程为﹣=1，‎ ‎∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即y=x，‎ ‎∴，‎ 解得a=3，b=4（舍负），‎ 可得该双曲线的标准方程为：=1．．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）‎ A．k＞8？ B．k≤8？ C．k＜8？ D．k=9？‎ ‎【分析】根据所给的程序运行结果为S=20，执行循环语句，当计算结果S为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．‎ ‎【解答】解：由题意可知输出结果为S=20，‎ 第1次循环，S=11，K=9，‎ 第2次循环，S=20，K=8，‎ 此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞8．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定分段间隔，根据随机抽得的号码为003，分别计算从001到200，从201到355，可得结论．‎ ‎【解答】解：系统抽样的分段间隔为=10，‎ 在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，‎ 则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，‎ 故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件建立等差数列关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则P（A）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】基本事件总数n=6×6=36，记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，利用列举法求出事件A包含的基本事件的个数，由此能求出P（A）．‎ ‎【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，‎ 基本事件总数n=6×6=36，‎ 记事件A={两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，‎ 由事件A包含的基本事件有：‎ ‎（2，4），（4，2），（4，6），（6，4），共4个，‎ ‎∴P（A）=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（　　）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．‎ ‎【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，‎ 所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．‎ ‎∴这组数据的平均数是 =91，∴x=4．‎ ‎∴这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎【分析】利用方程转化动点的几何意义，然后求解判断轨迹即可．‎ ‎【解答】解：动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，‎ 可得：=，表示动点P（x，y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣1=0距离相等，‎ 又（1，2）不在直线3x+4y﹣1=0上，则点P的轨迹是以（1，2）为焦点以直线3x+4y﹣1=0为准线的抛物线．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断，注意抛物线的定义域本题直线方程的区别，是易错题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1‎ ‎（﹣c，0），F2（c，0），A是双曲线的左顶点，点P（﹣，yp）在双曲线的一条渐近线上，M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】求得双曲线的左顶点A（﹣a，0），F1（﹣c，0），由平面几何知识可得|AP|=|AF1|，求得P的坐标，运用两点的距离公式，结合a，b，c的关系，化简整理可得c=2a，b==a，即可得到所求双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左顶点A（﹣a，0），F1（﹣c，0），‎ M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，可得|AP|=|AF1|，‎ OP为渐近线方程：y=﹣x，‎ P（﹣，yp）即为P（﹣，），‎ 即有=c﹣a，‎ 即有a2（c﹣a）2+a2b2=c2（c﹣a）2，‎ ‎（c2﹣a2）（c﹣a）2=a2b2，‎ 可得c﹣a=a，即c=2a，‎ b==a，‎ 即有双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±x．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用平面几何性质，考查数形结合和化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知x，y取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从散点图可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则当x=10时，y的预测值为（　　）‎ A．10.8 B．10.95 C．11.15 D．11.3‎ ‎【分析】由题意计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，求得a的值，再代入x=10，求出的值．‎ ‎【解答】解：由题意，=×（0+1+4+5+6+8）=4，‎ ‎=×（1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3）=5.25；‎ ‎∵y与x线性相关，且=0.95x+a，‎ ‎∴5.25=0.95×4+a，‎ 解得a=1.45；‎ 从而当x=10时，有=0.95×10+1.45=10.95．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，利用线性回归方程过样本中心点是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）抛物线y2=2px（p＞‎ ‎0）焦点为F，点N在x轴上且在点F右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135°，O为坐标原点，则直线OM的斜率为（　　）‎ A．3﹣4 B．﹣1 C．2﹣1 D．2﹣2‎ ‎【分析】由题意画出图形，可得FM的方程，与抛物线方程联立，求得M坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由题意可知，∠MFN=45°，则MF所在直线的斜率为1，‎ 则FM：y=x﹣，‎ 联立，得4x2﹣12px+p2=0，‎ 解得，，‎ 则=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】当∠F1PF2=90°时，P点坐标为，由，得∠F1PF2≥90°．故的M点的概率．‎ ‎【解答】解：∵|A1A2|=2a=4，，‎ 设P（x0，y0），‎ ‎∴当∠F1PF2=90°时，，‎ 解得，把代入椭圆得．‎ 由，得∠F1PF2≥90°．‎ ‎∴结合题设条件可知使得的M点的概率=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】作出草图，数形结合，事半功倍．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．（5分）已知双曲线y2﹣4x2=16上一点m到一个焦点的距离等于2，则点m到另一个焦点距离为　10　．‎ ‎【分析】根据题意，设点m到另一个焦点距离为t，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a的值，由双曲线的定义可得|t﹣2|=8，解可得t的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设点m到另一个焦点距离为t，‎ 双曲线y2﹣4x2=16的标准方程为﹣=1，‎ 双曲线的焦点在y轴上，且a=4，‎ 则点m到双曲线的两个焦点距离差的绝对值为2a=8，‎ 则有|t﹣2|=8，‎ 解可得t=10或﹣6（舍），‎ 则点m到另一个焦点距离为10；‎ 故答案为：10‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质性质，注意将双曲线的方程变形为标准方程．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某路公交车站早上在6：30，7：00，7：30准点发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是　　．‎ ‎【分析】求出小明等车时间不超过8分钟的时间长度，利用几何概型的概率计算公式求得答案．‎ ‎【解答】解：小明在6：50至7：30之间到达发车站乘坐班车，总时长为40分钟，‎ 设小明到达时间为y，‎ 当y在6：52至7：00，或7：22至7：30时，‎ 小明等车时间不超过8分钟的时长为16分钟，‎ 由几何概型的公式计算所求的概率为：‎ P==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，明确时间段是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是　　．‎ ‎【分析】设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】解：设BC=x，则AC=2x，由余弦定理可得 cosB==．‎ 由于三角形ABC的面积为 •2•x•sinB=x ==‎ ‎=．‎ 再由三角形任意两边之和大于第三边可得 ，解得 ＜x＜2，故 ＜x2＜4．‎ 再利用二次函数的性质可得，当x2=时，函数﹣9x4+40x2+16取得最大值为 ，‎ 故的最大值为 ，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设椭圆C的两个焦点是F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于P、Q，若|PF2|=|F1F2|，且5|PF1|=6|F1Q|，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【分析】设椭圆+=1（a＞b＞0），设|PF1|=6m，运用椭圆的定义，可得|QF2|=2a﹣|QF1|=2a﹣6m，|PF2|+|PF1|=2a，即有2c+6m=2a，取PF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥PQ，由勾股定理可得a，c关系，运用离心率公式计算即可得到 ‎【解答】解：设椭圆+=1（a＞b＞0），‎ F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ ‎5|PF1|=6|F1Q|，设|PF1|=6m，‎ ‎|F1Q|=5m，‎ 由椭圆的定义可得|QF2|=2a﹣|QF1|=2a﹣5m，‎ ‎|PF2|=|F1F2|=2c，可得2c=2a﹣6m．‎ 即a﹣c=3m，①‎ 取PF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥PQ，‎ 由勾股定理可得|PF2|2﹣|PK|2=|QF2|2﹣|QK|2，‎ 即为4c2﹣9m2=（2a﹣5m）2﹣64m2，‎ 化简即为2a2﹣2c2=10am+15m2=，可得：6a+6c=15a﹣5c，‎ 即9a=11c则离心率e=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，10+12+12+12+12+12）‎ ‎17．（10分）已知命题p：t2﹣t﹣6≤0，命题q：∃x∈R，．‎ ‎（Ⅰ）写出命题q的否定￢q；‎ ‎（Ⅱ）若￢p∧q为真命题，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用命题q的否定即可得出．‎ ‎（II）利用复合命题的真假，一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）命题q的否定￢q为：…（4分）‎ ‎（Ⅱ）若 p为真命题，则﹣2≤t≤3‎ 故￢p为真命题时，得t＜﹣2或t＞3…（7分）‎ 若q为真命题时，即成立，‎ ‎∴，即t2﹣3t﹣4≥0，‎ 解得：t≥4或t≤﹣1…（9分）‎ ‎∵¬p∧q为真命题，‎ ‎∴命题¬p和q都是真命题 …（10分）‎ ‎∴，‎ 解得：t＜﹣2或t≥4…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）华山中学从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，[50，60），[60，70），…[90，100]后得到如下频率分布直方图．50）‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计我校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能出a，由此能求出估计我校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数．‎ ‎（2）各分数段抽取比例为，各层人数分别为6，9，9，18，15，3，由此能出各分数段抽取的人数．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得：‎ ‎（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，‎ 解得a=0.03，（1分）设中位数为x，‎ 则根据直方图可知x∈[70，80），‎ ‎∴0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10（x﹣70）=0.5，‎ 解得x≈70.3，即中位数为70.3，（3分）‎ 由图可知众数为75，（4分）‎ 平均数为40×0.1+55×0.15+60×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．（6分）‎ ‎（2）各分数段抽取比例为，各分数段人数分别为6，9，9，18，15，3，‎ ‎∴各分数段抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人．（12分）‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查学生分析数据的能力，考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=，a=2．‎ ‎（Ⅰ）若b=2，求sinB的值；‎ ‎（Ⅱ）若b+c=6，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理即可求得sinB的值．‎ ‎（Ⅱ）由已知及余弦定理可求bc=8，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A=，a=2，b=2，‎ ‎∴由正弦定理，可得sinB===．‎ ‎（Ⅱ）∵A=，a=2，b+c=6，‎ ‎∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：28=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=36﹣bc，‎ ‎∴解得：bc=8，‎ ‎∴S△ABC=bcsinA==2．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知平面上动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1．‎ ‎（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点M形成的曲线为E，过点P（0，﹣1）的直线l交曲线E于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为2（其中O为坐标原点），求直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1，可得动点到点F的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，即可求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得设直线l的方程为y=kx﹣1，联立直线与抛物线的方程可得：x2﹣4kx+4=0，根据韦达定理可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由动点M到直线y=﹣2的距离比它到点F（0，1）的距离多1，‎ 可得动点到点F的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，‎ 由抛物线的定义可知动点的轨迹是以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线 所以方程为x2=4y．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）显然，直线l垂直于x轴不合题意，故可设所求的直线方程为y=kx﹣1，‎ 代入抛物线方程化简，得：x2﹣4kx+4=0，…（6分）‎ 其中△=4k2+8＞0，x1+x2=﹣4k，x1x2=4…（8分）‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有=2，①‎ 因为y1=kx1﹣1，y2=kx2﹣1，代入①，整理可得k=2，…（11分）‎ 所以直线l的方程为y=2x﹣1．…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且{an}的首项与公差相同，且S4=20‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=a1n+，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程 可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；‎ ‎（Ⅱ）求得bn=a1n+=2n+=2n+﹣，运用分组求和和裂项相消求和，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得，‎ 解得a1=d=2，‎ ‎∴an=2+2（n﹣1）=2n，‎ Sn=n（2+2n）=n2+n；‎ ‎（Ⅱ）依题意得bn=a1n+=2n+=2n+﹣，‎ ‎∴前n项和Tn=（2+4+…+2n）+（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=+1﹣=2n+1﹣．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆E：=1与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABM的面积的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若直线AB的斜率不存在，不成立，则设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理，直线的斜率公式及kAM•kBM=，即可求得m的值，由x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点．‎ ‎（Ⅱ）利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△ABM的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由M（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．‎ 若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，‎ 因此，kMA•kMB=×=﹣=，与已知不符，因此直线AB的斜率存在．‎ 设直线AB：y=kx+m，则，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，‎ 则x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ 又kAM=，kMB=，‎ 由kAM•kBM=，整理得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，‎ ‎∴4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2•（3+4k2）=0，‎ 化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．‎ 结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由△＞0且m=2，得k＜﹣或k＞，‎ 又S△ABM=|S△ANM﹣S△BNM|=|MN|•|x2﹣x1|==×==≤‎ ‎=，‎ 当且仅当4k2﹣9=12，即k=±时，△ABM的面积最大，最大值为，‎ ‎△ABM的面积的最大值．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎