圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用

圆锥曲线的切点弦方程在高考中的应用 作者:吴时清 薛青丽 联系方式:13450376718 时间:2013.6.17‎ 切点弦方程是解析几何中的热点问题,也是高考命题热点之一.随着导数的介入,它的内涵更加丰富,本文从圆锥曲线的切点弦定义入手,对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中常见的曲线的切点弦方程进行证明,再到一般的圆锥曲线的切点弦方程的结论,以及切点弦方程在近年来高考中的应用.‎ 一、切点弦方程的概念 平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.‎ 二、圆的切点弦方程 证明:设圆外一点,过点作圆的的两条切线,切点是,则直线的方程是:.‎ 证明:由平面几何知识易知,弦是圆与以为直径端点的圆的相交弦.‎ 以为直径端点的圆的方程是:,‎ 即……①‎ 又…………………………………②‎ ‎②-①得: .‎ 三、椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程 设是圆锥曲线不含焦点部分外的一点,过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程如下表:‎ 方程 曲线 标准方程 切点弦方程 椭圆 双曲线 抛物线 四、二次曲线的切点弦方程 设从点引曲线的两条切线,切点为,则过的且线方程分别是:‎ ‎,‎ 因为点在上述两条切线上,所以满足方程 ‎………………（**）‎ 所以经过的直线方程是（**）‎ 五、利用切点弦方程解高考题 ‎【例1】2008年山东理科数学22题 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.‎ ‎（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. ‎ ‎（Ⅰ）证明：由题意设 ‎ 由得，则 ‎ 所以 ‎ 因此直线MA的方程为 ‎　　　　　　　　直线MB的方程为 ‎ 所以 ①‎ ‎ ②‎ 由①、②得　　‎ 因此　，即 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，‎ ‎ 将其代入①、②并整理得：‎ ‎ 　‎ ‎ 　‎ ‎　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，‎ ‎ 因此 ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 由弦长公式得 ‎ ‎ ‎　　　　又，‎ ‎ 所以p=1或p=2，‎ ‎ 因此所求抛物线方程为或 ‎（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),‎ ‎ 则CD的中点坐标为 ‎ 　设直线AB的方程为 ‎ 　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，‎ ‎ 　代入得 ‎ 　若D（x3,y3）在抛物线上，则 ‎ 　因此　x3=0或x3=2x0.‎ ‎ 即D(0，0)或 ‎ （1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.‎ ‎ （2）当，对于D(0，0)，此时 ‎ 　　又AB⊥CD，‎ 所以 即矛盾.‎ 对于因为此时直线CD平行于y轴，‎ 又 所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，‎ 所以时，不存在符合题意的M点.‎ 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.‎ ‎【例2】2008年江西高考数学理 设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.‎ ‎⑴过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线的方程;‎ ‎⑵求证:三点共线.‎ 解: ⑴设,∵垂直于直线,则 ‎∴, 点坐标为 设的重心为,则 代入双曲线方程并整理得:,‎ ‎∴ 重心的轨迹方程为 ‎⑵设点,方程对求导得: ∴ ‎ ‎∴ 切线的斜率为,方程为,又 ∴ 切线的方程为 同理: 切线的方程为,又在,上, ∴‎ 即点都在直线上,又也在直线上 ‎∴ 三点共线.‎ ‎【例2】2013年广东高考理20题 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．‎ 解:（Ⅰ）依题意，设抛物线的方程为，由结合，解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）抛物线的方程为，即，求导得 设，（其中），则切线的斜率分别为，，‎ 所以切线的方程为，即，即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点，所以，‎ 所以为方程的两组解．‎ 所以直线的方程为．‎ ‎（Ⅲ）由抛物线定义可知，，‎ 所以 联立方程，消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得，‎ 所以 又点在直线上，所以，‎ 所以 所以当时， 取得最小值，且最小值为．‎