2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第7节 课时分层训练51

2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第7节 课时分层训练51

课时分层训练(五十一)　抛物线 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)‎ A．(0,2)　　　　　　　 B.(0,1)‎ C．(2,0) D.(1,0)‎ D　[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]‎ ‎2．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)‎ A．(0,2) B.(0，－3)‎ C．(0,3) D.(0,6)‎ C　[直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]‎ ‎3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)‎ A. B. C．1 D. B　[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，‎ 又y2＝4x的焦点F(1,0)，‎ ‎∴焦点F到直线的距离d＝＝.]‎ ‎4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x C　[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．‎ 则＝，＝.‎ 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，‎ 因而y0＝4，M.‎ 由|MF|＝5，得＝5，‎ 又p>0，解得p＝2或p＝8.‎ 故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]‎ ‎5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)‎ ‎ 【导学号：01772325】‎ A．2 B.2 C．2 D.4‎ C　[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，‎ 代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，‎ 所以|y0|＝2，‎ 所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________. ‎ ‎【导学号：01772326】‎ ‎8　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB 的方程是y＝x－1.‎ 联立消去y得x2－6x＋1＝0.‎ 所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]‎ ‎7．如图871，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝__________.‎ 图871‎ ＋1　[由题意可得C，F，‎ 则＝＋1(舍去1－)．]‎ ‎8．(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.‎ ‎2　[y2＝2px的准线为x＝－.‎ 由于△ABF为等边三角形．‎ 因此不妨设A，B.‎ 又点A，B在双曲线y2－x2＝1，‎ 从而－＝1，所以p＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.2分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，‎ 则x1x2＝＝4，‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x.5分 ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.7分 设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，10分 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.12分 ‎10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10或t<－3　[因为直线l与圆相切，所以＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，‎ 于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，‎ 解得t>0或t<－3.]‎ ‎3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎ 【导学号：01772328】‎ ‎[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0. 2分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 因为＝2 ，所以y1＝－2y2.‎ 联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2. 5分 ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎ ＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分